广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高二上学期1月期末联合考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高二上学期1月期末联合考试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 的倾斜角
A. B. C. D.
2.在等差数列 中， ， ，则 ( )
A. 10 B. 17 C. 21 D. 35
3.已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点，点 P 在该双曲线上，若 ，则 ( )
A. 4 B. 4 或 6 C. 3 D. 3 或 7
4.在等比数列 中， ， ， 是 的前 n 项和，则 ( )
A. 63 B. 48 C. 31 D. 15
5.若椭圆 的短轴长是焦距的 2 倍，则 C 的离心率为( )
A. B. C. D.
6.如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在的平面互相垂直， ， ，M 在 EF 上，且 平
面 BDE，则 M 点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列 满足 ，其前 n 项和 则( )
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A. 数列 的公比为 p B. 数列 为递减数列
C. D. 当 取最小值时，
8.对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现
对数列 1，5 进行构造，第 1 次得到数列 1，6，5，第 2 次得到数列 1，7，6，11，5，依此类推，第 n 次得
到数列 1， ， ， ， ， 记第 n 次得到的数列的各项之和为 ，则 的通项公式 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9.已知 是等差数列 的前 n 项和，且 ，下列说法正确的是
A. B.
C. 数列 的最大项为 D.
10.下列有关数列的说法正确的是( )
A. 数列 ，0，4 与数列 4，0， 是同一个数列
B. 数列 的通项公式为 ，则 110 是该数列的第 10 项
C. 在数列 1， ， ，2， ， 中第 8 个数是
D. 数列 3，5，9，17，33， 的一个通项公式为
11.已知直线 l 的方向向量 ， 为直线 l 上一点，若点 为直线 l
外一点，则点 P 到直线 l 上任意一点 Q 的距离可能为
A. 2 B. C. D. 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则 .
13.已知 是等比数列， ，若 ，则实数 .
14.已知抛物线 的焦点为 F，A 为抛物线 C 上一点．以 F 为圆心，FA 为半径的圆交
抛物线 C 的准线于 B，D 两点，A，F，B 三点共线，且 ，则 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13 分
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
焦点在 x 轴上，实轴长为 2，其离心率
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渐近线方程为 ，经过点
16. 本小题 15 分
已知等差数列 的前 n 项和 满足 ，
求 的通项公式;
，求数列 的前 n 项和
17. 本小题 15 分
如图，在长方体 中， ， ，点 E 在棱 AB 上移动.
证明：
当 E 为 AB 的中点时，求异面直线 AC 与 所成角的余弦值;
线段 AE 的长为何值时，二面角 的大小为
18. 本小题 17 分
已知数列 满足 ，
求证： 是等差数列;
若 ，求数列 的前 n 项和
19. 本小题 17 分
已知抛物线 的焦点为 F，O 为坐标原点，E 为抛物线上一点， 且
求抛物线 C 的方程;
过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若点 P 在抛物线的准线上，且 为等边三角形，
求直线 AB 的斜率.
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属于基础题．
由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．
【解答】
解：直线 的斜率 ，
由斜率和倾斜角的关系可得 ，
又 ，
故选
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．
由通项公式 ，求出 d，再计算 即可．
【解答】
解：在等差数列 中， ， ，
解得 ，所以 ，
故选
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线定义，属于基础题.
由∣ ， ，可得
【解答】
解：双曲线中， ， ， ，
由双曲线定义知：∣ ，而 ，
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又 且 ，
或 7，
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式与等比数列求和公式，属于基础题.
先由已知条件与等比数列的通项公式求出公比 q 与首项 ，再由等比数列求和公式求解即可.
【解答】
解：由题意可得 ，解得 ， ，
所以
故选
5.【答案】B
【解析】【分析】
先根据题意可知 ，进而求得 a 和 c 的关系，离心率可得．
本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
【解答】
解：依题意可知 ，而 ，
椭圆的离心率
故选：
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查线面平行的性质，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
设 AC、BD 交于点 O，连结 OE，由已知推导出 ，，由此能求出点 M 的坐标．
【解答】
解：如图，
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设 M 点的坐标为 ， ，连接 OE，
则 ，又 ， ，
， ，
平面 BDE， 平面 ACEF，平面 平面 ，
， ，
解得 ， 点的坐标为
7.【答案】D
【解析】解：等比数列 满足 ，其前 n 项和 ，
由已知 ，当 时， ，则 ，即 ，
当 时， ，所以 ，
由等比数列知：公比为 ，则 ，即 ，所以 ，A、C 选项错误；
又 ， ，则公比 ，所以数列 为递增数列，B 选项错误；
，
当且仅当 ，即 时取等号，此时公比为 ，
所以数列 的通项公式为 ，D 选项正确．
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故选：
利用退一相减法可得数列的递推公式，进而可得公比为 ， ，进而可判断数列 的单调性，再
根据基本不等式可得当且仅当 时， 取最小值，进而可得公比与通项公式．
本题考查等比数列的定义，单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知，第 n 次得到数列 1， ， ， ，…，
第 1 次得到数列 1，6，5，
第 2 次得到数列 1，7，6，11，5，
第 3 次得到数列 1，8，7，13，6，17，11，16，5，
第 4 得到数列 1，9，8，15，7，20，13，19，6，23，17，28，11，27，16，21，5，
第 n 次得到数列 1， ， ， ，…，
所以 ，
，
，
，
即
【分析】根据数列的构造规律递推，得到 即可．
本题考查数列的递推公式及数列求和，考查学生的推理能力及运算能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式、性质和前 n 项和，属于基础题.
由 判断出 ， ，求出 ，即可判断 A；
利用等差数列的性质求出 ，可以判断 B；
由 ， ，可判断出 最大，可以判断 C；
由 ， ， ，可以判断
【解答】
解：因为 ， ，所以 ，故 A 正确；
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，所以 ，故 B 正确；
因为 ， ，所以数列 的最大项为 ，故 C 不正确；
因为 ， ， ，所以 ，即 ，故 D 正确．
故选
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查数列的相关概念，数列的通项公式，属于基础题.
根据数列的相关知识逐一判断可得.
【解答】
解：对于 A，数列 与 中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以 A 不正确；
对于 B，令 ，解得 或 舍去 ，B 正确；
对于 C，根号里面的数是公差为 1 的等差数列，第 8 个数为 ，即 ，C 正确；
对于 D，由数列 3，5，9，17，33，…的前 5 项可知通项公式为 ，D 正确.
故选
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查点到直线距离的向量求法，利用 ⟨ ⟩ 进行求解即可.
【解答】
解：因为 ， ，
所以 ，
则 ，
所以点 P 到直线 l 的距离 ，
所以点 P 到直线 l 上任意一点 Q 的距离大于或等于 ，故选
12.【答案】
【解析】【分析】
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本题考查求数列的通项公式，属于基础题.
根据 可以求出通项公式 ；检验 与 是否相等，从而确定 的表达式.
【解答】
解：根据递推公式 ，
可得 ， ，
可得 ， ，
即 ，
当 时， 不满足上式，
所以
13.【答案】11
【解析】解：因为 是等比数列， … ，
若 ，则 … ，
所以 ，
所以 ，
所以
故答案为：
由已知结合等比数列的性质及指数的运算性质可求．
本题主要考查了等比数列的通项公式及性质的应用，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查抛物线的定义和性质，以及圆的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．
求得抛物线的焦点和准线方程，由 A，F，B 三点共线，推得 ，由直角三角形的性质可得 F 到准线
的距离，可得
【解答】
解：抛物线 C： 的焦点为 ，准线方程为 ，
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因为 A，F，B 三点共线，可得 AB 为圆 F 的直径，
所以 ，
由抛物线的定义可得 ，
则 ，
所以 F 到准线的距离为 ，
故答案为
15.【答案】解： 由题意设所求双曲线的标准方程为 ，
则 ，
所求双曲线的标准方程为
由渐近线方程 ，可设所求双曲线的方程为 ，
该双曲线经过点 ， ，
所求双曲线的标准方程为
【解析】本题考查了双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运
用.
设出标准方程，求出 c，然后求出 b，这样可以求出双曲线方程.
由题意设所求双曲线的方程为 ，将点 代入，从而求出双曲线方程.
16.【答案】解： 设公差为 d ，
则 ，
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所以 ，
解得 ，
所以 ，
，所以 ，
所以
.
【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运
算能力，属于中档题． 设等差数列 的公差为 d，由等差数列的求和公式，解方程可得首项和公差，
进而得到所求通项公式；
求得 ， ，再利用裂项相消法求和即可．
17.【答案】解：以 D 为坐标原点，直线 DA，DC， 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， …
因为 ，
，所以 ；
因为 E 为 AB 中点，则 ，
从而 ， ，
设 AC 与 所成的角为
则
设平面 的法向量为 ，
， ，
由 ，有 ，
令 ，从而 ，
，
由题意，
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不合题意，舍去 ，或
当 时，二面角 的大小为
【解析】 以 D 为坐标原点，直线 DA，DC， 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设 ，
则我们可以确定长方体 中，各点的坐标，求出直线 和直线 的方向向量后，判
断他们的数量积为 0，即可得到 ；
由 E 为 AB 的中点时，则我们可以求出满足条件的 E 点的坐标，进而求出直线 AC 与 的方向向量，
代入向量夹角公式，即可得到答案．
若二面角 的大小为 ，则平面 的法向量 与平面 ECD 的法向量 的夹角大小为 ，
求出平面 的法向量 ，构造关于 x 的方程，解方程即可得到满足条件的 AE 的值．
本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求直线间的夹角、距离，用空间向
量求平面间的夹角，其中建立适当的空间坐标系，求出各顶点的坐标及相关直线的方向向量及相关平面的
法向量的坐标，将空间平行、垂直及夹角问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．
18.【答案】 证明：由 ，
又 ，
，
故 ，且 ，
是首项、公差均为 的等差数列.
解：由 ， ，则 ，
又 ，
，
则 ，
，
，
则 ，
，
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【解析】本题考查等差数列的证明、错位相减求和，属于中档题.
由题意化简即可得出 ，结论得证;
由 得出 ，使用错位相减法求出
19.【答案】解： 不妨设点 E 在第一象限，因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，即抛物线 C 的方程为
当直线 l 的斜率不存在时， ， ，要使得 为等边三角形，则 ，
但是 ， ， 为等腰直角三角形，不符合题意，
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： ，由
化简得 ，则 ， ，
故线段 AB 的中点为
设 ，因为 ，所以 ，即 ，
， ，
因为 为等边三角形，所以 ，
即 ，即 ，
【解析】本题考查了抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义和直线与抛物线的位置关系，是
中档题.
不妨设点 E 在第一象限，因为 ，所以 ，得出 和 ，由
，得出 p，可得抛物线 C 的方程；
当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为： ，联
立方程组，由题意可得 ，求出
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