第十章 二元一次方程组 单元整体教案-2024-2025学年人教版七年级数学下册

这是一份第十章 二元一次方程组 单元整体教案-2024-2025学年人教版七年级数学下册，共18页。
第十章　二元一次方程组10．1　二元一次方程组的概念1．认识二元一次方程和二元一次方程组；2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解．重点理解二元一次方程组的解的意义．难点求二元一次方程的正整数解．一、导入新课新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉机1 h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？二、探究新知探究一：二元一次方程、二元一次方程组的概念．思考：列方程要先找到相等关系，本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系？若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系：大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数，大型采棉机1 h采摘面积＋小型采棉机1 h采摘面积＝1 h采摘总面积这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝6和2x＋y＝8表示．根据上面列出的这两个方程，提出如下问题：(1)上面两个方程有什么特点？他们与一元一次方程有什么不同？(2)你能给这两个方程起个名字吗？归纳：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程．在上面的问题中，包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数x，y必须同时满足方程x＋y＝6和2x＋y＝8，把这两个方程合在一起，写成 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，,2x＋y＝8.)) 归纳：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．探究二：二元一次方程、二元一次方程组的解的概念探究活动：满足x＋y＝6，且符合问题的实际意义的值有哪些？请填入表中．教师启发：(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？(3)它与一元一次方程的解有什么区别？归纳：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用大括号来连接，记为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b.)) 三、课堂练习1．若mx＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，那么(　　)A．m≠0　　　　　　B．m＝0C．m是正有理数 D．m是负有理数2．下列各对数值中不是二元一次方程x＋2y＝2的解的是(　　)A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2)) C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0)) 3．方程x＋2y＝7在自然数范围内的解(　　)A．有无数组 B．有一组C．有两组 D．有四组4．某校计划安装一批由太阳能电池板和路灯柱组成的智慧路灯，已知1个路灯柱配2个太阳能电池板，现有太阳能电池板和路灯柱共36个，问该校一共安装多少个智慧路灯设太阳能电池板共安装多少个智慧路灯？设太能电池板x个，路灯柱y个，则可列方程组为( A )A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝36，,x＝2y)) 　　B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝36，,y＝2x)) C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝36，,x＝2y))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝36，,y＝2x)) 5．若 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1)) 是方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋（m－1）y＝2，,nx＋＝1)) 的解，则m＋n＝________.6．某校打算对新建成的多功能体育馆中总共500平方米的篮球馆和乒乓球馆进行室内装修，已知篮球馆铺设木地板，成本300元/平方米，乒乓球馆铺设运动塑胶，成本100元/平方米，设篮球馆总面积为x平方米，乒乓球馆总面积为y平方米，铺设地面共花费69 000元，则根据题意可列关于x，y的方程为____________.四、课堂小结本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？(什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？)五、课后作业完成本节课对应练习．本节课通过实例引出二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念，在探究活动中，通过教师的引导，充分地调动学生学习的积极性、主动性，收到了较好的教学效果．10．2　消元——解二元一次方程组10．2.1　代入消元法第1课时　用代入消元法解简单的二元一次方程组1．会用代入法解二元一次方程组；2．了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想．重点用代入法解二元一次方程组．难点探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程．一、导入新课在上一节中，我们已经看到，直接设两个未知数：租用大型采棉机x台，小型采棉机y台，可以列方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6，,2x＋y＝8，)) 表示本章引言中问题包含的相等关系，如果只设一个未知数：设租用大型采棉机x台，那么这个问题也可以用一元一次方程2x＋(6－x)＝8.在上述问题中，我们也可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，那么怎样解二元一次方程组呢？二、探究新知教师引导：思考：对于本章引言中的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程，你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？我们发现，二元一次方程组中第一个方程x＋y＝6可以写为y＝6－x.由于两个方程中的y都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通过等量代换，把第二个方程2x＋y＝8中的y换为6－x，这个方程就化为一元一次方程2x＋(6－x)＝8.解这个一元一次方程，得x＝2，将x＝2代入y＝6－x，得y＝4，从而得到这个方程组的解．归纳：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想．叫作消元思想．上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．【例1】用代入法解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝3，①,3x－8y＝14.②)) 分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便．解：由①，得x＝y＋3.③把③代入②，得3(y＋3)－8y＝14.解这个方程，得y＝－1.把y＝－1代入③，得x＝2.所以这个方程组的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.)) 【例2】用代入法解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－5y＝3，,2x－y＝16.)) 三、课堂练习1．二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝－3，,2x＋y＝0)) 的解是(　　)A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2)) C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1)) 2．方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,2x－3y＝－1)) 的解是(　　)A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1))  B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1)) C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2))  D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1)) 3．用代入法解二元一次方程组：(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－4，,x＋y＝6；)) 　　(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝－4，,x－2y＝－3.)) 四、课堂小结本节课你有什么收获？与同伴进行交流．五、课后作业完成本节课对应练习．通过创设教学情境，调动学生自觉参与学习活动的积极性，使知识的发现融于有趣的活动之中．由设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组进行比较，轻松得到二元一次方程组的代入法的解法，这种比较可使学生在复习旧知识的同时，促使他们更好地对新知识的理解和掌握．第2课时　用代入消元法解较复杂的二元一次方程组1．会用代入法解较复杂的二元一次方程组；2．会列二元一次方程组解决实际问题．重点用代入法解较复杂二元一次方程组．难点会列二元一次方程组解决实际问题．一、导入新课上面要解的二元一次方程组的两个方程中都有一个未知数的系数为1或一1，下面再来看另外一些例子．二、探究新知【例1】用代入法解方程组． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5y＝－11，①,9x＋7y＝39.②)) 分析：这个方程组中x或者y的系数的绝对值都不是1，这个时候选未知数系数的绝对值较小的进行变形．解：由①，得x＝ eq \f(5,2) y－ eq \f(11,2) ③把③代入②，得9( eq \f(5,2) y－ eq \f(11,2) )＋7y＝39解这个方程，得y＝3把y＝3代入③，得x＝2所以这个方程组的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3)) 【例2】快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元，如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？分析：由题意可知，送120件的报酬＋揽45件的报酬＝270，送90件的报酬＋揽25件的报酬＝185.由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题．解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元．根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(120x＋45y＝270，,90x＋25y＝185，)) 这个方程组的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1.5，,y＝2，)) 答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元．(1)列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系．(2)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、验、答．三、课堂练习1．解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋1＝y，①,2（x＋1）－y＝6.②)) 2．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？四、课堂小结你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些？五、课后作业完成本节课对应练习．本节课涉及到两个内容：一是用代入法解较复杂的方程组，二是列二元一次方程组解决实际问题．前者我们通过昨天的学习，已有一定的基础，但要提醒学生计算要细心，后者重在引学生找等量关系列方程组．10．2.2　加减消元法第1课时　用加减法解简单的二元一次方程组1．掌握用加减法解二元一次方程组；2．使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法．重点用加减法解二元一次方程组．难点如何运用加减法进行消元．一、导入新课思考：前面我们用代入法求出了方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝6①,2x＋y＝8②)) 的解，这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系，你能发现新的消元方法吗？这两个方程中未知数y的系数相等，②－①可以消去未知数y，得x＝2.把x＝2代入①，得y＝4.所以这个方程组的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4.)) 二、探究新知思考：联系上面的解法，想一想怎样解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3x＋10y＝2.8，①,15x－10y＝8.②))) 从上面两个方程组的解法可以看出，当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，【例】用加减法解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(y,2)＝0，①,2x－\f(y,2)＝15.②))) 解：①＋②得：5x＝15，所以x＝3.把x＝3代入①，得y＝－18.所以原方程组的解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－18.)) 归纳：用加减法解二元一次方程组的一般步骤：第一步：如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数求出另一个未知数的值；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数，求出未知数的值．第二步：把所求得未知数的值代入计算量较小的方程中，求出另一个未知数的值．第三步：写出原方程组的解．三、课堂练习用加减法解下列方程组：(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝2，,2x＋y＝7；)) 　　　(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,x＋3y＝5；)) (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝1，,4x＋3y＝－2；))  (4) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝－1，,2x－5y＝7.)) 四、课堂小结本节课你有什么收获？与同伴交流．五、课后作业完成本节课对应练习．前面我们学习了用代入法解方程组，今天学习的是用加减法解方程组．教师应告诉学生“代入法”和“加减法”是解二元一次方程组的基本方法，根据方程组的特点，哪种方法简单我们就采用哪种方法．第2课时　用加减法解复杂的二元一次方程组1．掌握用加减法解较复杂的二元一次方程组；2．会列二元一次方程组解决实际问题．重点用加减法解较复杂的二元一次方程组．难点会列二元一次方程组解决实际问题．一、导入新课当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，能用加减法解方程组吗？看下面的例子．【例1】用加减法解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝4，　①,7x＋4y＝18.　②)) 二、探究新知分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元，观察这两个方程中未知数y的系数之间的关系，将①×2可以使两个方程中y的系数互为相反数，就可以用加减法求解了．解：①×2，得6x－4y＝8.③②＋③，得13x＝26.x＝2.把x＝2代入①，得3×2－2y＝4.y＝1.所以这个方程组的解是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1.)) 归纳：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个(或两个)方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型的方程组求解．【例2】我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解这个问题吗？分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据“5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”可列得方程组．解：设每头牛和每只羊分别值金x两和y两．根据问题中的相等关系，列得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2y＝10，①,2x＋5y＝8.②)) 解这个方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(34,21)，,y＝\f(20,21)．)) 答：每头牛和每只羊分别值金 eq \f(34,21) 两和 eq \f(20,21) 两．归纳解方程组方法：(一)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．(二)如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元．(三)对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑．三、课堂练习1．解方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝1，①,2x－5y＝7.②)) 2．解方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝－1，①,3x－5y＝7.②)) 3. 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2，1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？四、课堂小结请同学们回忆：加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？五、课后作业1．用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法．(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝15，①,5x－4y＝23.②)) 消元方法：________.(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7m－3n＝1，①,2n＋3m＝－2.②)) 消元方法：________.2．用加减法解下列方程组：(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝2，,4x－3y＝－6；)) 　　(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝－1，,x＋4y＝－7；)) (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝5，,4x＋3y＝1；))  (4) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y＝9，,x－4y＝10.)) 本节课的内容涉及到两个方面：一是用加减法解较复杂的二元一次方程组，二是列二元一次方程组解决实际问题．前者教师应引导学生如何将不能直接用“加减法”消元的方程组转化为可用“加减法”消元．后者重在引导学生寻找等量关系列方程组．10．3　实际问题与二元一次方程组第1课时　和差倍分与经济生活问题1．使学生会借助列二元一次方程组解决和差倍分和经济生活中的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用；2．通过应用题教学，学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性．重点能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组．难点正确找出问题中的两个等量关系．一、导入新课复习提问：列方程解应用题的步骤是什么？学生回答：审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答．教师讲述：前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．教师出示问题：【例1】养牛场原有30头大牛和15头小牛，一天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需用饲料18 kg～20 kg，每头小牛1天约需用饲料7 kg～8 kg.你能否通过计算检验他的估计是否正确吗？二、探究新知根据问题中给定的数量关系如何计算平均每头大牛和每头小牛1天各约需用的饲料量？主要思路： eq \x(实际问题)  eq \o(――→,\s\up7(设未知数),\s\do5(列方程组))  eq \x(\a\al(　　数学问题,（二元一次方程组）)) 学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程.问题：1．题中有哪些已知量？哪些未知量．2．题中的等量关系有哪些？3．如何解这个应用题？解：设平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料x kg和y kg.找出相等关系列方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,42x＋20y＝940.)) 解这个方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝5.)) 这就是说，平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料20 kg和5 kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．教师请同学们好好思考：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？(个别学生可能会列出如下方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30x＋15y＝675，,12x＋5y＝265.)) 但结果一致．)【例2】某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%再标价出售，春节期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售，某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服装标价之和为210元，这两种服装的进价和标价各是多少元？分析：购买甲服装的费用＋购买乙服装的费用＝182元，甲服装的标价＋乙服装的标价＝210元．解：设甲的进价为x元，乙的进价为y元，依题意得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.8×1.4x＋0.9×1.4y＝182，,1.4x＋1.4y＝210，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝100.)) 1.4×50＝70，1.4×100＝140.答：甲、乙进价分别为50元、100元，标价分别为70元、140元三、课堂练习1．某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%再标价出售，春节期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售，某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服装标价之和为210元，这两种服装的进价和标价各是多少元？2．某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少？3．有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？四、课堂小结通过这节课的学习，你知道用方程组解决实际问题有哪些步骤吗？五、课后作业完成本节课对应练习．本节课从实际问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组，通过对方程组解的检验，让学生认识到检验不仅要检查求得的解是否符合方程组中的每一个方程，而且还要考查所得的解答是否符合实际问题的要求，从而使学生初步体验用方程组解决实际问题的全过程．第2课时　几何图形与工程问题1．经历用方程组解决几何图形和工程问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；2．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组．重点分析已知数和未知数之间的关系．难点寻找等量关系．一、导入新课前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．教师出示问题：【例1】据以往的统计资料，甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶2.现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地划分为两块长方形土地，使甲、乙两种作物的总产量比是3∶4.二、探究新知探究一：几何图形问题问题：1．“甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶2”是什么意思？2．“甲、乙两种作物的总产量比为3∶4”是什么意思？3．本题中有哪些等量关系？提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物的单位产量是多少？1．先确定有两种方法分割长方形，再分别求出两个小长方形的面积，最后计算分割线的位置．2．先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置．3．设未知数，列方程组求解．如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE＝x m，BE＝y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝200，,100x∶\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×100y))＝3∶4，)) 解这个方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝120，,y＝80，)) 过长方形土地的长边上离一端120 m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种植甲种作物．较小一块土地种植种乙作物．教师提问：你还能设计别的种植方案吗？(用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长方形．)教师巡视、指导，师生共同讲评．探究二：工程问题【例2】某地为打造运河风光带，雇用A，B两个工程队共同完成一段长为180 m的河道的清理任务．已知A工程队每天清理12 m，B工程队每天清理8 m，两个工程队工作天数之和为20天，A，B工程队分别清理了多长的河道？分析：A工程队清理河道的长度＋B工程队清理河道的长度＝180 m，A工程队所用的天数＋B工程队所用的天数＝20天．解：设A工程队清理了x m的河道，B工程队清理了y m的河道，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝180，,\f(x,12)＋\f(y,8)＝20，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝60，,y＝120.)) 答：A工程队清理了60 m的河道，B工程队清理了120 m的河道．三、课堂练习1．如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃(阴影部分)，求其中一个长方形的长和宽．2．在某地“乡村振兴”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建条335米长的公路，甲队每天修建20米，乙队每天修建25米，一共用15天完成．(1)小红同学根据题意，列出了一个方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝15，,20x＋25y＝335，)) 请写出小红所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示________________，y表示________________；(2)小芳同学的思路是设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．请你按照小芳的思路列出方程组，并求出甲、乙队各修建了多少米？四、课堂小结通过本节课的学习，你对用列方程组解决实际问题的方法又有何新的认识？五、课后作业完成本节课对应练习．本课时例1有一定的难度，在教师的引导下，通过合作探究分析其数量关系，列出方程组，在完成解答后，教师提出“你还能设计别的种植方案吗？”激发了同学们的学习兴趣，拓展了学生的思维．在解决工程问题应用题，关键是要让同学们掌握工作时间、工作效率、工作总量之间的关系，再结合题目中的数量关系列出方程组．第3课时　图表信息与行程问题1．进一步经历列方程组解决图表信息和行程问题应用题，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；2．会用列表、画图的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组．重点用列表、画图的方法分析题意．难点借助列表、画图寻找等量关系．一、导入新课教师出示例题：【例1】如图，丝路纺织工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运到B地．已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元．这批纺织面料的销售款比原料费与运输费的和多多少元？二、探究新知探究一：图表信息设问1：如何设未知数？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设购买x t长绒棉，制成y t纺织面料.设问2：如何确定题中的数量关系？列表分析：由上表可列方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5×（10x＋20y）＝5200，,0.2×（120x＋110y）＝16640，)) 解这个方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝400，,y＝320，)) 因为毛利润＝销售款－原料费－运输费，所以这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1258160元．教师引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的思路：合理设定未知数，找出相等关系．探究二：行程问题【例2】甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练，如果他保持上坡的速度为30 km/h，平路的速度为40 km/h，下坡的速度为50 km/h，那么他从甲地骑到乙地需54 min，从乙地骑到甲地需42 min，甲地到乙地全程是多少千米？分析：从甲地到乙地分为两段路程，即平路路程＋坡路路程，则从甲地到乙地的时间：上坡时间＋平路时间＝ eq \f(54,60)  h，从乙地到甲地的时间：平路时间＋下坡时间＝ eq \f(42,60)  h.解：设平路路程为x km，坡路路程为y km，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,30)＋\f(y,40)＝\f(54,60)，,\f(y,40)＋\f(x,50)＝\f(42,60)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝16.)) ∴全程：平路＋坡路＝31 km.答：甲地到乙地全程是31 km.三、课堂练习1．甲，乙两人相距42千米，两人同时出发相向而行，两小时后相遇；同时出发同向而行，甲14小时可追上乙，求甲，乙两人的速度．2．科技馆门票价格规定如下表：　　某学校七(1)班、七(2)班共103人去科技馆，其中七(1)班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1 686元．(1)七(2)班学生有多少人？(2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省________元．四、课堂小结1．在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？2．小组讨论，试用框图概括“用二元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程．学生思考、讨论、整理．五、课后作业完成本节课对应练习．本课探究的问题信息量大、数量关系复杂、未知数不容易设定，对学生来说是一种挑战，因此安排学生合作学习．学生先独立思考、自主探索，然后在小组讨论中合理设定未知数，借助表格分析题中的数量关系，列出方程组求得问题的解．在本节的小结中，让学生结合自己的解题过程概括整理实际问题与二元一次方程组的关系，并比较完整地用框图反映，培养了学生的模型化思想．*10.4　三元一次方程组的解法第1课时　三元一次方程组及其解法1．会解三元一次方程组；2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．重点掌握三元一次方程组的解法．难点三元一次方程组如何化归到二元一次方程组．一、导入新课问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛．积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则．胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？解决这个问题的一个自然的想法是，设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.根据题意，可以得到下面三个方程：x＋y＋z＝22，3x＋y＝47，x＝4z＋2.二、探究新知这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起．写成 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝22，,3x＋y＝47，,x＝4z＋2.)) 归纳：这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解，那么，能不能按照同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝22，①,3x＋y＝47，②,x＝4z＋2.③)) 仿照前面学过的代入法，可以把③分别代人①②并化简，得到两个只含y，z的方程y＋5z＝20和y＋12z＝41，它们组成方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋5z＝20，,y＋12z＝41.)) 解这个二元一次方程组，可以求出y和z，进而可以求出x eq \x(三元一次方程组)  eq \o(――→,\s\up7(消元))  eq \x(二元一次方程组)  eq \o(――→,\s\up7(消元))  eq \x(一元一次方程) 【例】解三元一次方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4z＝7，,2x＋3y＋z＝9，,5x－9y＋7z＝8.)) 三、课堂练习解方程组：(1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＋z＝13，,x＋y＋2z＝7，,2x＋3y－z＝12；)) 　(2) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝27，,y＋z＝33，,z＋x＝30；)) (3) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x∶y＝3∶2，,y∶z＝5∶4，,x＋y＋z＝66.)) 四、课堂小结总结三元一次方程组的解法．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课学生在学习了二元一次方程组解法的基础上学会了解简单的三元一次方程组，并了解了感受解三元一次方程组的基本思想是：“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．第2课时　三元一次方程组的简单应用1．会根据实际问题列出三元一次方程组，能熟练地运用代入法、加减法解三元一次方程组；2．通过问题探究、合作交流，培养学生的分析问题和解决实际问题的能力．重点根据实际问题列出三元一次方程组．难点根据实际问题列出三元一次方程组，并灵活运用消元法求解．一、导入新课已知小乐、小王、小李三个同学年龄之和为26岁，小乐年龄的2倍与小王的年龄之和比小李大18岁，小乐比小李大1岁，求三个同学的年龄．解决这个问题可设小乐x岁，小王y岁，小李z岁，依题意可列出三个方程：x＋y＋z＝26，x－1＝z，2x＋y＝z＋18二、探究新知因三个同学的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝26，,x－1＝z，,2x＋y＝z＋18.)) 解三元一次方程的基本思路： eq \x(\a\al(三元一次,方程组))  eq \o(――→,\s\up7(消元))  eq \x(\a\al(二元一次,方程组))  eq \o(――→,\s\up7(消元))  eq \x(\a\al(一元一次,方程)) 【例1】在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值．师生活动：教师引导学生分析解题思路，将a，b，c看作未知数，将x，y代入原式；可以得到一个三元一次方程组． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，①,4a＋2b＋c＝3，②,25a＋5b＋c＝60.③)) ②－①，得a＋b＝1.④③－①，得4a＋b＝10.⑤④与⑤组成二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,4a＋6＝10.)) 解这个方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2.)) 把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.因此a，b，c的值分别为3，－2，－5.【例2】一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 eq \f(1,3) ，如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99，求这个三位数．分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组．解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.根据题意，列得三元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝14，,2x－y＝\f(1,3)z，,100z＋10y＋x＋99＝100x＋10y＋z，)) 解这个方程组，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝7，,z＝3.)) 因此这个三位数是473.三、课堂练习1．今年小新一家三口的岁数总和是80岁，爸爸比妈妈大3岁，妈妈的岁数恰好是小新岁数的5倍．问：今年爸爸、妈妈和小新分别多少岁？2．一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 eq \f(3,4) ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．3．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？四、课堂小结本节课你有什么收获？和同伴交流一下．五、课后作业完成本节课对应练习．在教学过程中，首先引导学生回顾二元一次方程组的实际应用方法，类比迁移到列三元一次方程组的学习中．强调了方程组的解与实际问题的解之间的对应关系，让学生清晰地认识到如何通过设未知数构建起三元一次方程组是解决问题的关键．例题由易到难，有利于学生更好地理解和掌握新知识.x…y…长绒棉x t纺织面料y t合计公路运费(元)铁路运费(元)价值(元)购票张数(张)1～5051～100100以上每张票价(元)181510农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人1万元棉花8人1万元蔬菜5人2万元