2025高考数学专项讲义第03讲指数与指数函数(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第03讲指数与指数函数(学生版+解析)，共41页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
指数的基本知识
根式的基本性质
①的定义域为,的定义域为
②，定义域为
③，定义域为
④，定义域为
⑤，定义域为
指数的基本性质
①零指数幂:;
②负整数指数幂:
③正分数指数幂:;
④负分数指数幂:
指数的基本计算
①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算
③幂的乘方运算 ④积的乘方运算
指数函数
指数函数的定义及一般形式
一般地，函数，叫做指数函数
指数函数的图象和性质
考点一、指数与指数幂的运算
1．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．3
2．（2024·广东·模拟预测）若，则 ．
3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 .
2．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（ ）
A．8B．16C．2D．18
3．（2023·四川宜宾·一模）计算: .
考点二、指数函数的图象及其应用
1．（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于对称
2．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．D．2
1．（22-23高二下·四川绵阳·期末）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．B．C．D．
考点三、指数（型）函数的单调性
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增B．函数值域为
C．函数的图象关于对称D．函数的图象关于对称
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
考点四、指数（型）函数的值域与最值
1．（23-24高三·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ．
2．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 .
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小）
1．（2024·云南·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·辽宁·一模）设则（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·二模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，则函数的增区间为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（ ）
A．1B．2C．3D．0
二、填空题
8．（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 .
9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式 ．
①；②的值域为．
10．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 ．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．1B．2C．D．
2．（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．0
3．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
5．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．当时，为奇函数
D．当时，
三、填空题
8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 .
9．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ．
10．（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．
1．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（上海·高考真题）方程的解为 .
7．（福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
8．（山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第6题,5分
判断指数函数的单调性
判断对数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2023年新I卷，第4题,5分
指数型复合函数单调性
二次函数单调性
2022年新I卷，第7题,5分
比较指数幂的大小
用导数判断或证明已知函数的单调性
比较对数式的大小
图
象
定义域
值域
性质
过定点
当时，；
时,
当时，；
时,
在上是增函数
在上是减函数
第03讲 指数与指数函数
（5类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
指数的基本知识
根式的基本性质
①的定义域为,的定义域为
②，定义域为
③，定义域为
④，定义域为
⑤，定义域为
指数的基本性质
①零指数幂:;
②负整数指数幂:
③正分数指数幂:;
④负分数指数幂:
指数的基本计算
①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算
③幂的乘方运算 ④积的乘方运算
指数函数
指数函数的定义及一般形式
一般地，函数，叫做指数函数
指数函数的图象和性质
考点一、指数与指数幂的运算
1．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可.
【详解】．
故选：A．
2．（2024·广东·模拟预测）若，则 ．
【答案】
【分析】
分和两种情况分类计算.
【详解】当时，，
当时，.
故答案为：
3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
1．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为 .
【答案】
【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可
【详解】
故答案为：
2．（2023·山东·模拟预测）若， 则的值为（ ）
A．8B．16C．2D．18
【答案】D
【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：因为，
所以.
故选：D．
3．（2023·四川宜宾·一模）计算: .
【答案】
【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解.
【详解】由题意可得：
，
即.
故答案为：.
考点二、指数函数的图象及其应用
1．（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于对称
【答案】C
【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数与，如果它们的图象关于原点对称，即在定义域内恒成立，则称与为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论.
【详解】令函数，
所以
即，所以函数与的的图象关于原点对称，
即函数与的图象的的图象关于原点对称，
故选：C.
2．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.
【详解】由于当时，，排除B，C，
当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，
当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.
故选：AD.
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．D．2
【答案】A
【分析】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，
则，显然，所以，
构造函数与函数，则方程的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，
设为，所以，，
即，
另外发现，将代入，可得，
所以也是函数的零点，说明，即.
故选:A.
1．（22-23高二下·四川绵阳·期末）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论.
【详解】因为，，
所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位，
故选：D.
2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．
【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.
故选：AC.
3．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得且，求出a，即可求解.
【详解】因为函数图象过原点，所以，
得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，
所以，则，
所以.
故选：C
考点三、指数（型）函数的单调性
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增B．函数值域为
C．函数的图象关于对称D．函数的图象关于对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【详解】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，
所以函数的值域为，故B正确；
，，
所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设，，则，所以为奇函数．
又，
则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，
所以图象的对称中心为，所以．
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
因为，
所以，所以，解得，
故满足的的取值范围为．
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数是减函数，所以．
又因为函数5）图像的对称轴是直线，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数是上的减函数，所以，解得，
所以的取值范围是．
故选:B．
1．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】令，则，
由复合函数的单调性可知：
的单调递减区间为函数的单调递减区间，
又函数，
即函数为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数的单调递减区间为和，
即的单调递减区间为和．
故选：C．
2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
所以在区间单调递减，所以，解得．
故选：D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【详解】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；
，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：ABD
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.
【详解】，易知在单调递减，
在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减，
由，则，解得,
故不等式的解集为.
故选：A
考点四、指数（型）函数的值域与最值
1．（23-24高三·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 ，值域为 ．
【答案】
【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.
【详解】令，解得或，
∴的定义域为，
令，则其在上递减，在上递增，
又为减函数，故的增区间为．
∵，∴，故的值域为．
故答案为：，.
2．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
【答案】或
【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
【详解】由题意，令，，，，
当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，解得，
结合，此时；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为，
因为存在最小值，故需，即，解得，
这与矛盾；
当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2；
则实数的取值范围为或．
故答案为：或．
3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
【详解】当时，，符合题意；
当时，因为函数的值域为满足，
由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；
若时，依题意有的最小值，即，
若时，不符合题意；
综上：，
故选：B.
1．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 .
【答案】16
【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解.
【详解】由，而，
因为单调递增，所以，则的最大值是16.
故答案为：16
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得.
【详解】函数在上单调递增，，
令，
而函数在上单调递增，则，
所以函数的值域为.
故选：D
3．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围.
【详解】①若，
当时，在上单调递减，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域D满足，则解得；
②若，
当时，在上单调递增，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域D满足，不合题意；
③当时，，
若，有（当且仅当时取等号）符合题意，
综上所述：.
故选：D.
考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小）
1．（2024·云南·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中间数比较与，根据中间数比较与.
【详解】因为，，
所以，因为，，
所以，所以.
故选：D.
2．（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果.
【详解】因为，得到，又，函数是减函数，
所以，又，得到，
所以，
故选：A.
3．（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，应用导数得其单调性，可判断，再结合指数函数的单调性即可判断.
【详解】根据题意，构造函数，则，
当时，，所以在区间上单调递增，
因此可得，即，
所以，
又指数函数为单调递增，可得，即，
因为，所以.
故选：A.
1．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.
【详解】因为指数函数是单调减函数，所以，
又由幂函数在上单调增函数，所以，
又因为指数函数是单调增函数，所以，
综上可得：，
故选：D.
2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
3．（2024·辽宁·一模）设则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用导数证明不等式，可得；根据不等式的性质可证得，则，即可求解.
【详解】对于函数，，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，即.
所以，.
由，得，所以，则，
所以，即.
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·二模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数值域化简集合，再利用并集的定义求解即得.
【详解】当时，，则，而，
所以.
故选：C
2．（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】构造函数，根据函数单调性得到，故.
【详解】构造函数，则在上单调递增，
所以．
故选：C．
3．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，则的图象为：
可知在上单调递增；
若，则的图象为：
可知在上单调递减；
综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.
故选：C．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，则函数的增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.
【详解】因为函数为偶函数，所以，解得，
所以函数，其增区间为.
故选：B．
5．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设，，则在上单调递增.
因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.
故选：
6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用时，和可求得的解析式.
【详解】设，则，
所以，
又函数是奇函数，所以，即，.
即.
故选：C
7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】D
【分析】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
所以的图象关于对称，
令，则，
可得函数的图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，
则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个，
则.
故选：D.
二、填空题
8．（2024·山东济宁·三模）已知函数，则 .
【答案】
【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可.
【详解】因为，所以.
所以.
故答案为：.
9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式 ．
①；②的值域为．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据指数函数的值域和指数运算即可得到答案.
【详解】对于任意指数函数函数且,
条件①，对于任意，都有，
条件②，是指数函数，所以的值域为，
例如：函数为指数函数，满足条件①②.
故答案为：（答案不唯一）.
10．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，推得，为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．
【详解】命题“，”为假命题，
则，为真命题，又
则，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得.
【详解】由对称中心性质可知函数满足，
即，
整理可得，即，
解得.
故选：C
2．（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
所以，
解得，
又，
所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，
因为，
所以，故.
故选：B
3．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断，根据基本不等式判断，根据指数的运算判断.
【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增，
又，所以，故正确；
因为，，
所以，
又，所以上式取不到等号，所以，故正确；
，，
，，，故错误；
，，故正确.
故选：C.
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【详解】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.
故选：B
5．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.
【详解】由题意知，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以，即，所以，即，所以，
又，又，所以，
所以，所以．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断.
6．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.
【详解】令，求导得，
当时，，则在上单调递减，
则，即，而，于是，
所以.
故选：D
二、多选题
7．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．当时，为奇函数
D．当时，
【答案】ACD
【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分、分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指数幂的运算判断D.
【详解】对于函数，令，解得，
所以的定义域为，故A正确；
因为，当时，所以，
当时，所以，
综上可得的值域为，故B错误；
当时，则，
所以为奇函数，故C正确；
当时，则，
故D正确.
故选：ACD
三、填空题
8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解.
【详解】若命题任意“，”为假命题，
则命题存在，为真命题，
因为时，，
令，则，
则在上单调递增，
所以，
所以.
故答案为：.
9．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ．
【答案】/
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值.
【详解】当时，，即，
当时，，即，
于是，在上，都成立，即为偶函数.
由指数函数的单调性可知，在上单调递增，
因此，不等式等价于，
即，解得.
故m的最大值为.
故答案为：.
10．（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增，
，解得.
故答案为：4（答案不唯一）.
1．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：B
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
4．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
6．（上海·高考真题）方程的解为 .
【答案】
【分析】根据指数幂的运算性质，化简得到，得出方程，即可求解.
【详解】由，可得，解得.
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
7．（福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负.
【详解】由图象可知，函数为减函数，
从而有；
法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，
令，得，
由，即，解得 .
法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，
则，即.
故选：D.
8．（山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第6题,5分
判断指数函数的单调性
判断对数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2023年新I卷，第4题,5分
指数型复合函数单调性
二次函数单调性
2022年新I卷，第7题,5分
比较指数幂的大小
用导数判断或证明已知函数的单调性
比较对数式的大小
图
象
定义域
值域
性质
过定点
当时，；
时,
当时，；
时,
在上是增函数
在上是减函数