2024-2025学年江苏省南京市五校联盟高二（上）期末数学试卷【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省南京市五校联盟高二（上）期末数学试卷【含答案】，共14页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知直线ax+2y+6＝0与直线x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，则实数a的值为（ ）
A．﹣2B．2或﹣1C．2D．﹣1
3．以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A．（x+1）²+（y+2）²＝B．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
C．（x+1）²+（y+2）²＝D．（x﹣1）²+（y﹣2）²＝
4．已知曲线上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
5．在等差数列{an}中，已知a3+a4＝10，则数列{an}的前6项之和为（ ）
A．10B．20C．30D．40
6．已知两定点A（﹣2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|＝2|PB|，点Q是圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝3上的动点，则|PQ|的最大值为（ ）
A．5﹣B．5+C．3+2D．3﹣2
7．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个错的间距|PiPi+1|（i＝1，2，3，…，9）均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|、|BiBi+1|（i＝1，2，3，…，9）均为16m，最短拉索P1A1满足|OP1|＝60m，|OA1|＝96m，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索P10B10所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cs∠ABC＝，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若f（x）＝cs（2x+1），则f′（x）＝2sin（2x+1）
B．若f（x）＝e﹣2x+3，则f′（x）＝﹣2e﹣2x+3
C．若，则
D．若f（x）＝xlgx，则
（多选）10．已知椭圆，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为8
B．存在点P使得PF1的长度为4
C．椭圆上存在4个不同的点P，使得PF1⊥PF2
D．△PF1F2内切圆半径的最大值为
（多选）11．已知数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的正项等比数列．记，，，，则（ ）
参考公式：
A．当时，q＝2B．当D5＝2时，D7＝4
C．Fn≤1D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上。
12．已知数列{an}满足anan+1＝2n+3，若a3＝1，则a1＝ ．
13．若圆x2+y2＝16上恰有两个点到直线l：y＝x+a的距离为1，则正实数a的取值范围为 ．
14．已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和．如图为椭圆及其蒙日圆O，Ω的离心率为，点A，B，C，D分别为蒙日圆O与坐标轴的交点，AB，BC，CD，AD分别与Ω相切于点E，F，G，H，则四边形ABCD与四边形EFGH的面积的比值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知直线l：x﹣y+1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；
（2）求过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程．
16．（15分）已知函数f（x）＝x2．
（1）求f（x）在区间[2024，2025]上的平均变化率；
（2）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（3）求曲线y＝f（x）过点（2，0）的切线方程．
17．（15分）已知椭圆长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为且过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
18．（17分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＞0且a1a3＝36，a3+a4＝9（a1+a2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn；
（3）设，求{cn}的前n项和Pn．
19．（17分）已知F是双曲线C：的左焦点，且C的离心率为2，焦距为4．过点F分别作斜率存在且互相垂直的直线l1，l2．若l1交C于A，B两点，l2交C于D，E两点，P，Q分别为AB与DE的中点，分别记△OPQ与△FPQ的面积为S1与S2．
（1）求C的方程；
（2）当l1斜率为1时，求直线PQ的方程；
（3）求证：为定值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上。
1．【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x＝﹣1，
∴焦点到准线的距离是1+1＝2
故选：B．
2．【解答】解：∵直线ax+2y+6＝0与直线x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，
∴a（a﹣1）＝2×1，即a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2或﹣1，
当a＝2时，两直线重合，不符合题意，
当a＝﹣1时，两直线不重合，符合题意，
故实数a的值为﹣1．
故选：D．
3．【解答】解：∵两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离，
即两平行线2x﹣2y+2＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为＝，
∴以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，
故选：B．
4．【解答】解：y＝f（x）＝，
则f'（x）＝x，
故f'（1）＝1，
倾斜角的范围为[0，π），
曲线C在点P处的切线的倾斜角为45°．
故选：B．
5．【解答】解：等差数列{an}中，a3+a4＝10，
则数列{an}的前6项之和为＝3（a3+a4）＝30．
故选：C．
6．【解答】解：设点P（x，y），
由|PA|＝2|PB|，得，
所以P的轨迹方程为x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4．
又点Q是圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝3，
如图，
由图可知，圆（x﹣2）2+y2＝4上，
当P为（2，﹣2）时，P到（2，3）距离最大为5，
又圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝3的半径为，
∴|PQ|的最大值为．
故选：B．
7．【解答】解：|OA10|＝|OA1|+|A1A10|＝96+9×16＝240m，
|OP10|＝|OP1+|P1P10|＝60+9×4＝96m，
故B10（﹣240，0），P10（0，96），
则＝．
故选：D．
8．【解答】解：连接AF1，BF1，由题意可知A，D，F1三点共线，B，C，F1三点共线，
在△ABF1中，因为AB⊥AD，且cs∠ABC＝，可得cs∠ABF1＝，sin∠ABF1＝，
tan∠ABF1＝＝，
设|AF1|＝4k，|AB|＝3k，可得|BF1|＝5k，
由椭圆的定义可知|BF2|＝2a﹣|BF1|＝2a﹣5k，|AF2|＝|AB|﹣|BF2|＝3k﹣（2a﹣5k）＝8k﹣2a，
又因为|AF1|+|AF2|＝2a，即4k+8k﹣2a＝2a，解得k＝，
所以|AF1|＝，|AF2|＝﹣2a＝，
在Rt△AF1F2中，|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝（2c）2，
可得e＝＝，
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9．【解答】解：对于A．f′（x）＝﹣2sin（2x+1），A错误；
对于B．f′（x）＝﹣2e﹣2x+3，B正确；
对于C，，C错误；
对于，.，D正确．
故选：BD．
10．【解答】解：已知椭圆，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
对A，过点F1的直线与椭圆交于A，B两点，
则△ABF2的周长为4a＝8，
故A正确；
对B，由题意可得：a＝2，b＝1，，
根据椭圆性质可得a﹣c≤|PF1|≤a+c，
即，
故|PF1|＜4，
即不存在点P，使得PF1的长度为4，
故B错误；
对C，根据PF1⊥PF2可得P的轨迹为以F1F2为直径的圆，
即x2+y2＝3，不包括F1，F2两点，
易得该圆与椭圆有四个交点，
即椭圆上存在4个不同的点P，使得PF1⊥PF2，
故C正确；
对D，△PF1F2的周长为，
设△PF1F2的内切圆半径为r，
则，
故当最大时r最大，此时P为上下顶点，
，
则，
解得，
故D正确．
故选：ACD．
11．【解答】解：数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的正项等比数列．
则＝＝a1+（n﹣1），
Gn＝＝＝b1q，
＝•[（n﹣1）2+（n﹣3）2+...+（n﹣（2n﹣1））2]＝[n3﹣2n（1+3+...+2n﹣1）+4×﹣2n（n+1）+n]
＝[﹣n3+（2n3+3n2+n）﹣2n2﹣n]＝（n2﹣1），
＝，
对于A，当F3＝＝（q+1+）＝，则q＝2不是此方程的解，故A错误；
对于B，D5＝×24＝2d2＝2，解得d＝±1，则D7＝×48＝4，故B正确；
对于C，当n＝3时，q＞0且q≠1，可得F3＝（q++1）＞×（2+1）＝1，故C错误；
对于D，++...+＝（++...+）＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣）＜，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上。
12．【解答】解：因为anan+1＝2n+3，且a3＝1，
所以a2a3＝2×2+3＝7，解得a2＝7，
因为a1a2＝2+3＝5，所以7a1＝5，解得．
故答案为：．
13．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝16的圆心为（0，0），半径r＝4，
圆心到直线l的距离，
若圆上恰有2个点到直线l的距离等于1，则有3＜d＜5，
即，解可得：或，
又由a为正实数，则，即a的取值范围为．
故答案为：．
14．【解答】解：由题可得，蒙日圆O为x2+y2＝a2+b2，
则，，
所以直线AD的方程为：，
联立，化简得：，
则，
解得：，，
所以
＝＝
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0可得，圆心C（1，﹣2），半径，
圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+1＝0的距离为，
所以直线l与圆C相交，
直线l被圆C截得的弦长为．
（2）若过点（4，﹣1）的直线斜率不存在，则方程为x＝4，
此时圆心C（1，﹣2）到直线x＝4的距离为4﹣1＝3＝r，满足题意；
若过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线斜率存在，
则设切线方程为y+1＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣1＝0，
则圆心到直线kx﹣y﹣4k﹣1＝0的距离为，解得，
所以切线方程为，即4x+3y﹣13＝0，
综上，过点（4，﹣1）且与圆C相切的直线方程为x＝4或4x+3y﹣13＝0．
16．【解答】解：（1）所求为＝＝4049；
（2）∵f（x）＝x2，∴f′（x）＝2x，
∴f（2）＝4，∴f′（2）＝4，
∴曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：
y﹣4＝4（x﹣2），即4x﹣y﹣4＝0；
（3）设过点（2，0）的切线切曲线于点P（t，t2），
则曲线方程为y﹣t2＝2t（x﹣t），又其过（2，0），
∴﹣t2＝2t（2﹣t），解得t＝0或4，
∴所求切线为y＝0或y﹣16＝8（x﹣4），
即y＝0或8x﹣y﹣16＝0．
17．【解答】解：（1）由题意可知：2a＝4，则a＝2，
∵，∴，∴，
∴椭圆；
（2）由已知可得：，，
∴直线l：，
联立方程组，消去y得，
解得x＝0或，所以P（0，1），，
所以，
又点F1到直线PQ的距离，
∴．
18．【解答】解：（1）由题意得：a3+a4＝9（a1+a2），可得（a1+a2）q2＝9（a1+a2），q2＝9，
由an＞0，可得q＝3，由a1a3＝36，可得a1a1q2＝36，可得a1＝2，
可得an＝2×3n﹣1（n∈N*）；
（2）由an＝2×3n﹣1，可得，
由，可得，可得bn＝n，
可得{anbn}的通项公式：anbn＝2n×3n﹣1，
可得：Tn＝2×30+2×2×31+2×3×32+…+2×（n﹣1）×3n﹣2+2×n×3n﹣1①，
3Tn＝2×31+2×2×32+2×3×33+…+2×（n﹣1）×3n﹣1+2×n×3n②，
①﹣②得：＝2+3n﹣3﹣2n×3n＝（1﹣2n）×3n﹣1，
可得；
（3）由可得，
可得：Pn＝
＝＝．
19．【解答】解：（1）根据2c＝4，解得c＝2，又由于离心率，因此a＝1，
因此b2＝c2﹣a2＝3，因此双曲线C：．
（2）根据题知l1：y＝x+2，设B（x2，y2），A（x1，y1），那么，
联立直线方程l1和双曲线方程可得，化简得2x2﹣4x﹣7＝0，
所以x1+x2＝2，因此y1+y2＝（x1+2）+（x2+2）＝（x1+x2）+4＝6，
所以P（1，3），
又因为直线l1，l2互相垂直，那么直线l2：y＝﹣x﹣2，设E（x4，y4），D（x3，y3），
那么，
联立双曲线方程和直线l2，化简得2x2﹣4x﹣7＝0，
所以x3+x4＝2，因此y3+y4＝（﹣x3﹣2）+（﹣x4﹣2）＝﹣（x1+x2）﹣4＝﹣6，
那么Q（1，﹣3），因此PQ：x＝1．
（3）证明：根据题意可知，l1的斜率不为0，设l1：x＝my﹣2，B（x2，y2），A（x1，y1），
根据可得，（3m2﹣1）y2﹣12my+9＝0．
因此3m2﹣1≠0，根的判别式Δ＝（12m）2﹣36（3m2﹣1）＝36（m2+1）＞0，因此．
因此，因此．
同理可得：，m2≠3．
令，解得m2＝1．
当m2≠1，，m2≠3时，
直线PQ的斜率．
因此直线PQ方程为：，
化简得：，所以为：2mx+（m2﹣1）y﹣2m＝0．
因此O到PQ的距离，
因此F到PQ的距离，
因此．
根据第二问知，当m＝±1时，，因此．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
B
B
C
B
D
D