浙江省名校协作体2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题及参考答案

这是一份浙江省名校协作体2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题及参考答案，文件包含2024学年第二学期浙江省名校协作体试题docx、高三名校协作体数学答案1pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A=x∣x2−3x≤0,B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=（ ▲ ）
A．{−2,−1,0}B．{−1,0,1,2}C．{0,1,2}D．{0,1}
2．已知复数z满足zz+1=i，则z=Δ
A．32B．3C．22D．2
3．已知a=1,1,b=2，且a在b方向上的投影向量为−12b，则a与b的夹角为（ ▲ ）
A．π4B．π3C．2π3D．3π4
4．一个底面边长为2 cm的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为1 cm的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了π2 cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ▲ ）
A．37π cm2B．6π cm2
C．210π cm2D．237π cm2
5．已知数列an的前n项和为Sn，且Snn为等差数列，若S3=15,S4=28，则a9=（ ▲ ）
A．13B．26C．30D．33
6．已知圆C:x2+y2−10y+16=0与双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线相切，则该双曲线E的离心率为（ ▲ ）
A．52B．53C．54D．2
7．已知函数fx=2csωx−π6ω>0，若在区间0,23π内恰好存在两个不同的x0，使得fx0=1，则fx的最小正周期不可能为（ ▲ ）
A．8π11B．2π3C．8π13D．8π15
8．设函数fx=x2−alnx−b，若fx≥0，则ab的最小值为（ ▲ ）
A．−12eB．−1e2
C．−2e4D．0
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ▲ ）
A．有一组数1，2，3，5，这组数的第75百分位数是3
B．在α=0.05的独立性检验中，若χ2不小于α对应的临界值x0.05，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05
C．随机变量X∼Bn,p，若EX=30,DX=10，则n=90
D．用y=cekx拟合一组数据时，经z=lny代换后得到的回归直线方程为z=0.3x+4，则c=e4，k=0.3
10．若正实数a,b满足a+b=4，则下列不等式正确的是（ ▲ ）
A．1a+1b≤1B．a+b≤22
C．a2+4b2≥645D．lg4a+lg4b≤1
11．已知直棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2,∠ABC=π3，动点M满足BM=λBD+μBB10≤λ≤1,0≤μ≤1，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A．当λ≠1时，MD1⊥AC
B．当μ=1时，三棱锥M−BDC1的体积为43
C．当λ=μ=12时，三棱锥M−BCD的外接球的表面积为20π
D．记点M到直线AC的距离为d，当λ+μ=1时，则AM+d的最小值为3+72
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在x−2x3的展开式中，常数项是 ▲ ．
13．已知定义在R上的函数fx，满足fx+2是偶函数，
f2x+1−1是奇函数，则f2025= ▲ ．
14．如图所示网格中，要从A点出发沿实线走到B点，距离最短的走法中，经过点C的概率为 ▲ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知4cs2A−C2=4sinAsinC+3．
（I）求角B的大小；
（II）若D为AC上一点，且AD=2,DC=1,BD为∠ABC的角平分线，求线段BD的长．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC,AB⊥AD,PA=PD=AD=2,AB=BC=1,E是棱PD的中点，PB=7．
（I）求证：CE//平面PAB；
（II）求直线CP与平面PAB所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知函数fx=x2+6x−8−8lnx．
（I）求函数fx的单调区间；
（II）若对于任意x>0,fx≥ax恒成立，求整数a的最大值．
18．（本小题满分17分）
已知离心率为12的椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点且AB=7．
（I）求椭圆E的标准方程；
（II）设经过椭圆E左焦点F的直线l与椭圆E交于C,D两点，点O为坐标原点．若△OCD面积为627，求直线l的方程；
（III）点Q1,32，点M、N在椭圆E上，且满足kMQ+kNQ=−34（记直线MQ的斜率为kMQ，直线NQ斜率为kNQ），过点Q作MN的垂线，垂足为H，问：是否存在定点G，使得GH为定值？若存在，求出此定值，若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
定义：A∖x为在集合A中去掉一个元素x后得到的集合；SA为集合A中的所有元素之和．已知由n个正整数组成的集合A=a1,a2,⋯,ann∈N∗,n≥3，若对于∀ai∈Ai=1,2,…,n，都存在两个集合B,C，使得A∖ai=B∪C,B∩C=ϕ，且SB=SC，就称集合A为“完美集”．
（I）若A={1,2,3,5,6}，判断A是否为“完美集”，并说明理由；
（II）若集合A=a1,a2,⋯,ann∈N∗,n≥3是“完美集”，证明：n是奇数；
（III）若集合A=a1,a2,⋯,ann∈N∗,n≥3是“完美集”，且A中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称A为“等差完美集”．已知集合A=a1,a2,⋯,ann∈N∗,n≥3是“等差完美集”，求n的最小值．
命题：桐乡高级中学 缙云中学 审校：玉环中学 温州中学