云南省德宏州民族第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

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考试时间：分钟 满分：分 命题人：张佳祝 审题人：李亚媛
一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直B．平行
C．重合D．相交但不垂直
2．如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（ ）（单位：米/秒）
A． B． C． D．
3．已知圆过，，三点，则圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．与点之间的距离为2，且在轴上的截距为4的直线是（ ）
A．B．
C．或D．或
6．若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸
B．秋分的晷长为75寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长
D．立冬的晷长为一丈五寸
8．已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．C．26D．28
二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知圆，点，下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆外
B．点是的定点
C．已知，过点B作圆的最短弦长为
D．过点作圆:的切线，则的方程为
10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，且，则
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交该抛物线于，两点，点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若直线的斜率为1，则 D．面积的最小值为
三、填空题（共3题，每题5分，共15分）
12．函数的图象在处的切线方程为 ．
13．若数列满足，数列的前n项和为，则
14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N是上的两点，满足，且，则的离心率为
四、解答题(共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。)
15. (本题满分13分)
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A； (2)若，，求的周长.
16. (本题满分15分)
上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数和35分位数；
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率.
17. (本题满分15分)
已知公差为的等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和.
18. (本题满分17分)
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19. (本题满分17分)
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程：
(2)若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；
（ⅱ）求面积的最大值．