河北省保定市高碑店市2024-2025学年九年级上学期1月期末 数学试题（含解析）

这是一份河北省保定市高碑店市2024-2025学年九年级上学期1月期末 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上都不对
2．抛物线的开口方向是（ ）
A．向下B．向上C．向左D．向右
3．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ）
A．周长B．面积C．每个内角的度数D．每条边的长度
4．下列数中，能使方程成立的的值为（ ）
A．1B．2C．4D．16
5．如图，，由作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
6．如图，这是由四个小正方体叠成的一个立体图形，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，，分别为平行四边形边，的中点，为与的交点，在对角线上作点，，使以，，，为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图．
下列说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉正确B．只有淇淇正确C．两人都正确D．两人都不正确
9．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径（米）是其两腿迈出的步长之差（厘米）的反比例函数，与之间有如下表的关系．
当某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为10米时，他两腿迈出的步长之差为（ ）
A．0.5厘米B．1.2厘米C．1.4厘米D．2.1厘米
10．如图，一条公路环绕山脚的部分是一段圆弧形状（为圆心），过，两点的切线交于点，测得，米，则这段公路的长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
11．如图，在正方形中，为边上的一点，，，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
12．对任意实数，二次函数满足，则的值是（ ）
A．B．0C．1D．2
二、填空题（本大题共4小题）
13．如图，在矩形中，若对角线，则 ．
14．若，则 ．
15．如图，过点作轴，交反比例函数的图象于点，以为边在的左侧作菱形，顶点，在轴上，则点的坐标为 ．
16．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，其中一个正六边形的外接圆也交于点．若外接圆的半径为2，则 ．
三、解答题（本大题共8小题）
17．计算：．
18．已知一元二次方程．
(1)当时，求方程的根．
(2)若，，是该方程的两根，求的值．
19．如图，某工程队承接了一项开挖水渠的工程，所需天数（天）是每天完成的工程量（米/天）的反比例函数，其图象经过点．
(1)求与的函数关系式．
(2)当每天完成25米时，求该工程队完成工程所需的时间．
(3)若完成工程的天数小于50天，则该工程队每天完成的工程量的取值范围是________．
20．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)以原点为位似中心，在第四象限内画出与位似的，使与的相似比为．
(2)在（1）的条件下，点的坐标为________，与的周长比是________，与的面积比是________．
21．如图，正五边形的五个顶点上放着五个写有不同数字的小球（和数字不同，其他均一样），从中随机选取一个小球后不放回，再从与第一个小球不相邻的两个小球中随机选取一个．例如：第一次选取小球，则第二次只能从小球或小球中随机选取一个，小球上的数字如下表所示．
(1)若第一次选择小球，则第二次选中小球的概率为________．
(2)补全树状图，并求两次选取的小球数字符号相同的概率．
22．无人机表演已成为一种新型的演出形式．如图，三架无人机同时从点处起飞，无人机爱好者甲、乙、丙三人站在一条直线上的，，三处操纵无人机进行表演，，，，．点和点处分别有一名观察员，，，且点，，，，，都在同一平面内．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
23．图1为一种半圆形摇椅，如图2，未乘坐时，其截面是以为直径的半圆，，及是支撑杆，点在半圆上，，，，平行于地面，的延长线交于点．如图3，乘坐时，半圆沿地面向后做无滑动滚动，平行于地面，半圆与地面相切于点，的延长线交半圆于点．
(1)求半径的长．
(2)乘坐时，点到地面的高度为多少？
(3)请直接写出乘坐时，地面上点与点之间的距离．
24．如图，以为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点．
(1)当，时，求该抛物线与轴的交点坐标．
(2)嘉嘉说：与满足一次函数，请帮助嘉嘉求出和的值．
(3)若．
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据直线与圆有两个交点即可解答．
【详解】解：∵直线与圆有两个交点，
∴直线与圆的位置关系是相交．
故此题答案为A．
2．【答案】B
【分析】抛物线的开口方向由抛物线的解析式y=ax2+bx+c（a≠0）的二次项系数a的符号决定，据此进行判断即可．
【详解】解：∵y=2x2的二次项系数a=2＞0，
∴抛物线y=2x2的开口方向是向上；
故此题答案为B．
3．【答案】C
【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系，
用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，
每个内角的度数保持不变，
故此题答案为C．
4．【答案】B
【分析】利用开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
∴
故此题答案为B．
5．【答案】D
【分析】由作图痕迹可知，该图为尺规作相等线段，由等边对等角及三角形的内角和定理可得 ，再通过求角的正弦值及特殊角的三角函数值即可得出答案．
【详解】解：由作图痕迹可知，该图为尺规作相等线段，
∵，
，
，
，
故此题答案为D．
6．【答案】C
【分析】根据三视图的基本知识，分析给出的几何体，得到从物体上面看得到的图形，即可解答题目．
【详解】解：俯视图即从上面看，有两列小正方形，从左往右小正方形个数为2，1，且右边的1个小正方形在上方．
故俯视图是，
故此题答案为C．
7．【答案】A
【分析】根据题意，画树状图把所有可能出现的结果表示出来，即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有3种，
∴两人恰好选中同一根绳子的概率为：，
故此题答案为A．
8．【答案】A
【分析】根据题意对嘉嘉和淇淇作图进行判定即可求解；
【详解】解：在中，，，
，，
在和中，
，
，
，
由题图①作图可得，
题图①中以，，，为顶点的四边形为矩形.
由题图②作图可得，
，
，
在 和中，
，
，
，
∵，
.题图②中以，，，为顶点的四边形为平行四边形；
故只有嘉嘉正确；
故此题答案为A
9．【答案】C
【分析】先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可．
【详解】解：设y与x之间的函数表达式为，
∴，
解得：，
则y与x之间的函数表达式为，
当米时，即
则
则他两腿迈出的步长之差为1.4厘米
故此题答案为C．
10．【答案】B
【分析】根据圆的切线定义可知，再由多边形内角和求出，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：∵，过，两点的切线交于点，
∴，
∴
∴米
故此题答案为B
11．【答案】B
【分析】根据四边形是正方形，得出，从而得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
故此题答案为B．
12．【答案】A
【分析】由题意可得，可令即可得到答案．
【详解】解：由题意，得，
令，则，
∴．
故此题答案为A．
13．【答案】4
【分析】根据矩形的对角线相等，即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
，
，
14．【答案】
【详解】解：，
15．【答案】
【分析】根据题意可求出点的坐标，进而求得的长，即可求解；
【详解】解：过点作轴，交反比例函数的图象于点，
则点的横坐标为，
将代入反比例函数上，
可得：，
故点，
因为是菱形，
在中，，
；
故点坐标为：
16．【答案】/
【分析】连接，根据正六边形性质得出，证明四边形是菱形，得出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解．
【详解】解：如图，连接，
根据题意可得，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
17．【答案】1
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
先化简零指数幂，再代入特殊角三角函数值，然后再计算即可．
【详解】解：原式
．
18．【答案】(1)
(2)4
【分析】将已知值b代入，利用直接开平方法解方程即可，
将已知值b代入，结合根与系数的关系即可求得代数式的值．
【详解】（1）解：当时，方程为，
则，
解得．
（2）解：若，则方程为．
∵，是该方程的两根，
∴，，
∴．
19．【答案】(1)
(2)40天
(3)
【分析】（1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时，y的值即可得到答案；
（3）根据图象求出当时的取值范围即可求解，
【详解】（1）解：设与的函数关系式为．
将点代入上式，得，
解得：，
∴与的函数关系式为．
（2）解：将代入，得．
答：该工程队完成工程所需的时间为40天．
（3）解：若完成工程的天数小于50天，即，
根据图象可得当时，
20．【答案】(1)见详解
(2)；；
【分析】（1）把点的横纵坐标都分别乘以2得到点和的坐标，然后描点即可．
（2）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作．
（2）解：由图可知，
∵与的相似比为，
∴与的周长比是，与的面积比是
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）第一次选取小球，则第二次只能从小球或小球中随机选取一个，即可求解；
（2）根据题意，补全树状图，求解两次选取的小球数字符号相同的概率即可；
【详解】（1）解：第一次选取小球，则第二次只能从小球或小球中随机选取一个，
第二次选中小球的概率为；
故答案为：
（2）解：补全树状图如下．
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中符合条件的结果共有种，
∴
22．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由含30度直角三角形的性质可得出，进而可得出，再证明，由相似三角形的性质可得出．
（2）由正切的定义得出，由（1）知，，则，根据平行线的性质得出，由勾股定理即可得出，再根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：在中，，
∴．
由（1）知，，
则．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴
23．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据勾股定理即可求解．
（2）如图，过点作于点．得出，根据半圆与地面相切，得出．结合，证明， 求出，再求出，根据点到地面的高度即为的长，即可求解．
（3）由题意可知的长即为弧的长，根据弧长公式即可求解．
【详解】（1）解： ∵，，
∴．
∵，，
∴．
（2）解：如图，过点作于点．
∵，，
∴，
∴．
∵半圆与地面相切于点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴点到地面的高度即为的长，
∴点到地面的高度为．
（3）解：由题意可知的长即为弧的长，
∴．
24．【答案】(1)
(2)，
(3)①该抛物线的函数表达式为；②存在，点的坐标为或
【分析】（1）将，代入得出二次函数解析式，再将代入二次函数解析式即可；
（2）由题意，得点．将点的坐标代入，得，即可求解．
（3）①根据，抛物线的对称轴为直线，得出，可求点，将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解方程即可求出值，即可求出抛物线的表达式；
②将共高三角形面积的比化为高的比，即，即，解得，则，解出，即可解答．
【详解】（1）解：当，时，抛物线的函数表达式为．
将代入上式，得，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（2）解：由题意，得点．
将点的坐标代入，得，
∴，．
（3）解：①，函数的对称轴为直线，
则，
当时，，即点．
将点代入抛物线，得．
由（2）得，
∴，
解得：或．
当时，，不符合题意，舍去，
∴，，即点，
∴该抛物线的函数表达式为．
②存在．点的坐标为或．
∵和的底均为，
∴面积的比为高的比．
∵的面积和的面积比是，
∴，即，
解得：．
令，
解得：，
∴点的坐标为或．
嘉嘉：
以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，．
淇淇：
分别过点，作于点，于点．
/厘米
1
2
3
5
/米
14
7
2.8
小球
小球
小球
小球
小球