数学中考新定义数学对象函数类专题训练 参考地区：辽宁省

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（1）求函数的“升幂函数”y2的函数表达式；
（2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB=2时，求点A的坐标；
（3）点A在函数y1= -x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y=t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y=t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF=MN，请直接写出t2-t1的值．
【解析】（1）解：根据题意得：，
（2）设点，则，
∵，在点上方，
∴， 解得：，
∴；
（3）①根据题意得：，则，
∵点与点重合，
∴，解得：或，
②根据题意得：，
∴对称轴为，、关于对称轴对称，
∵，则，
∴，解得：，
∴，，
∵点在点的上方，
∴，解得：，
∴，
当，点在点右侧时，，，
当，点在点左侧时，，，
∴，
③∵，
∴，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，，，
当时，直线与函数的图象有3个交点，
当时，直线与函数的图象有2个交点，
直线与函数交于、两点，，即：，
∴，，，
直线与函数交于、两点，，即：，
∴，，，
∵，
∴，整理得：，
当时，
，解得：或（舍），
∴，
∴，解得：，
∴，
或．
在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m，n)，称点B(m，mn)为点A的“升幂点”，称函数y2=xy1为函数y1的“升幂函数”，点B在函数y2的图象上．
例如：函数y1=2x的图象上任意一点A(m，2m)，点B(m，2m2)为点A的“升幂点”，点B(m，2m2)在函数y1=2x的“升幂函数”y2=2x2的图象上．
（1）点A(1，3)的“升幂点”B的坐标为______________；
（2）点A在函数的图象上，点A的“升幂点”是点B(2，4)，求k的值；
（3）点A在函数y1= -x+4的图象上，点A“升幂点”为点B，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．过点B作x轴的平行线，与函数y1的图象交于点C，与函数y2的图象相交于点D．设点A的横坐标为m，若AB=2CD，求m的值．
【解析】（1）解：点的“升幂点”的坐标为，即，
（2）解：设点的坐标为，
点的“升幂点”是点，
点的坐标为，
点的坐标为，
；
（3）解：点在函数上，
设点的坐标为，
点的“升幂点”是点，
点的坐标为，且在函数的“升幂函数”的图象上，
点在函数上，且轴，
点与点关于对称轴直线对称，
点的坐标为，
点在函数上，且轴，
点的坐标为，
，，
，
，
或，
若，则，
，
，
若，则，
，
，
综上可知，的值为或．
已知y1是自变量x的函数，当y2=x-y1时，称函数y2为函数y1的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m，n)，称点B(m，m-n)为点A“关于y1的平衡点”，点B在函数y1的“平衡函数”y2的图象上．例如：函数y1=3x，当y2=x-3x= -2x时，则函数y2= -2x是函数y1=3x的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，函数y1=3x的图象上任意一点A(m，3m)，点B(m，-2m)为点A“关于y1=3x的平衡点”，点B在函数y1=3x的“平衡函数”y2= -2x的图象上．
（1）求函数y1=2x2的“平衡函数”y2的函数表达式；
（2）如图1，点A在函数y1=2x2的图象上，点A“关于y1=2x2的平衡点”B在点A的下方，当AB=3时，求点A的坐标；
（3）点A在函数y1=2x-1的图象上，点A“关于y1=2x-1的平衡点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在y轴的右侧，且点B与点A不重合时，设三角形ABO的面积为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y=t与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E、F、G，当F为EG的中点时，请直接写出t的值．
【解析】（1）解：∵，
∴，
即；
（2）解：设点，则点，
∵，点在点的下方，
∴，
整理得，，
解得，，
∴点的坐标为或；
（3）解：①由题意得点的坐标为，
∴点的坐标为，
∵点与点重合，
∴，
解得；
②当，即时，点在点的上方，
∴，
∴；
当，即时，点在点的下方，
∴，
∴；
综上，；
③如图，把代入得，，
解得，，
即点的横坐标为，点的横坐标为，
把代入得，，
解得，，
∴点的横坐标为，
∵点为的中点，
∴，
整理得，，
解得．
【了解概念】
已知函数y1是自变量x的函数，当y2=x+y1，称函数y2为函数y1的“加和函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上一点A(m，n)，称点B(m，m+n)为点A关于函数y1的“加和点”，点B在函数y1的“加和函数”y2的图象上．
【理解运用】
例如：函数y1=2x，当y2=x+y1=x+2x=3x时，称函数y2=3x是函数y1的“加和函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1=2x图象上任意一点A(m，n)，点B(m，m+n)为点A关于y1的“加和点”，点B在函数y1=2x的“加和函数” y2=3x的图象上．
（1）求函数的“加和函数”y2的表达式；
（2）点P(m，n)在函数y1=-3x+2的图象上，点P关于函数y1的“加和点”为点Q，若点Q与点P的纵坐标互为相反数，求点P的坐标；
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，y1的“加和函数”为y2，直线y2交y轴于点T，已知点A(t，t），B(-t，t），C(-t，-t），D(t，-t)(t>0)．若将△PQT的边构成的图形记为M，现将四边形ABCD的边与图形“M”有且只有2个交点时，求t的取值范围．
【解析】（1）．
所以是函数的“加和函数”；
（2）点关于函数的“加和点”点的坐标为．
∵点Q和点P的纵坐标互为相反数，
∴，解得，
∴点；
（3）由（2）可知点．
当时，，∴点．
设直线的关系式为，得，
解得，
所以直线的关系式为．
四边形是以原点为中心，为边长的逐渐变化的正方形．
当正方形的顶点在直线上，当时，；
当正方形的顶点在直线上，当时，；
所以当时，四边形的边与图形“M”有且只有2个交点；
当正方形的边与重合时，，当正方形过点T时，，
所以当时，四边形的边与图形“M”有且只有2个交点．
故t的取值范围是或．

在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点(x，y1)和点(x，y2)关于点(x，x)成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心
(x，x)都在直线y=x上，所以称这两个函数为关于直线y=x的“相依函数”．
例如：和为关于直线y=x的“相依函数”
（1）已知点M(1，m)是直线y=2x+4上一点，请求出点M(1，m)关于点(1，1)成中心对称的点N的坐标；
（2）若直线y=3x+n和它关于直线y=x的“相依函数”的图象与y轴围成的三角形的面积为8，求n的值；
（3）若二次函数y=ax2+bx+c和y=x2+d为关于直线y=x的“相依函数”．
①请求出a、b的值；
②已知点P(-3，2)、点Q(2，2)，连接PQ，当y=ax2+bx+c和y=x2+d两条抛物线与线段PQ有且只有两个交点时，请直接写出d的取值范围．
【解析】（1）∵点是直线上一点，
∴，即：，
∵点与点关于成中心对称，
∴；
（2）设点和点分别是直线与它的“相依函数”的图象上的任意一点，
∴，
，
∴直线关于直线的相依函数是：，
联立，解得：，
∴直线与直线的交点的横坐标为，
∵直线与直线与y轴的交点坐标分别是：，
由题意得：，解得：；
（3）①由题意得：，
∴，对于任意的x都成立，
∴，解得：；
②由第①小题，可知：，，
∵，
当时，如图1，
当时，如图2，
当时，如图3，
当时，如图4，
综上可知∶或时，抛物线与线段有且只有两个交点．
定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数C1图象上一点，过点M作l⊥x轴，如果二次函数C2的图象与C1关于l成轴对称，则称C2是C1关于点M的伴随函数. 如图2，在平面直角坐标系中，二次函数C1的函数表达式是y= -2x2+2，点M是二次函数C1图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数C2是C1关于点M的伴随函数．

（1）若m=1，
①求C2的函数表达式．
②点P(a，b1)，Q(a+1，b2)在二次函数C2的图象上，若b1≥b2，a的取值范围为______．
（2）过点M作MN∥x轴，
①如图2，如果MN=4，线段MN与C2的图象交于点P，且MP：PN=1：3，求m的值．
②如图3，二次函数C2的图象在MN上方的部分记为G1，剩余的部分沿MN翻折得到G2，由G1和G2所组成的图象记为G. 以A(1，0)、B(3，0)为顶点在x轴上方作正方形ABCD. 直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．
【解析】当时，抛物线与抛物线关于直线对称，
抛物线的顶点是，
抛物线的解析式为；
点，在二次函数的图象上，
∴，
当时，，
解得：，
轴，MP：：3，
∴，
当时，，，
当时，，，
故或；
分析图象可知：
当时，可知C1和G的对称轴关于直线对称，的顶点恰在AD上，此时G与正方形有2个公共点，
当时，G与正方形ABCD有三个公共点，
当时，直线MN与x轴重合，G与正方形有三个公共点，
当1＜m＜时，G与正方形ABCD有五个公共点，
当m＝时，G的顶点与点C(3,2)重合，且G对称轴左侧部分与正方形有三个公共点，
当＜m＜2时，G与正方形ABCD有四个个公共点，
当时，G过点且G对称轴左侧部分与正方形有两个公共点，
故当或时，G与正方形ABCD有三个公共点．
定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，
点(﹣1，1)是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．
（1）在函数①y＝﹣x+3，②，③y＝-x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 ；（填序号）
（2）设函数(x＞0)与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；
（3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在(0，﹣1)下方，旋转后的图象上恰有
1个“平衡点”时，求M的坐标．
【解析】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，
在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，
∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；
同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；
故答案为：③；
（2）在y中，令y＝﹣x得﹣x，
解得x＝2或x＝﹣2，
∵x＞0，
∴A（2，﹣2）；
在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b，
解得x，
∴B（，），
当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），
∴AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4，
若AB＝BC，则2（2）2（2）2，
解得b＝﹣3；
若AB＝AC，则2（2）2＝4，
解得b＝﹣36或b＝36；
若BC＝AC，则（2）2＝4，
解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）；
∴b的值为﹣3或﹣36或36或0；
（3）设M（0，m），m＜﹣1，
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），
点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），
∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，
在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得：
﹣x＝﹣x2+2x+2m，
∴x2﹣3x﹣2m＝0，
∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，
∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即9+8m＝0，
∴m，
∴M的坐标为（0，）．
定义：将函数l的图象绕点P(m，0)旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝(x+1)2+5关于点P(1，0)的相关函数为y＝-(x﹣3)2﹣5．
（1）当m＝0时
①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为 ；
②点在二次函数y＝﹣ax2﹣ax+1(a≠0)关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝(x﹣1)2+2关于点P的相关函数y＝-(x+3)2﹣2，则m＝ ；
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣mxm2关于点P(m，0)的相关函数的最大值为6，求m的值．
解：（1）①一次函数y＝x﹣1关于点P的相关函数为y＝x+1，
故答案为：y＝x+1；
②∵，
∴y＝﹣ax2﹣ax+1关于点P（0，0）的相关函数为，
∵点A（）在函数的图象上，
∴，
解得a，
（2）∵函数y＝（x﹣1）2+2的顶点为（1，2），函数y＝﹣（x+3）2﹣2的顶点为（﹣3，﹣2），
这两点关于中心对称，
∴，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（3）∵，
∴关于点P（m，0）的相关函数为，
①当，即m≤﹣2时，y有最大值是6，
∴，
∴，（不符合题意，舍去），
②当m﹣1时，即﹣2＜m≤4时，当时，y有最大值是6，
∴∴，（不符合题意，舍去），
③当，即m＞4时，当x＝m+2时，y有最大值是6，
∴，
∴（不符合题意，舍去），
综上，m的值为或．
定义把函数C1：y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P(0，n)旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，函数C2的图象的顶点纵坐标为m，例如：当n＝1时，函数y＝(x+1)2+5
关于点P(0，1)的相关函数为y＝-(x﹣1)2﹣3．
（1）当n＝0时，求新函数C2的顶点（用含a的代数式表示）；
（2）若a＝1，当时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，求函数C2的解析式；
（3）当n＝1时，函数C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点(点A在点B的右侧），与y轴相交于点D把线段AD绕点(0，2)逆时针旋转90°，得到它的对应线段A'D'，若线段A'D'与函数C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
解：（1）∵y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9a）．
∵当n＝0时，点P的坐标为（0，0），
∴新函数C2的顶点坐标为（﹣2，9a）；
（2）∵a＝1，
∴函数C1：y1＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9）．
把x代入函数C1，得：
y1＝（）2﹣4×（）﹣5，
根据抛物线的对称性可知，当x时y2．
①当x时，y1+y2＜7，不符合题意，舍去）．
②当m时，y2＝﹣9，y1＝m2﹣4m﹣5，
∴y1+y2＝m2﹣4m﹣5﹣9＝7，
解得m1＝7，m2＝﹣3（不合题意，舍去）．
∴y2＝﹣（x+2）2+7＝﹣x2﹣4x+3，
∴C2的解析式为y2＝﹣x2﹣4x+3；
（3）∵n＝1，函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴函数C2：y2＝﹣a（x+2）2+2+9a，
∵当y2＝2时，x＝1或﹣5；当x＝0时，y2＝5a+2，
∴点A，B，D的坐标分别为（1，2），（﹣5，2），（0，5a+2）．
∵线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，
∴点A'的坐标为（0，3），点D'的坐标为（﹣5a，2）．
①当a＞0时，
当点D'在点B的左侧（含点B）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图1：
∴﹣5a≤﹣5，
∴a≥1；
当点D'在点B的右侧，且点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图2：
∴5a+2≤3，
解得a，
∴0＜a．
②当a＜0时，点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图3：
∴﹣5a≥1，
∴a．
综上所述，a或0＜a或a≥1．
定义：已知一次函数l1：y=ax+b(a≠0)和一次函数l2：y=mx+n(m≠0)，若函数l3：y=(ax+b)(mx+n)，则称函数l3是一次函数l1、l2的累积函数．
已知函数l3是一次函数l1：与一次函数l2：y=-x+n的累积函数．
（1）若函数l3的图象恰好经过(-1，0)，求函数l3的解析式；
（2）若函数l3的图象顶点为P，当点P的纵坐标最小时，求此时顶点P的坐标；
（3）若一次函数l1、l2的图象与函数l3的图象的公共点有且只有三个时，求此时n的值．
【解析】（1）解：依题意，函数解析式为，
∵函数的图象恰好经过，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴对称轴为，顶点纵坐标为：，
∴当时，取得最小值，最小值为，则横坐标为，
∴当点的纵坐标最小时，此时顶点的坐标为；
定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A(a，2a)就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数y=(x-1)2+2就是“友好二次函数”．
（1）直线y=4x-1上的“友好点”坐标为____________；
（2）若“友好二次函数”y= -x2+bx+c的图象与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；
（3）若“友好二次函数”的图像过点(-2，8)，且顶点在第一象限
①当m-1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值；
②已知点M(5，4)，N(1，n)，当线段MN与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围．
【解析】（1）解：设直线上的“友好点”的坐标为，
∴，
解得：，
∴，
∴直线上的“友好点”坐标为，
故答案为：；
（2）∵函数是“友好二次函数”，设它的顶点为，
∴，
∵“友好二次函数”的图像与轴的交点是“友好点”，
∴与轴交点为，
将代入中，得：，
解得：，，
当时，；
当时，，
∴这个“友好二次函数”的表达式为或；
（3）设“友好二次函数”的解析式为，且图像过点，
∴，
解得，，
∵这个“友好二次函数”的图像顶点在第一象限，
∴，
∴，
∴，
①∵“友好二次函数”，，图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
当，即时，函数的最小值为，
∴不存在最小值为；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
综上所述，的值为或；
②如图所示，
∵，
∴点在直线上运动，
设直线与“友好二次函数”交于点，
当时，，
∴，
设二次函数的顶点为，
∴，
∵，
∴当点的坐标为时，此时点、、共线且与二次函数的图像只有一个交点，
当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；
当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点，
∴当线段与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，的取值范围为或．
在平面直角坐标系中，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x2=x1，y2=y12+2，则称点B是点A的“友好点”；若点A在函数y1上，点B在函数y2上，则称y2是y1的“友好函数”．
（1）点E(-1，2)的“友好点”是______，点F(3，6)是______的“友好点”；
（2）若G是函数上任意一点，点H是点G的“友好点”，求GH的最小值；
（3）若直线l的解析式为，y2是y1的“友好函数”，P是函数y2图象上一动点，其横坐标为m，且-2≤m≤1，过点P作PQ⊥l于点Q，若PQ的最大值与最小值的差是，求b的值．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∴点的“友好点”是．
∵，，
∴，，
∴点是或的“友好点”．
故答案：；或．
（2）∵G是函数上任意一点，
∴设，
∵点H是点G的“友好点”，
∴，
∵，
∴，
令，
∴．
∵，
∴当时，取得最小值，最小值为．
∴的最小值．
（3）∵，是的“友好函数”，
∴
∴．
如图1，过点P作轴，交直线l于点N．设直线l交x轴于点A，交y轴于点B．
∴，
令，则，令，则．
∴，．
在中，．
∵轴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴．
∴，，
∵的最大值与最小值的差是，
∴，
∴的最大值与最小值的差．
当时，
整理，得．
∵．
∴直线l与函数的图象无交点．
∵在中，，
∴函数的图象完全在直线l的上方．
∴点P总是在点N的上方．
∴，
令，
∴函数h在的范围内，最大值与最小值的差是，函数h的对称轴为直线．
当时，；
当时，，
①当，即时，如图2，在的范围内，函数h的值随m的增大而减小．
∴此时函数h在时取最大值，在时取最小值，
∴，解得．
②当，即时，如图3，在的范围内，函数h的值随m的增大而增大．
∴此时函数h在时取最小值，在时取最大值．
∴，解得．
当，即时，在的范围内，函数h在顶点处取最小值．
当时，，
③当，即时，
如图4，在的范围内，函数h在时取最小值，在时取最大值．
∴，解得（不合题意，舍去）
④，即时，
如图5，在的范围内，函数h在取最小值，在时取最大值
∴，解得（不合题意，舍去）．
综上所述，b的值为或．
若A(m，n)，B(m+1，2n+2)，那么我们把点B叫做点A的“倍增点”．例：A(2，-3)，它的“倍增点”是B(3，-4)．经过A，B两点的直线叫做点A的“倍增线”．
（1）若点A在函数的图象上，点B是点A的“倍增点”，且点B也在函数的图象上，则点A的“倍增线”是 .
（2）若点A(m，n)在直线y2=2x-4上，点A的“倍增线”为y3=kx+d．
①若y3随x的增大而减小，求点A的“倍增线”y3=kx+d与直线的交点C的纵坐标的取值范围；
②当m≠1时，抛物线y4=-x2+bx+c经过A，B两点，且当时，y2≤y4，求m的取值范围．
【解析】（1）解：设，则点，
∵点B在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴或
则点或，
设点A的“倍增线”是，
根据题意有：或，
解得：或，
∴或．
（2）①∵，，点A的“倍增线”为．
∴，
解得：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵随x的增大而减小，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴对称轴为直线，
∴当时，的最大值为；
∴；
②∵抛物线经过A，B两点，
∴，
解得：，
∴，
如图，
当抛物线与的左交点为时，
∴，
解得：，（不符合题意的根舍去）
如图，当时，，
当抛物线与的右交点为时，
∴，
解得：，（不符合题意的根舍去）
综上：当时，，则；
定义：A是函数y的图象上一点，过点A作一条直线l，如果函数y的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．
（1）①若一次函数y1=2x+1 的一个“和谐点”是A(1，3)，则过点A的“和谐线”是直线 ；
②反比例函数的“和谐点”是点 ，“和谐线”是直线 ；
③二次函数y3=x2+2x-3的“和谐点”是点 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点B，C均在坐标轴上，A(3，4)，对角线AO，BC相交于点D．已知函数y4=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点A，函数y4 的“和谐点”在矩形ABOC的边上．
①若函数y4=ax2+bx+c(a>0)的图象与直线OA的另一个交点为点E，且AE≤AD，函数y4的“和谐点”在OC边上，求a的取值范围；
②已知函数y4=ax2+bx+c(a>0)的图象在矩形内的部分y随x的增大而增大，当时，y的最大值与最小值的差是，直接写出a的值．
【解析（1）解：①画出直线及其“和谐线”，
设直线交x轴于点，
令，解得：，
∴，
设 “和谐线”与x轴交于点，
又∵，
∴，，
，
由题意可知：，即，
∴，即，
解得：，
∴，
设过点 A 的“和谐线”是直线，
将点A、C代入得：，
解得：，
∴过点 A 的“和谐线”是直线，
②根据题意可知：反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点对称轴，∴“和谐线”是直线，
令，
解得：，，
∴反比例函数的“和谐点”是点和，
③根据题意可知：二次函数 的“和谐点”是其图象的顶点，
∵，
二次函数 的“和谐点”是点，
故答案为：；
（2）①∵矩形对角线 ， 相交于点D，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，，
如图，过点D作于点G，
∴，
又，
∴是的中位线，
∴，
∴．
∵函数的图象经过点A，
∴，
由（1）③可知二次函数的“和谐点”是其顶点，
∵函数 的“和谐点”在 边上，
∴函数 的图象的顶点在上，
∴，
∴，，
∴，
如下图，当，且点E与点D重合时，
将点代入得：，
解得：，
如下图，当，且点E不与点D重合时，
过点D作于点H，延长到点F，使得，连接，
∵，，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入得：，
解得：，
设直线的解析式是，
将点代入解得：，
∴设直线的解析式是，
当二次函数的图象与直线只有一个交点A时，，
整理得：，
∴，
解得：，
∵函数)的图象与直线的交点为点A、E，
∴，
∵a的绝对值越小，二次函数图象的开口越大，
∴a的取值范围是且；
②a的值为或，理由如下，
∵函数的图象经过点A，在矩形内的部分y 随x 的增大而增大，函数 的“和谐点”在矩形的边上，
∴函数 的“和谐点”在 边上，
∴，对称轴是y轴，
当时，，
当时，，
当时，，
(I)当，即时，如下图所示：
在的范围内，函数随着x的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∵y的最大值与最小值的差是，
∴，
解得：(不合题意，舍去)
当，且，即时，
在的范围内，函数在顶点处取得最小值，
(II)当，即时，
如下图，在的范围内，函数在处取最大值
又∵y的最大值与最小值的差是，
∴，
解得：(舍去)，(舍去)，，
(III)当，即时，
如下图，在的范围内，函数在处取最大值
又∵y的最大值与最小值的差是，
∴，
解得：(舍去)，(舍去)，，
综上所述：a的值为：或．
在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A(x，y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y-x”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
例如：点A(1，3)在函数y=2x+1图象上，点A的“纵横值”为3-1=2，函数y=2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y-x=2x+1-x=x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数y=2x+1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）①点B(-6，2)的“纵横值”为_________；
②函数的“最优纵横值”为_________；
（2）若二次函数y=-x2+bx+c的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值；
（3）若二次函数y=-(x-h)2+k的顶点在直线y=x+9上，当-1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值．
【解析】（1）①点的“纵横值”为；
②函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，
当时，的最大值为，
所以函数的“最优纵横值”为．
（2）∵二次函数的顶点在直线上，
，
，
，
，
，
∵最优纵横值为5，
，
；
（3）∵的顶点为，
∵顶点在直线上，
∴，
，
令，
对称轴为直线．
当时，即时，
此时当时，值为7，
，
∴(不合题意，舍去)．
当时，即时，
此时当时，值为7，
，
∴(不合题意，舍去)．
当时，即，
，
此时最优纵横值不等于7，不合题意．
∴当或时，二次函数的最优纵横值为7．
给定两个函数y1，y2，若对于任意一个x所对应的函数值y1，y2，我们用m(x)表示y1，y2中的较小值，即，则称m(x)为关于y1，y2的“二元最小值函数”．
（1）已知一次函数y1=2x-1，y2=-2x+3请写出关于y1，y2的“二元最小值函数”m(x)，并写出当x为何值时，函数m(x)随x的增大而增大，求函数m(x)最大值；
（2）已知二次函数y1=ax2-4ax+2，y2=-ax2+4ax+2，其中a>0，求出两个函数所对应的图象的交点A，B的坐标，并求出关于y1，y2的“二元最小值”m(x)，写出当x为何值时，函数m(x)随x的增大而减小；
（3）直线AB与（2）中关于y1，y2的“二元最小值函数”m(x)围成的封闭图形内部有四个x，y均为整数的点N(x，y)，求a的取值范围；
（4）若点C为（2）中关于y1，y2的“二元最小值函数”m(x)上任意一点，与A，B构成△ABC讨论满足
S△ABC=8a，00)，以AB长度为边在x轴上方作等边三角形ABC，当函数与△ABC在第一象限内有交点，称为“特别函数”．
（1）如图1，当n=1时，一次函数y=kx+k是“特别函数”，求k的取值范围；
（2）如图2，函数是“特别函数”，求n的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，函数与CB交于点D，S△CDA=S△ABC，求n的值；
（4）当m-1≤x≤m+2时，函数最大值与最小值的差为，求m的值．
【解析】（1）解：过作轴垂线交于点，
等边三角形
（2）解：，
直线的解析式为：
函数的顶点坐标为：
解得：
（3）解：分别过点与作轴垂线，分别交于点，
，
，（舍）
（4）解：①当时，
最大值为
最小值为

②当时，
最大值为
最小值为

无解
③当时，
最大值为
最小值为
无解
，（舍）
④当时，
最大值为
最小值为
（舍），（舍）
⑤当时，
最大值为
最小值为
（舍）
综上： ，
定义；若当点(a，1-a)(在某一函数图象上时，点(1-a，a)(也在该函数图象上，则称该函数为“知返函数”，点(a，1-a)(称为“知返点”．
（1）已知一次函数y=kx+b(k≠0)为“知返函数”，求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数（k1为整数）的函数图象上存在“知返点”，求k1的最大值；
（3）函数的图象是由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变得到的．若函数的图象与“知返函数”y=kx+b的图象有四个交点，求m的取值范围．
【详解】（1）解：将点、代入得：
，
解得：
∴
（2）解：由题意得：，
即：，
∵反比例函数（为整数）的函数图象上存在“知返点”，
∴
解得：
∵
∴整数的最大值为
（3）解：函数的图象中，由二次函数的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方部分对应的函数解析式为：
由（1）得：“知返函数”为，
令，整理得：
令
解得：或；
当函数经过点时，此时函数与有三个交点
有：，解得：
∴
综上所述：或；
若函数y经过矩形一条对角线上的两个端点，则称函数y为这个矩形的“对角函数”．
（1）如图，在矩形ABCD中，AB∥x轴，AB=4，BC=3．
①若点A的坐标为(-3，2)，一次函数y1=kx+b是矩形ABCD的“对角函数”，则一次函数y1=kx+b的解析式为________．
②若反比例函数是矩形ABCD的“对角函数”，且经过B，D两点，求点A的坐标．
若二次函数y3=x2+bx+c是矩形ABCD的“对角函数”，且经过A，C两点，已知点B(-1，2)，
D(-2，m)(m≠2)，AB∥x轴．
①当y3=x2+bx+c与矩形ABCD有且只有两个交点时，求m的取值范围；
②已知P(xP，yP)是y3=x2+bx+c上一点，当m-1≤xP≤m+1时，yP的最大值和最小值的差是3，求m的值.
【解析】（1）解：点A的坐标为，轴，，，
；
当一次函数经过A、C两点时，
，解得：，
；
同理，当一次函数经过B、D两点时，；
故答案为：或；
②设，
轴，，，
点B的坐标，
点B在图象上，，解得：；
当时，，此时；
当时，，此时；
点A的坐标为或；
（2）解：①，，轴，
；
经过A，C两点，
，解得：，
；
，
顶点坐标为；
∵抛物线与矩形有且仅有两个交点，
或，解得：或；
②由（2）①知，，
当时，；当时，；
下面分四种情况考虑：
（一）当，即时，
当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数在处取得最大值，在处取得最小值；
由题意得：，解得：（不合题意，舍去）；
（二）当，即，且时，
当时，函数值随自变量的增大而增大，此时函数在处取得最小值，在处取得最大值；
由题意得：，解得：（不合题意，舍去）；
（三）当，即时，
当时，函数值在顶点取得最小值，
若，即时，
函数在处取得最大值；
则，
解得（舍去）；
（四）若，即时，
函数在处取得最大值；
则，
解得（舍去）；
综上，m的值为或．