数学中考压轴题专题训练 参考地区：北京第28题

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（1）如图，点A(0，1)，B(1，0)．
①在点C1(2，0)，C2(1，2)，C3(，0)中，点___________是弦AB的“α可及点”，其中α=____________；
②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为__________；
已知P是直线上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若点C关于弦AB中点的对称点恰好在⊙O上，则称点C是弦AB的“关联点”．
如图，点A，B，弦AB的中点为P．在点C1(1，-1)，C2，C3(2，0)，
C4(2，1)中，弦AB的“关联点”是 ；
（2）如果⊙O的弦AB=，直线y=x上存在弦AB的“关联点”Q，直接写出点Q的横坐标xQ的取值范围；
（3）已知点M(0，2)，N．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦AB，使得点S是弦AB的“关联点”．若对于每一点S，将其对应的弦AB的长度的最大值记为d，则当点S在线段MN上运动时，d的取值范围是多少？直接写出你的答案．
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：连接PC交⊙C于点N，若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点.
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D(-1，-1)，E(2，0)，F(0，4)中，⊙O的外称点是 ；
②若点M(m，n)为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G，求m的取值范围;
（2）直线y=-x+b过点A(1，1)，与x轴交于点B. ⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1. 若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出t的取值范围.
如图1，对于⊙O外的线段PQ（线段PQ上的各点均在⊙O外）和直线PQ上的点R，给出如下定义：若线段PQ绕点R旋转某一角度得到的线段P´Q´恰好是⊙O的弦，则称点R为线段PQ关于⊙O的“割圆点”. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．
（1）如图2，已知点S(1，4)，T(-1，2)，U(1，2)，W(0，3)．在线段ST，TU，UW中，存在关于⊙O的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ；
（2）直线y=x+b经过点W(0，3)，与x轴的交点为点V．点P和Q都在线段VW上，且PQ=．若线段PQ关于⊙O的“割圆点”为点R，写出点R的横坐标xR的取值范围；
（3）直线l经过点H，不重合的四个点A，B，C，D都在直线l上，且点H既是线段AB关于⊙O的“割圆点”，又是线段CD关于⊙O的“割圆点”，线段AB，CD的中点分别为点M，N，记线段MN的长为d．写出d的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．

（1）如图，点A(-1，0)，B1，B2，
①在点C1(-1，1)，C2(，0)，C3(0，)中，弦AB1的“关联点”是 ．
②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；
（2）已知点M(0，3)，N．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在PO的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，A(2,4)，B(2，2)，P(-1，）是线段AB外一点，Q(2，3)在PO的延长线上，且，因为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．
（1）如图1，已知图形W1：线段AB，A(2,4)，B(2，2)，在P1(-,1），P2(-1，-1），P3(-1，-2）中，______是图形W1的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形W2：线段BC，B(2，2)，C(5，2)，若直线MN：y=-x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值：
（3）如图3，已知图形W3：以T(t,1)为圆心，半径为1的⊙T，若以D(-1，-2），E(-1，1），F(2，1）为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，直线l是“关联轴”．
（1）如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；
（2）若△ABC中，点A坐标为(2，3)，点B坐标为(4，1)，点C在直线y=-x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；
（3）已知A，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心，MA为半径画圆，B，C为⊙M上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：过点C作直线AB的平行线l，如果线段AB关于直线l的对称线段A´B´是⊙O的弦，那么线段AB称为⊙O的点C对称弦．
（1）如图，D(-2，6)，E(2，6)，F(-3，1)，G(-1，3)，H(0，3)，在线段DE，FG中，⊙O的点H对称弦是___________；
（2）等边△ABC的边长为1，点C(0，t)，若线段AB是⊙O的点C对称弦，求t的值；
（3）点M在直线y=x上，⊙M的半径为1，过点M作直线y=x的垂线，交⊙M于点P，Q．若点N在⊙M上，且线段PQ是⊙O的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和点C给出如下定义；若直线CA经过点O，线段CB与⊙O只有一个公共点B，且∠ACB=30°，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）如图，点A，B(-1，0)．在点C1，C2，C3，C4(1，0)中，弦AB的“关联点”是 ；
（2）若点A(1，0)，B，且点C是弦AB的“关联点”，求线段OC的长；
（3）已知直线与x轴、y轴分别交于点M，N．对于线段MN上一点P，存在⊙O的弦AB，使得点P是弦AB的“关联点”．记AB的长为t，当点P在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
已知线段PQ是⊙G的弦，点K在直线PQ上．对于弦PQ和点K，给出如下定义：若将弦PQ绕点K逆时针旋转α(0°0)对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，以AB为边作平行四边形ABCD．对于平行四边形ABCD和弦AB，给出如下定义：若边CD所在直线是⊙O的切线，则称四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”．
（1）若点A(0，-1)，C(1，0)，四边形ABCD是弦AB的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”ABCD，并直接写出点D的坐标；
（2）若弦AB的“弦切四边形”为正方形，求AB的长；
（3）已知图形M和图形N是弦AB的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形M与N不重合．P，Q分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记PQ的长为t，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）如图，点A(-1，0)，B1，B2．
① 在点C1(-1，1），C2，C3中，弦AB1的“关联点”是 ；
② 若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出AC，OC的长．
（2）已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段MN上一点T，存在⊙O的弦PQ，使得点T是弦PQ的“关联点”，记四边形OPTQ的面积为S，当点T在线段MN上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的PQ长．
（3）已知点G在y正半轴上，H在x正半轴上，若对于线段GH上任一点S，都存在⊙O的弦KR，使得点S是弦KR的“关联点”．记KR的长为t，当点S在线段GH上运动时，t的取值范围为，求出此时GH所在直线表达式．
在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的发散点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝3r，则称P′为点P关于⊙C的发散点.下图为点P及其关于⊙C的发散点P′的示意图.特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0.
根据上述材料，请你解决以下问题：
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点M(3，1)，N，T中存在关于⊙O的发散点的是点 ；其对应发散点的坐标是 ；
②点P在直线上，若点P关于⊙O的发散点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标m的取值范围；
（2）⊙C的圆心C在x轴上，半径为1，直线与x轴、y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的发散点P′在⊙C的内部，请直接写出圆心C的横坐标n的取值范围.
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条是⊙O的切线，另一条是线段AB的垂线，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）如图，点A(-1，0)，B1(0，1)，B2(0，-1)．
①在点C1(-1，1)，C2(-1，2)，C3(-1，-2)中，弦AB1的“关联点”是__________；
②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长__________．
（2）已知点M(0，3)，N．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB和x轴上的点P，给出如下定义：若将线段AB绕点P旋转180°可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB为⊙O以点P为中心的“关联线段”．
（1）如图，已知点A(-2，-1)，B(-2，0)，C(-2，1)，D(-1，1)，在线段AC，BD，CD中，⊙O以点P为中心的“关联线段”是 ；
（2）已知点E(-4，1)，线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标xF的取值范围；
（3）已知点E(m，1），若直线y=-x+2m上存在点F，使得线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A顺时针旋转90°可以得到⊙O的弦B´C´（B´，C´分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图1，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．
①在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是________；
②若线段DE是⊙O的以点P为中心的“关联线段”，则点P的坐标是________；
（2）如图2，已知点Q(-2，0)，若直线上存在⊙O的以点Q为中心的“关联线段”，求出b的取值范围．
（3）已知△ABC中，点C(-2，t)，AC=BC=1，AB=，直线交x轴于点M，若AB是⊙O的以点M为中心的“关联线段”，直接写出t的最大值，以及此时b的值．
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．

（1）当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点A(0，1)，B(2，0)，C(3，4)中，⊙O的称心点是 ；
②如图2，点D在直线上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为T(0，t)，半径为2，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，对于图形P，图形P´和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为P´．若图形P与图形P´均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．

（1）如图，点A(1，0)，点B(3，0)．
①已知图形Q1是半径为2的⊙O，Q2是半径为1的⊙A，Q3是半径为的⊙B，在Q1，Q2，Q3中，线段AB关于直线y=x的“弱相关图形”是： ；
②已知⊙O的半径为2，若⊙O是线段OA关于直线y=x+b的“弱相关图形”，求b的取值范围；
（2）在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点C(a-2，a+2)，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．
对于平面直角坐标系xOy中的⊙O，点P，点Q，给出如下定义：线段PA为⊙O的弦，点Q是弦PA上任意一点．若PA=nPQ，则称点Q是点P关于⊙O的n倍关联点．已知，⊙O的半径为2，点P的坐标为
(2，0)．
（1）在点B(0，1)，C(1，1)，D中，是点P关于⊙O的2倍关联点的是 ；
（2）E在直线上，若E是点P关于⊙O的2倍关联点，直接写出b的取值范围；
（3）⊙O与y轴正半轴交于点F，对于线段PF上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的n倍关联点，直接写出n的最大值和最小值．
对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”
（1）已知点A(0，4)，B(4，4)，
①在点M1(-2，2)，M2(0，2)，M3(2，2)，中，是点O关于点A的“旋垂点”的是___________；
②若点M(m，n)是点O关于线段AB的“旋垂点”，求m的取值范围；
直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为，圆心为T(t，0)，若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．
特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．
（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M(2，1)，N，T关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y= -x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A´B´，（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的对称的“反射线段”，直线l称为“反射轴”．
（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”______；
（2）如图2，已知A点的坐标为(0，2)，B点坐标为(1，1）．若线段AB是以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，求反射轴l与y轴的交点M的坐标；
（3）已知点M、N是在以(2，0)为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足MN=，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴l与y轴的交点的纵坐标的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”．

(1)如图，⊙O的半径为2，点A(0，2)，B(2，2)，C(-1，0)．
①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是 ；
②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围；
(2)已知三条直线y=3，y=-x，y=-2x+3分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为(0，t)，半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1．对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y=ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P´，若射线OP 上的点Q满足 OQ=PP´则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”．
（1）当a=0时，已知⊙O上两点 P1， P2在点Q1(1，2)，Q2 Q3(-1，-1)，Q4中，点P1关于直线l的“衍生点”是 ，点P2关于直线l的“衍生点”是 ；
（2）P为⊙O上任意一点，直线y=x+m (m≠0)与x轴，y轴的交点分别为点A，B. 若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围；
（3）当-1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D(s)，对于所有的直线s，直接写出D(s)的最小值．
在平面直角坐标系xOy中，对于⊙C和⊙C外一点P给出如下定义：连接CP交⊙C于点Q，作点P关于点Q的对称点P´，若点P´在线段CQ上，则称点P是⊙C的“关联点”．例如，图中P为⊙C的一个“关联点”．
（1）⊙O的半径为1．
①如图1，在点A，B(2，2)，D(0，3)中，⊙O的“关联点”是 ；
②已知点M在直线上，且点M是⊙O的“关联点”，求点M的横坐标m的取值范围．
（2）直线与x轴，y轴分别交于点E，点F，⊙T的圆心为T(t，0)，半径为2，若线段EF上所有点都是⊙T的“关联点”，直接写出t的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，对于线段a，给出如下定义：直线l1：y=3x+b1经过线段a的一个端点，直线l2：y=-4x+b2经过线段a的另一个端点，若直线l1与l2交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”．
（1）已知，线段a的两个端点分别为(0，-2)和(0，5)，则在点P1，P2(1，1)，P3，P4(-1，2)中，线段a的“双线关联点”是___________；
（2）A(m，y1)，B(m+3，y2)是直线上的两个动点．
①点P是线段AB的“双线关联点”，其纵坐标为3，直接写出点P的横坐标___________；
②正方形CDEF的四个顶点的坐标分别为C(t，t)，D(t，-t)，E(3t，-t)，F(3t，t)，其中t>0．若所有线段AB的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形CDEF的边上，直接写出t的取值范围___________．
在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P，若在图形W上存在点M，N，使PM=2PN，则称点P是图形W的一个“2倍关联点”．例如：如图1，已知图形W：△ABC，
A(0，2)，B(-1，0)，C(1，0)；点P(0，-1）到△ABC上的点的最小距离为PO=1，到△ABC上的点的最大距离为PA=3，则PA>2PO．因此在△ABC上存在点M，N，使得PM=2PN，则点P是△ABC的一个“2倍关联点”．
(1)如图2，已知A(0，1)，B(2，1)．
①判断点P1(2，-1）______线段AB的一个“2倍关联点”；（填“是”或“不是”）
②若点P2(1，m)是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值；
如图3，⊙O的圆心为原点，半径为1，若在直线l：y=x+b上存在点Q是⊙O的“2倍关联点”，求b的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于点A和⊙O的弦BC，给出如下定义：若∠BAC=90°，则称弦BC是点A的“关联弦”．
（1）如图1，已知点A(1，0)，点B1(2，0)，C1，B2(-2，0)，C2，B3(0，2)，C3，在弦B1C1，B2C2，B3C3中，点A的“关联弦”是 ；
（2）如图2，已知点B，C在⊙O上，弦BC是点A的“关联弦”，直接写出OA长度的最大值；
（3）如图3，已知点M(0，-2），N，对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦BC，使得弦BC是点S的“关联弦”，若对于每一个点S，将其对应的“关联弦”BC长度的最大值记为d，则当点S在线段MN上运动时，直接写出d的取值范围．