辽宁省鞍山市海城市第二中学2024−2025学年九年级上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省鞍山市海城市第二中学2024−2025学年九年级上学期开学考试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2B．C．且x≠﹣2D．且x≠﹣2
2．奥林匹克官方旗舰店3月份各种“冰墩墩雪容融”纪念品的销售情况统计如下，则纪念品所售价格的众数是（ ）
A．100元B．100C．58元D．100万件
3．下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形
4．三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）．
A．B．C．D．
5．吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．用尺规在一个平行四边形内作菱形，如图所示的作法中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．
C．且D．
8．如图，四边形为矩形，过A、C作对角线的垂线，过B、D作对角线的垂线，如果四条垂线段拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
9．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（ ）
A．2B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．当 时，二次根式取最小值，其最小值为 ．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点F是BC的中点，点D是AB的中点，连接AF和DF，若△DBF的周长是11，则AB＝ ．
13．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
14．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为 ．

15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC=8cm，BD=6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t= s时，△PAB为等腰三角形．
三、解答题（本大题共8小题）
16．（1）计算：；
（2）解方程：；
17．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．
（1）根据题意，填表：
（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
18．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．超始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
(1)求的长；
(2)求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：）
19．某区对5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频率分布表和频数分布直方图的一部分（如图所示）.请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频率分布表中，的值为______，的值为______，并将频数分布直方图补充完整；
（2）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数.”问甲同学的视力情况应在什么范围内？
（3）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，则视力正常的人数占被统计人数的百分比是______，并根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生人数.
20．红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
(1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求出的面积；
(3)点D在此坐标平面内，且以O、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点D的坐标．
22．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的周长和对角线MN的长．
23．综合与实践
问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题．
如图1，是的中位线．则，且．
(1)如图1，若，则________；
(2)回顾证法：
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）．
请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程；
已知：中，点，分别是，的中点．
求证：，且．
(3)方法迁移：
如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．
【详解】解：由题意得，
解得且x≠-2．
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）即可得．
【详解】解：因为在纪念品所售价格中，58元销量最高，即出现的次数最多，
所以纪念品所售价格的众数是58元，
故此题答案为C．
3．【答案】D
【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．
【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意；
故此题答案为D．
4．【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项进行计算即可判断．
【详解】A. ，设，
则，，
故A选项不能判断它是直角三角形，符合题意；
B. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意；
C. ，即，故能判断是直角三角形，不符合题意；
D. ，设，则，，
，故能判断是直角三角形，不符合题意．
故此题答案为A．
5．【答案】C
【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．
【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)；
在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)；
故此题答案为C．
6．【答案】C
【分析】根据菱形的判定和作图痕迹解答即可．
【详解】解：A、由作图可知，，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；
B、由作图可知，即四边相等的平行四边形是菱形，正确；
C、由作图可知，只能得出四边形是平行四边形，错误；
D、由作图可知，对角线平分对角，可以得出是菱形，正确；
故此题答案为C．
7．【答案】A
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故此题答案为A．
8．【答案】B
【分析】先根据矩形的性质得到，，再根据三角形的面积公式得到，进而利用四条边相等的四边形是菱形可得结论．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
∴四条垂线段拼成一个菱形，
故此题答案为B．
9．【答案】B
【分析】从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解∶∵不等式的解集是，
∴当时，，
观察各个选项，只有选项B符合题意，
故此题答案为B．
10．【答案】D
【分析】先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故此题答案为D．
11．【答案】 0
【分析】根据二次根式的性质可知最小值为0，进而求得的值．
【详解】，
当-1时，二次根式取最小值，其最小值为0．
12．【答案】8
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC，然后代入数据计算即可得解．
【详解】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE=DF=AB，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF=FC=3，
∵BE⊥AC，
∴EF=BC=3，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=AB+3=11，
∴AB=8
13．【答案】
【分析】设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）
14．【答案】
【分析】先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：当时，，
解得，
则，
∵的面积被y轴平分，
∴点P与点A的横坐标互为相反数，
∴点P的横坐标为，
∵点P在直线上，
∴点P的坐标为．
15．【答案】5或8或
【分析】求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA=AB=5cm时，②当P和C重合时，PB=AB=5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，求出即可．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm，
∴AC⊥BD，AO=OC=4cm，BO=OD=3cm，
由勾股定理得：BC=AB=AD=CD=5cm，
分为三种情况：①如图1，当PA=AB=5cm时，t=5÷1=5（s）；
②如图2，当P和C重合时，PB=AB=5cm，t=8÷1=8（s）；
③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB=PA，连接PB，
在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2=BO2+OP2，
AP2=32+（4﹣AP）2，
AP=；
t=÷1=（s）
16．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）把二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
由题意可得，
∵
∴
∴．
17．【答案】（1）见解析（2）降价4元或36元
【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可；
（2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可．
【详解】（1）根据题意，填表：
（2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600
整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0
解得：x=4或x=36．
答：每件应降价4元或36元．
18．【答案】(1)的长为；
(2)物体上升的高度约为．
【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质即可求出答案；
（2）用勾股定理求出，再求出，根据即可求出答案．
【详解】（1）解：如图2，在中，，
，
，
则的长为；
（2）在中，，
根据勾股定理得：，
在中，，
则物体上升的高度约为
19．【答案】 60 0.05 35%
【分析】（1）用第1组的频数除以第1组的频率可得到样本容量，然后用样本容量分别减去各组的频数可得到第4组的频数，用第5组的频数除以样本容量可得到该组的频率；
（2）根据中位数的定义可得到第100个数据和第101个数据都落在第3组内所以中位数落在第3组内，由此可判断甲同学的视力情况；
（3）第4、5组的视力正常，所以视力正常的人数占被统计人数的百分比= ×100%=35%，然后用这个百分比乘以2000即可．
【详解】（1）∵20÷0.1=200，∴a=200﹣20﹣40﹣70﹣10=60， b=10÷200=0.05，
补全直方图如图所示；
（2）∵根据中位数的定义知道中位数在4.6≤x＜4.9，
∴甲同学的视力情况范围：4.6≤x＜4.9；
（3）视力正常的人数占被统计人数的百分比是： ×100%=35%，
∴估计全区初中毕业生中视力正常的学生有35%×5000=1750人，
20．【答案】(1)种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元；
(2)有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元
【分析】对于（1），设A种树苗的单价，可表示B种树苗的单价，再根据总价等于4000，求出解；
对于（2），先列出不等式组，求出解集，可得方案，然后列出一次函数表示总费用，再根据一次函数的性质得出最低费用即可．
【详解】（1）解：设A种树苗的单价是元，则种树苗的单价是元，根据题意得：，
解得：，
，
答：A种树苗的单价是4元，则种树苗的单价是5元；
（2）解：设购买A种树苗棵，则购买种树苗棵，其中为正整数，根据题意得：，
解得：，
为正整数，
取20，21，22，23，24，25，
有6种购买方案，
设总费用为元，
，
随的增大而减小，
当时，最小，最小值为475，
此时，
答：有6种购买方案，购买A种树苗，25棵，购买种树苗75棵费用最低，最低费用是475元．
21．【答案】(1)
(2)3
(3)点D的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立，可求出两直线交点坐标为，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）分类讨论：①当为边，且点D位于直线下方时和②当为边，且点D位于直线上方时，结合平行四边形的性质可求解；③当为对角线时，过点C作轴于点E，过点C作轴于点F，结合平行四边形的性质可证，即得出，，即得出答案．
【详解】（1）解：将，代入，
得：，解得：，
∴此一次函数的解析式为；
（2）解：联立，解得：，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：分类讨论：①当为边，且点D位于直线下方时，此时平行四边形为，如图，
∴，
∴，，
∴；
②当为边，且点D位于直线上方时，此时平行四边形为，如图，
∴，
∴，，
∴；
③当为对角线时，此时平行四边形为，如图，过点C作轴于点E，过点C作轴于点F，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵四边形为平行四边形，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴．
综上可知点D的坐标为或2,1或．
22．【答案】（1）见解析；（2）周长20，
【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，求出MD＝5，由勾股定理求出BD的长，得出OB的长，再由勾股定理求出OM，即可得出MN的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，OB＝OD，
∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO．
∵MN是BD的垂直平分线
∴OD＝OB，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM＝ON．
∵OB＝OD，
∴四边形BMDN是平行四边形．
∵MN⊥BD，
∴四边形BMDN是菱形．
（2）解：设MD＝MB＝x，则AM＝8﹣x．
在Rt△AMB中，由勾股定理得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．即MB＝5，
∴菱形BMDN的周长为5×4＝20．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝＝4，
∴．
在Rt△BOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝，
由（1）得：OM＝ON，
∴．
23．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据中位线定理求解即可；
（2）延长到点，使得，连接，证出后，利用全等的性质证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质求解即可；
（3）延长到点，使，连接，，证出四边形是平行四边形后，结合正方形的性质，证出，通过全等的性质求解即可．
【详解】（1）∵是的中位线，
∴
（2）解：由题意可得：延长到点，使得，连接如图所示：
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∴在和中：
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，且
（3）延长到点，使，连接，，如图所示：
∵点是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵四边形和都是正方形，
∴，，，
∴，
∴在和中：
，
∴，
∴，
∵，
∴．
价格（元）
100
88
68
58
48
销量（万件）
70
80
40
100
40
每件利润（元）
销售量（件）
利润（元）
降价前
44
20
880
降价后
①
②
视力
频数（人）
频率
20
0.1
40
0.2
70
0.35
0.3
10
每件利润（元）
销售量（件）
利润（元）
降价前
44
20
880
降价后
44﹣x
20+5x
（44﹣x）（20+5x）