（人教版）数学八年级下册期末压轴题培优训练专题02 勾股定理（2份，原卷版+解析版）

这是一份（人教版）数学八年级下册期末压轴题培优训练专题02 勾股定理（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学八年级下册期末压轴题培优训练专题02勾股定理原卷版doc、人教版数学八年级下册期末压轴题培优训练专题02勾股定理解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022·江苏·八年级期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．
【详解】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD−DM＝3−1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝，
∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
2．（2022·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合 可得S1＋S2＝S3﹣S4，从而可得答案．
【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，
∴，
，


∴，
，
∵∠ABC＝∠CAD＝90°，
∴
∴，
∴S1＋S2＝S3﹣S4，
∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，
∴3＋1＝7﹣S4，
∴S4＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键．
3．（2022春·浙江绍兴·八年级统考期末）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，先证明△QBM≌△PAC，得到MQ=CP，则AQ+CP=AQ+MQ，当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，利用勾股定理求出AM的长度，即可得到答案．
【详解】解：如图，作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，
∴∠QBM+∠ABC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAC+∠ABC=90°，
∴∠QBM=∠PAC，
∵BM=AC，AP＝BQ，
∴△QBM≌△PAC（SAS），
∴MQ=CP，
∴AQ+CP=AQ+MQ，
在△AQM中，AQ+MQ>AM，
当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，
∴AQ+CPAM，
∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即的最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出有最小值的临界条件，从而进行解题．
4．（2022春·重庆忠县·八年级统考期末）中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：①∵
∴20是“整弦数”，符合题意；
②如5，2是“整弦数”，
∵不是“整弦数”，
∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；
③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；
④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，

∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；
⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），
∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，
∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，
∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．
5．（2022·浙江金华·八年级校联考期末）将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．7
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质可以得到，设为，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题．
【详解】解：如图，设为，为，为，图2中的余角为，
为等腰三角形，，
，，
，
，
结合两图，可得，
设为，
根据勾股定理得，
，
解得：，
，
故选：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键．
6．（2022·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（ ）
A．B．C．24D．12
【答案】D
【分析】连接，设交于点，交于点，证明，进而证明，根据勾股定理得出，，过点作于点，勾股定理求得，根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图，
连接，设交于点，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴
∴
又∵，
∴
又∵，
解得：，，
，
过点作于点，
设
∴
即，
解得：
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在中，，于点，于点若，．
（1）的长为______；
（2）在的腰上取一点，当是等腰三角形时，长为______．
【答案】 或
【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质得，便可求得结果；
（2）分两种情况：点在边上时；点在边上时；分别求得便可．
【详解】（1）于点，，
，，
于点，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）当点在边上时，如图，
，
是等腰三角形，
，
，
，
；
当点在边上时，
若，如图，
，，
平分，
于点，
，
此时为等腰三角形，
过点作，与的延长线交于点，
，，
由勾股定理知，，
，
，
，
，
，
由（1）知，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
所以当，或时，都有；
综上，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，构造直角三角形和分情况讨论是解题的关键．
8．（2022·重庆江北·八年级校考期末）如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】如图，作N关于的对称点E，连接，在中，勾股定理解出，根据三角形两边之和大于第三边得到：，最后利用等积法求解即可
【详解】如图，作N关于的对称点E，连接
在中，，，，
是的平分线，
与关于轴对称，
当时最小，
由
即
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称——最短问题，解直角三角形等知识；解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，再利用等面积法结算线段长度是解题的关键．
9．（2022·上海宝山·八年级校考期末）在中，，，如果将折叠，使点与点重合，且折痕交边于点，交边于点，如果是直角三角形，那么的面积是______．
【答案】或
【分析】分两种情况：当时，根据，，及将折叠，使点与点重合，可得，可得到的面积；当时，过作于，设，则，可得，，又，可得，，再利用勾股定理可得，可得到的面积．
【详解】解：当时，如图：
∵，，，
∴，
∵将折叠，使点与点重合，
∴，
∴的面积是：；
当时，
如图，过作于，设，
∵，，
∴，
∴，
∵将折叠，使点与点重合，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴的面积是：．
综上所述，如果是直角三角形，那么的面积是或．
故答案为：或．
【点睛】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．解题的关键是分类画出图形，求出边上的高．
10．（2022·四川成都·八年级校考期末）已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为______．
【答案】13
【分析】通过过点A作的平行线，并在上截取，构造全等三角形，得到当B，D，H三点共线时，可求得的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．
【详解】如图，过点A作的平行线，并在上截取，连接，．
则．
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴当B，D，H三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长．
∵，，，
∴在中，由勾股定理，得
．
如图，过点H作，交的延长线于点M，则四边形为长方形，
∴，，
∴在中，由勾股定理，得
．
∴的最小值为13．
故答案为：13．
【点睛】本题属于没有共同端点的两条线段求最值问题这一类型，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识．解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
11．（2022·全国·八年级期末）在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿线段以每秒的速度运动到．当点的运动时间______秒时，的面积为．
【答案】或
【分析】根据线段中点的性质得到，再由三角形的面积公式推出，结合图形可以分点在点左侧和点在点右侧两种情况进行讨论，由线段之间的和差关系及行程问题公式时间路程速度进行求解即可．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
又，即，

解得，
当点在点左侧时，
，则，
此时点的运动时间秒．
当点在点右侧时，
，则，
此时点的运动时间秒，
综上，点的运动时间为或秒．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是求得长度后结合图形分情况进行讨论点在点左侧和点在点右侧．
12．（2022春·上海·八年级校考期末）如图，在中，，，，是的中线，将沿直线翻折，点是点的对应点，点是线段上的点，如果，那么______．
【答案】/1.8/
【分析】先证明，，结合得到，利用等面积法求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，∵是由翻折，

∴，，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
解得：．
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，三角形内角和定理的应用，三角形外角性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
13．（2022春·上海青浦·八年级校考期末）如图，在等腰直角中，，，将沿某直线翻折，使得点落在的中点上，如果折痕与的交点为，那么的长为______．
【答案】
【分析】作，由题意可得AD=3,根据翻折变换的性质可得≌，由全等三角形的性质可得DM=MB；然后根据等腰三角形的性质可得AG=DG，再根据勾股定理可得；设GM=x，则MB=DM=，可根据AB=AG+GM+MB求得GM，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图，折到的中点处，折痕为，作，
∴AD=CD=3
是翻折而成，
≌，
∴DM=MB
∵等腰直角中
，
∴AG=DG
∵作
∴ ,即,解得：
设GM=x，则MB=DM=
∵AB=AG+GM+MB
∴，解得：x=2
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理、线段的和差等知识点，掌握折叠和全等三角形的关系是解答本题的关键．
14．（2022·浙江宁波·八年级名校校考）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，过点作直线与轴交于点，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．若为直角三角形，请写出点的坐标______．
【答案】或
【分析】由对折得，可得为直角三角形，分两种情况讨论：当时，过点作于，证明，从而可得答案；当时，先求解，可得，设，则，再利用勾股定理求解，再求，即可得到答案．
【详解】解：为直角三角形，分两种情况讨论：
①当时，过点作于，如图所示：
由对折可得，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，即，
，
；
②当时，如图所示：
由对折得，，，
，
，
由，可得：，
设，则，
，
，解得，
，
，
综上，或．
【点睛】本题考查求点的坐标，涉及直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，根据题意，分两种情况讨论，构造出图形是解本题的关键．
15．（2022·浙江宁波·八年级统考期末）如图，为等腰直角三角形，，，点在延长线上，，过点作的垂线交延长线于点．若，连结，，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，设，所以，，然后利用勾股定理可得，，设，所以，，根据两点间的距离可以建立平面直角坐标系，设，，，，作点关于轴的对称点，连接，可得，所以的最小值为的值，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：为等腰直角三角形，，，
，
过点作的垂线交延长线于点，
为等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，
，
在中，，
，
设，
，
，
如图建立如下平面直角坐标系，设，，，，
，
，
作点关于轴的对称点，连接，
，
的最小值为的值，
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，难度很大，是中考填空题的压轴题，考查了轴对称最短路线问题，等腰直角三角形，坐标与图形性质，勾股定理，两点之间的距离，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
三、解答题
16．（2023·山东济宁·八年级统考期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．
(1)如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）
(2)已知：两数x，y满足，，求的值．
(3)如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出；
（2）根据（1）中等式，整体代入计算；
（3）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出．
【详解】（1）解：如图2，正方形的面积，
正方形的面积，
；
（2），且，，
，
即，
的值为．
（3）如图3，正方形的面积，
正方形的面积，
，
即．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用面积法得出完全平方公式：．解题时注意数形结合思想的运用．
17．（2023春·浙江台州·八年级名校校考）在学习完勾股定理这一章后，小梦和小璐进行了如下对话．
小梦：如果一个三角形的三边长a，b，c满足，那我们称这个三角形为“类勾股三角形”，例如的三边长分别是，和2，因为，所以是“类勾股三角形”．
小璐：那等边三角形一定是“类勾股三角形”！
根据对话回答问题：
(1)判断：小璐的说法___________（填“正确”或“错误”）
(2)已知的其中两边长分别为1，，若为“类勾股三角形”，则另一边长为___________；
(3)如果是“类勾股三角形”，它的三边长分别为x，y，z（x，y为直角边长且，z为斜边长），用只含有x的式子表示其周长和面积．
【答案】(1)正确
(2)2或
(3)周长为：，面积为：．
【分析】（1）将其三边长的平方写出来，看能否写成两边的平方等于第三边平方的两倍即可；
（2）分三种情况讨论求解并进行验证即可；
（3）根据勾股定理和类勾股三角形的性质将y、z用x表示，即可求出结果．
【详解】（1）解：设等边三角形三边长分别是a，b，c，则，
∴，
∴等边三角形是“类勾股三角形”，
∴小璐的说法正确，
故答案为：正确；
（2）解：设另一边长为x，
①，解得，符合题意；
②，解得，符合题意；
③，无解；
故答案为：2或；
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴周长为：，
面积为：．
【点睛】本题考查勾股定理，理解题目中的新定义及掌握勾股定理是解题关键．
18．（2023·湖南衡阳·八年级衡阳市第十五中学校考期末）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)出发2秒后，求的长；
(2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？
(3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
【答案】(1)
(2)当出发秒时，第一次能形成等腰三角形；
(3)秒或秒或秒成为等腰三角形；
【分析】（1）根据行程问题求出，，结合勾股定理即可得到答案；
（2）当Q在上运动且时第一次形成等腰三角形，根据线段相等列方程求解即可得到答案；
（3）分，，三类列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，如图所示，
，，
∵，
∴；
（2）解：由题意可得，
当Q在上运动且时第一次形成等腰三角形，
∵，，
∴，解得：，
∴当出发秒时，第一次能形成等腰三角形；
（3）解：过Q作如图所示，
∵，，，
∴，
由题意可得，
，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
① 当时，
，
解得：或（与C点重合舍去），
② 当时，
，
解得；
③ 当时，
，
解得；
综上所述：秒或秒或秒成为等腰三角形；
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的定义，注意分类讨论思想的应用．
19．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）（1）问题背景 如图1，已知和为等边三角形，求证：．
（2）尝试应用 如图2，已知为等边三角形，点D是外一点，且，求线段、、的数量关系．
（3）拓展创新 如图3，点是等边外一点，若，直接写出线段的长___．
【答案】（1）见解析（2），理由见解析（3）
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）在上截取，连接，易得为等边三角形，同法（1）可得，，进而得到，从而得到；
（3）以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，勾股定理求出的长，同（1）法可得：，得到，即可得解．
【详解】（1）证明：∵和为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，在上截取，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵为等边三角形，
同法（1）可得：，
∴，
∴；
（3）如图，以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵均为等边三角形，
同法（1）可得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
20．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校名校校考）如图，在中，，，为边的一点，为边上一点，连接，交于点且，平分交于点．
(1)求证：；
(2)延长交于，连接，过点作交的延长线于点，求证：；
(3)在(2)问的条件下，当时，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据证明，则；
（2）先证明，得，再证明，即可得出结论；
（3）过点作，垂足为，求出，得出，根据直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
（3）过点作，垂足为，
设，则，
，
，
，
解得，
，
，
由得：，
，
在中，，，
在中，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．