云南省楚雄州2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份云南省楚雄州2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合，，根据交集的定义求结论.
【详解】集合，或，
故.
故选：A .
2. 已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由垂直直线的斜率关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程.
【详解】由题意，直线与直线垂直，故直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，即.
故选：A.
3. 在数列中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由列举得到是以4为周期的周期数列求解.
【详解】解：由题意得，
故是以4为周期的周期数列，
所以.
故选：D.
4. 已知直线与圆相交于两点，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由圆方程求圆心的坐标，圆的半径，再求圆心到直线的距离，利用弦长公式求结论.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
则
故选：C.
5. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可.
【详解】由已知可得，
所以向量在向量上的投影向量是.
故选：D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用弦化切以及余弦的倍角公式化简即可求解．
【详解】由可得：，
则
故选：B
7. 已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得.
【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知.
设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值.
由抛物线，得，所以的最小值为.
故选：B.
8. 已知为坐标原点，.若动点满足，则正数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设点，再根据计算得出，最后结合圆与圆的位置关系计算求参即可.
【详解】设，则.
因为，所以，
化简得，故点在以为圆心，为半径的圆上.
又因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上.
结合题意可知两圆相交或外切或内切，所以，
解得，故正数的最大值为.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分单位：分统计情况如下表：
根据表中数据，下列结论正确的是（ ）
A. 这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25
B. 这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过
C. 这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间
D. 这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用中位数判断A；利用比例判断B；利用极差判断C；利用平均数判断D
【详解】对于A，这50位教师12月份的日均得分在的人数为，
日均得分在的人数为，
因此这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25，A正确；
对于B，这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例为：
，B正确；
对于C，这50位教师12月份日均得分的极差属于，C正确；
对于D，这50位教师12月份的日均得分的平均值为：
，D错误．
故选：ABC
10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（ ）
A.
B.
C. 当时，的最大值为9
D. 当时，取得最大值
【答案】AD
【解析】
【分析】由条件，结合等差数列求和公式及性质证明，判断A，由结合等差数列通项公式证明公差，判断B，利用求和公式证明当时，，结合，判断C，由时，，时，，结合前项和的定义判断D.
【详解】设数列的公差为，
对于A，由，得，
又，所以，故A正确；
对于B，由A知，则，故B错误；
对于C，当时，，当时，，
又，
所以当时，，
且，
所以当时，的最大值为8，故C错误；
对于D，因为当时，，当时，，
所以当取得最大值时，，故D正确.
故选：AD.
11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2
C. 曲线上任意一点到原点的距离等于到直线的距离
D. 若是曲线上任意一点，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，若点在曲线上，由是否满足曲线的方程判断；对B，由曲线的对称性可令，结合可得，利用二次函数求得最值；对C，举反例说明；对D，根据题意，当点位于第二象限时，取得最大值，令，将代入，利用判别式判断.
【详解】对于A，若点在曲线上，则都满足曲线的方程，所以曲线关于轴对称，故A正确；
对于B，设点在曲线上，根据选项A，同理可得曲线关于轴，坐标原点对称，
由曲线的对称性可令，则，所以，
则，
所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过2，故B正确；
对于C，易知是上一点，该点到原点的距离不等于到直线的距离，故C错误；
对于D，由曲线的对称性可知，当点位于第二象限时，取得最大值，
所以，令，将代入，
可得，解得，即的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据曲线方程的特征判断曲线的对称性，结合各项描述并应用特殊象限点、两点距离公式、方程法判断各项正误为关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______，______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】结合奇函数性质可求m，然后结合奇函数定义可求
【详解】由函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
则，解得，即时，，
所以，.
故答案为：；
13. 在平行六面体中，，，M为的中点，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得的值．
【详解】在平行六面体中，，，
，M为的中点，
，
所以.
故答案为：
14. 已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则__________.
【答案】20
【解析】
【分析】根据双曲线和圆都关于轴对称，不妨设，，然后将圆的方程和双曲线的方程联立，利用两点间的距离和韦达定理求解.
【详解】解：双曲线和圆都关于轴对称，
不妨设，，
所以.
联立，得，
则，
故.
故答案为：20
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求B；
（2）若，求面积.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题设条件，结合正弦定理化边为角，利用和角公式，可求得，进而求得角B；
（2）首先由余弦定理求得边c，进而求得三角形面积．
【小问1详解】
由和正弦定理可得：，
因，
则得，
化简得，
因为，所以，可得，
因为，所以；
【小问2详解】
由余弦定理，可得，
即，解得或舍去，
故的面积为
16. 记为等差数列的前n项和，已知，
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，，求的通项公式.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）设数列的公差，利用等差数列的基本量运算求得，即可求得通项；
（2）利用累加法即可求出时，，检验符合，即得通项.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，
因为，，
解得，，
故的通项公式为；
【小问2详解】
由题意，可得，
当时，
，
当时，也成立，
所以的通项公式为
17. 如图，在正三棱柱中，为中点.
（1）证明：.
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）法一：取的中点，连接，通过平面，证明，进而说明平面，即可求证；法二：由空间向量的数量积为0，即可求证；
（2）建系，由二面角的向量法即可求解；
【小问1详解】
证明：（方法一）取的中点，连接.
由题意得平面平面，
所以.
因为平面平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以
，
则，所以，即.
又，所以平面.
因为平面，所以.
（方法二）.
设.由题可知，
则，
所以.
【小问2详解】
解：过点作的平行线，交于点.因为平面，且平面，所以.
又因为，所以两两互相垂直，故以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
则.
设平面的法向量为，则即
则，令，则，故.
设平面的法向量为，则即则，令，则，故.
设二面角的平面角为，则，
所以，即二面角的正弦值为.
18. 已知和为椭圆上两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积；
（3）过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程；
（2）利用余弦定理结合椭圆的定义求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积；
（3）当直线的斜率为零时，直接计算出的值；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求出的值，即可证得结论成立.
【小问1详解】
由题意得，解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题可知，.
在中，由勾股定理得，
则，即，
所以，故的面积是.
小问3详解】
当的斜率为时，；
当不与轴重合时，设直线的方程为，、，
联立得，
所以，，
由韦达定理可得，.
，
故为定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19. 已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.已知点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，点与点关于轴对称，过点作斜率为1的直线交于点，按照上述方法构造点.
（1）求曲线的方程；
（2）证明为等差数列，并求出的通项公式；
（3）记，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义即可得到结果.
（2）联立直线方程和抛物线方程用韦达定理即可证明为等差数列，进而求出的通项公式.
（3）对n为奇数或者偶数分情况讨论，利用分组求和即可求得数列的前项和.
【小问1详解】
因为动圆经过定点，且与直线相切，
即动圆圆心到点的距离与到直线的距离相等.
又点不在直线上，由抛物线的定义可知动圆圆心是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以动圆圆心的轨迹为，即的方程为.
【小问2详解】
由题可知，
可设直线的方程为.
将它与方程联立得，
所以，即，
所以是首项为1，公差为1的等差数列.
故.
【小问3详解】
由题可知，故，
则.
当为偶数时，令，则
当为奇数时，.
故.
得分
频数
5
15
20
10