初中数学沪科版（2024）七年级下册（2024）6.2 无理数和实数第2课时导学案

这是一份初中数学沪科版（2024）七年级下册（2024）6.2 无理数和实数第2课时导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点等内容，欢迎下载使用。
1．知道实数与数轴上的点是一一对应的关系．
2．进一步理解无理数与实数的概念，会求一个实数的相反数、倒数和绝对值．
3．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用，并能进行简单的实数运算．
4．初步学会比较两个实数的大小，能进行简单的实数的近似计算．
【学习重点】
1．会求一个实数的相反数、倒数和绝对值及简单的实数运算．
2．实数的大小比较．
【学习难点】
1．理解有理数的运算法则在实数范围内同样适用．
2．比较两个无理数的大小．
学习过程
一、组织学习，温故知新
我们学习了有理数的加、减、乘、除、乘方、开方六种运算，学习了有理数的加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法对加法的分配律．
1．像a与－a这样仅有符号不同的两个有理数互为相反数，0的相反数是0，互为相反数的两个数的和为0.
2．1除以一个不为零的数所得的商叫作这个数的倒数，0没有倒数，互为倒数的两个数的积为1.
3．在数轴上表示一个数的点离原点的距离叫作这个数的绝对值．正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．
4．有理数的相反数和倒数是两个不同的概念，互为相反数的两个数符号不同，绝对值相等；互为倒数的两个数符号相同，绝对值不相等．
5．请填写下表：
6．如图，面积为a＞0的正方形的边长是eq \r(a)，面积为b＞0的正方形的边长是eq \r(b).显然，正方形的面积大，它的边长就大．因此，eq \r(a)＞eq \r(b).
二、创设情境，引入新课
1．相反数：实数a的相反数是－a，两个互为相反数的数的和为0.
2．倒数：当实数a≠0时，实数a的倒数是eq \f(1,a)，0没有倒数，互为倒数的两个数的积为1.
3．绝对值：(1)正数的绝对值是它本身；(2)零的绝对值是零；(3)负数的绝对值是它的相反数．即：
|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a， （a＞0）,0， （a＝0）,－a，（a＜0）))
任意实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
4．实数大小比较的基本法则：在数轴上，右边的点所表示的数总是大于左边的点所表示的数．
5．在实数范围内，正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小．如eq \r(6)＞eq \r(2)，－eq \r(6)＜－eq \r(2).
总结：如果a＞b＞0，则eq \r(a)＞eq \r(b)，－eq \r(a)＜－eq \r(b).
三、例题分析
【例1】 每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，那无理数也能用数轴上的点表示吗？如eq \r(2)呢？
答：以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，这个正方形对角线长为半径画弧，以数轴正半轴的交点记作A，与数轴负半轴的交点记作A′，点A表示的数是eq \r(2)，A′点表示的数是－eq \r(2).
归纳：一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数．所以实数和数轴上的点一一对应．
【例2】 计算：(1)3eq \r(3)＋eq \r(3)；(2)eq \r(2)×eq \r(3)÷eq \f(1,\r(2)).
分析：实数的运算与有理数的运算一样，可以用运算律．
解：(1)3eq \r(3)＋eq \r(3)＝4eq \r(3).
(2)eq \r(2)×eq \r(3)÷eq \f(1,\r(2))＝2eq \r(3).
思考1：两个无理数的和仍然是无理数吗？
答：两个无理数的和不一定是无理数，如两个互为相反数的无理数的和是零，零是有理数．
思考2：两个无理数的积仍然是无理数吗？
答：两个无理数的积不一定是无理数，如两个互为倒数的无理数的积是1，1是有理数．再比如2eq \r(2)×3eq \r(2)等类似的情况，它们的积都是有理数．
【例3】 近似计算．
(1)eq \r(3)＋π(精确到0.01)；
(2)eq \r(5)×eq \r(7)(保留2个有效数字)．
分析：在实数的近似计算中，无理数可以按要求的精确度用近似的有限小数代替无理数，再进行计算．
解：(1)eq \r(3)＋π≈1.732＋3.142≈4.87.
(2)eq \r(5)×eq \r(7)≈2.24×2.65≈5.9.
【例4】 比较eq \f(\r(7)－2,3)与eq \f(1,3)的大小．
解：因为2＜eq \r(7)＜3，所以eq \f(\r(7)－2,3)－eq \f(1,3)＝eq \f(\r(7)－3,3)＜0.
所以eq \f(\r(7)－2,3)＜eq \f(1,3).
四、提升练习
1．在实数范围内，一个数与它的倒数相等的数有( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．设a是任意实数，若|a－2|＝3，则a的值是( C )
A．5 B．－1 C．5或－1 D．－5或1
3．绝对值大于eq \r(3)且小于eq \r(11)的所有整数有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若整数x满足－eq \r(2)＜x＜eq \r(5)，则x的值是__－1，0，1，2__.
5．数轴上A点表示－eq \r(5)，B点表示1，则线段AB的长是__eq \r(5)＋1__．
6．请填写下表：
7.比较eq \f(\r(3)－1,2)与eq \f(1,2)的大小．
解法1：因为eq \r(1)＜eq \r(3)＜eq \r(4)，即1＜eq \r(3)＜2，
所以0＜eq \r(3)－1＜1，因此eq \f(\r(3)－1,2)＜eq \f(1,2).
解法2：因为eq \r(1)＜eq \r(3)＜eq \r(4)，即1＜eq \r(3)＜2，所以eq \r(3)－2＜0，
所以eq \f(\r(3)－1,2)－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3)－2,2)＜0，因此eq \f(\r(3)－1,2)＜eq \f(1,2).
8．近似计算：
(1)eq \r(6)＋π(精确到0.1)；
eq \a\vs4\al(解：原式≈2.45＋3.14,≈5.6.)
(2)eq \r(2)＋eq \r(3)－eq \r(5)(精确到0.01)．
解：原式≈1.414＋1.732－2.236
＝0.91.
实数
－5
－1.5
0
5
3
相反数
5
1.5
0
－5
－3
倒数
－eq \f(1,5)
－eq \f(2,3)
eq \f(1,5)
eq \f(1,3)
绝对值
5
1.5
0
5
3
实数
eq \r(3)
eq \r(2)
2
1
－1
0
－eq \r(3,2)
－eq \r(3,3)
π
相反数
－eq \r(3)
－eq \r(2)
－2
－1
1
0
eq \r(3,2)
eq \r(3,3)
－π
倒数
eq \f(1,\r(3))
eq \f(1,\r(2))
eq \f(1,2)
1
－1
－eq \f(1,\r(3,2))
－eq \f(1,\r(3,3))
eq \f(1,π)
绝对值
eq \r(3)
eq \r(2)
2
1
1
0
eq \r(3,2)
eq \r(3,3)
π