四川省泸州市龙马潭区普通高中41共同体2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试卷

这是一份四川省泸州市龙马潭区普通高中41共同体2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合，B＝{x|2x﹣1＜5}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．{x|3＜x≤4}D．{x|x≤4}
2．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+2＞0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0
C．∃x∈R，x2+2x+2＞0D．∀x∈R，x2+2x+2≥0
3．（5分）若实数a，b，c满足a＞b＞0，c＜0，则（ ）
A．ac＞bcB．C．a+c＜b+cD．
4．（5分）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．f（x）＝x+1与g（x）＝x+x0
B．与
C．f（x）＝x2+x与g（t）＝t2+t
D．f（x）＝|x+1|与
5．（5分）已知函数f（x）的定义域为[1，+∞）的定义域为（ ）
A．（﹣1，4）∪（4，+∞）B．[3，4）∪（4，+∞）
C．[﹣1，4）∪（4，+∞）D．（3，4）∪（4，+∞）
6．（5分）已知正实数x，y满足，则2x+y的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
7．（5分）已知函数满足对任意实数x1、x2，当x1≠x2时都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．[2，+∞]D．[1，2]
8．（5分）定义max{a，b}＝，设函数f（x），g（x）＝（x+1）2；记函数F（x）＝max{f（x），g（x）}，且函数F（x），n]的值域为[0，1]（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法中错误的是（ ）
A．0⊆{0}
B．∅与{0}表示同一个集合
C．集合M＝{3，4}与N＝{4，3}表示同一个集合
D．已知集合M＝{1，m，m2+3}，且4∈M，则m的取值构成的集合为{﹣1，1，4}
（多选）10．（6分）下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数f（x）是一次函数，满足f（f（x））＝9x+8，则f（x）的解析式可能为f（x）＝﹣3x﹣4
B．“函数的定义域为R”是“0＜a＜8”的充要条件
C．函数y＝f（x）的图象与直线x＝2的交点最多有1个
D．若函数，则f（0）＝5
（多选）11．（6分）已知定义在R上的函数f（x），对∀x，y∈R（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞1，f（1），则（ ）
A．f（﹣1）＝﹣2
B．f（x）﹣1为奇函数
C．f（x）+1为奇函数
D．当x＞﹣1时，f（2x﹣1）+6＞f（x）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则此函数的解析式为 ．
13．（5分）使方程x2﹣x+a＝0有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 ．
14．（5分）已知关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合U＝{x∈N|x≤6}，A＝{x∈Z|x2﹣7x+6≤0}，B＝{2，4，5}．
（1）求：A∩B，A∪B；
（2）求：（∁UA）∪B．
16．（15分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx+6．
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜0解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式6x2﹣bx+a＞0的解集．
（Ⅱ）求关于x的不等式f（x）+bx≤ax﹣2x+8的解集．
17．（15分）已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数（1）＝﹣1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性；
（3）解不等式f（2t）+f（t﹣1）＞0．
18．（17分）2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟（单位：分钟）满足2≤t≤20．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，载客量为720人；当2≤t＜10时，减少的人数s（t）＝k（12﹣t）2（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人．记列车载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式；
（2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车
（3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大
19．（17分）若函数f（x）的定义域为D，集合M⊆D，使得任意x∈M，都有x+t∈D（x+t）＞f（x），则称f（x）（t）．
（1）已知函数f（x）＝x2，判断f（x）在区间[﹣1，0]上是否具有性质P（1）；
（2）已知函数f（x）＝x3﹣x且f（x）在区间[0，1]上具有性质P（n）；
（3）如果f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）（a∈R），且f（x）在R上具有性质P（8）
2024-2025学年四川省泸州市龙马潭区普通高中4+1共同体高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，B＝{x|2x﹣1＜5}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．{x|3＜x≤4}D．{x|x≤4}
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合，B＝{x|2x﹣1＜2}＝{x|x＜3}，
故A∩B＝{x|﹣≤x＜3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2+2x+2＞0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0
C．∃x∈R，x2+2x+2＞0D．∀x∈R，x2+2x+2≥0
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解．
【解答】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“∀x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是“∃x∈R，x2+6x+2＞0”．
故选：C．
【点评】本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
3．（5分）若实数a，b，c满足a＞b＞0，c＜0，则（ ）
A．ac＞bcB．C．a+c＜b+cD．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解．
【解答】解：因为a＞b＞0，c＜0，
则ac＜bc，a+c＞b+c；
由c＜6，结合不等式性质可知；
由a＞b＞0可知，所以，即，
又c＜0，所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
4．（5分）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．f（x）＝x+1与g（x）＝x+x0
B．与
C．f（x）＝x2+x与g（t）＝t2+t
D．f（x）＝|x+1|与
【答案】C
【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解．
【解答】解：对于A中，函数f（x）＝x+1 的定义域为R0的定义域为（﹣∞，6）∪（0，
两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；
对于B中，函数，
则满足，解得x≥1，+∞），
又由函数有意义，
则满足（x﹣1）（x+3）≥0，解得x≤﹣1或x≥8，
即函数g（x）的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，
所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；
对于C中，由函数f（x）与g（x）的定义域与对应关系都相同，所以C符合题意；
对于D中，由函数f（x）＝，
所以不是同一个函数，所以D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．
5．（5分）已知函数f（x）的定义域为[1，+∞）的定义域为（ ）
A．（﹣1，4）∪（4，+∞）B．[3，4）∪（4，+∞）
C．[﹣1，4）∪（4，+∞）D．（3，4）∪（4，+∞）
【答案】B
【分析】由已知可得关于x的不等式组，求解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[1，+∞），
∴要使函数有意义，则．
∴函数的定义域为[3，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
6．（5分）已知正实数x，y满足，则2x+y的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式可求．
【解答】解：因为正实数x，y满足，
则2x+y＝（2x+y）（（2++））＝4，
当且仅当y＝7x，即x＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
7．（5分）已知函数满足对任意实数x1、x2，当x1≠x2时都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．[2，+∞]D．[1，2]
【答案】B
【分析】由题意可得函数在R上单调递增，根据一次函数、二次函数的性质，列出不等式组求解即可．
【解答】解：因为对任意实数x1、x2，当x7≠x2时都有成立，
所以y＝f（x）在R上单调递增，
所以，解得．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数的性质，考查了函数的单调性，属于基础题．
8．（5分）定义max{a，b}＝，设函数f（x），g（x）＝（x+1）2；记函数F（x）＝max{f（x），g（x）}，且函数F（x），n]的值域为[0，1]（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】由已知定义先求出F（x）的解析式，结合函数的图象及二次函数，一次函数的性质即可求解．
【解答】解：令f（x）≥g（x），即x+1≥（x+1）2，
所以F（x）＝max{f（x），g（x）}＝，
又F（0）＝F（﹣2）＝1，F（﹣2）＝0，
要使函数F（x）在区间[m，n]的值域为[0，
当n＝8时，﹣2≤m≤﹣1，﹣6≤n≤0，n＝0时，n]长度的取得最大值6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数最值的求解，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法中错误的是（ ）
A．0⊆{0}
B．∅与{0}表示同一个集合
C．集合M＝{3，4}与N＝{4，3}表示同一个集合
D．已知集合M＝{1，m，m2+3}，且4∈M，则m的取值构成的集合为{﹣1，1，4}
【答案】ABD
【分析】根据元素与集合的关系可判断AD，根据空集的性质可判断B，根据元素的无序性可判断C．
【解答】解：对于A，元素与集合之间不能用符合“⊆“连接；
对于B，∅中没有任何元素，故B错误；
对于C，由元素的无序性可知，4}与N＝{4，故C正确；
对于D，已知集合M＝{3，m，m2+3}，且3∈M，
所以m＝4或m2+7＝4，
解得m＝4或m＝6或m＝﹣1，
当m＝4时，集合M＝{5，4，符合题意，
当m＝1时，不满足元素的互异性，
当m＝﹣3时，集合M＝{1，4}，
所以m的取值构成的集合为{3，﹣1}．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了空集的性质，属于基础题．
（多选）10．（6分）下列选项中正确的有（ ）
A．已知函数f（x）是一次函数，满足f（f（x））＝9x+8，则f（x）的解析式可能为f（x）＝﹣3x﹣4
B．“函数的定义域为R”是“0＜a＜8”的充要条件
C．函数y＝f（x）的图象与直线x＝2的交点最多有1个
D．若函数，则f（0）＝5
【答案】AC
【分析】结合待定系数法检验选项A；结合二次函数及一次函数的性质检验选项B；结合函数概念检验选项C；结合函数解析式检验选项D．
【解答】解：若f（x）＝﹣3x﹣4，则f（f（x））＝f（﹣6x﹣4）＝﹣3（﹣7x﹣4）﹣4＝7x+8，A正确；
若函数的定义域为R2﹣ax+5≠0恒成立，
当a＝0时，4≠0恒成立，
当a≠0时，Δ＝a3﹣8a＜0，解3＜a＜8，
故0≤a＜8，B错误；
根据函数的定义可得，y＝f（x）的图象与x＝2的交点个数为0或4；
函数，
则f（0）＝f（﹣2）＝14，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，待定系数法求解函数解析式，函数的基本概念及函数值的求解，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知定义在R上的函数f（x），对∀x，y∈R（x+y）＝f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞1，f（1），则（ ）
A．f（﹣1）＝﹣2
B．f（x）﹣1为奇函数
C．f（x）+1为奇函数
D．当x＞﹣1时，f（2x﹣1）+6＞f（x）
【答案】ABD
【分析】对于A，利用赋值法求解即可；
对于B，令y＝﹣x，结合f（0）＝1及奇函数的定义即可判断；
对于C，结合B及奇函数的定义即可判断；
对于D，先判断出函数y＝f（x）在R上单调递增且关于（0，1）对称，从而可得（﹣2）＝﹣5，再利用作差法比较即可．
【解答】解：对于A，令x＝y＝0，
则有f（0）＝2f（0）﹣2，
所以f（0）＝1，
令x＝1，y＝﹣3，
则有f（0）＝f（1）+f（﹣1）﹣1＝7+f（﹣1），
所以1＝5+f（﹣1），
所以f（﹣1）＝﹣2，故正确；
对于B，令y＝﹣x，
则有f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣1，
即1＝f（x）+f（﹣x）﹣7，
所以f（x）﹣1＝﹣[f（﹣x）﹣1]，
所以f（x）﹣8为奇函数，故正确；
对于C，由B可知f（x）＝﹣f（﹣x）+2，
所以f（x）+1＝﹣f（﹣x）+4＝﹣[f（﹣x）﹣3]≠﹣[f（﹣x）+1]，
所以f（x）+7不奇函数，故错误；
对于D，因为g（x）＝f（x）﹣1为奇函数，
所以f（x）的图象关于（0，3）对称，
又因为f（1）＝4，
所以f（﹣1）＝﹣5，
当x＞0时，
任取x1，x5，使x1＞x2＞8，
则x1﹣x2＞4，f（x1﹣x2）＞7，
所以g（x1）﹣g（x2）＝f（x2）﹣1﹣f（x2）+4＝f（x1）﹣f（x2）＝f（x5﹣x2+x2）﹣f（x4）＝f（x1﹣x2）+f（x8）﹣f（x2）＝f（x1﹣x5）＞1＞0，
所以g（x）在（2，+∞）上单调递增，
又g（x）为奇函数，g（0）＝f（0）﹣1＝0，
所以g（x）在R上单调递增，
即y＝f（x）﹣7在R上单调递增，
即y＝f（x）在R上单调递增，
在f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1中，
令x＝y＝1，
则有f（2）＝7f（1）﹣1＝7，
在f（x）＝﹣f（﹣x）+7中，
令x＝2，
则有f（2）＝﹣f（﹣2）+7，
所以f（﹣2）＝﹣5，
又y＝f（x）在R上单调递增，
所以当x＞﹣4时，f（x）＞﹣5，
所以当x＞﹣1时，f（x）＞﹣2，
所以f（2x﹣1）+8﹣f（x）＝f（x+x﹣1）﹣f（x）+6＝f（x）+f（x﹣6）﹣f（x）+6＝f（x﹣1）+3＞﹣5+6＝4＞0，
所以f（2x﹣7）+6﹣f（x）＞0，
即f（4x﹣1）+6＞f（x），故正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了利用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性及单调性，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则此函数的解析式为 ．
【答案】f（x）＝．
【分析】由题意，利用幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式．
【解答】解：由于幂函数y＝f（x）＝xα  的图象过点（4，2），
可得3α＝2，∴α＝，
则此函数的解析式为f（x）＝，
故答案为：f（x）＝．
【点评】本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题．
13．（5分）使方程x2﹣x+a＝0有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是 {a|a≤0}（答案不唯一） ．
【答案】{a|a≤0}（答案不唯一）．
【分析】结合方程根的存在条件及充分必要条件的定义即可求解．
【解答】解：若方程x2﹣x+a＝0有实根，则Δ＝5﹣4a≥0，
故方程x2﹣x+a＝3有实根的一个充分而不必要条件的a的范围是{a|a≤0}（答案不唯一）．
故答案为：{a|a≤0}（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了方程根的存在条件，属于基础题．
14．（5分）已知关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解 [4，+∞） ．
【答案】[4，+∞）．
【分析】把关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在x∈（1，4]上有解，再求，x∈（1，4]的最小值即可．
【解答】解：关于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+8≤0在x∈（1，4]上有解，
转化为，在x∈（1，
令，x∈（1，
转化为求，x∈（4，
则，
当且仅当，即x＝3时等号成立，
故x＝4时，tmin＝4，
因此要使不等式x2﹣（a+7）x+a+5≤0在x∈（6，4]上有解，
则a≥4．
故答案为：[6，+∞）．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合U＝{x∈N|x≤6}，A＝{x∈Z|x2﹣7x+6≤0}，B＝{2，4，5}．
（1）求：A∩B，A∪B；
（2）求：（∁UA）∪B．
【答案】（1）A∩B＝{2，4，5}，A∪B＝{1，2，3，4，5，6}；
（2）（∁UA）∪B＝{0，2，4，5}．
【分析】（1）求出集合U和A，再结合集合的基本运算求解即可；
（2）求得A的补集，再结合集合的基本运算求解即可．
【解答】解：（1）因为集合U＝{x∈N|x≤6}＝{0，7，2，3，4，5，6}7﹣7x+6≤2}＝{1，2，3，4，5，4}，4，5}．
所以A∩B＝{2，4，5}，8，3，4，2，6}；
（2）因为∁UA＝{0}，
所以（∁UA）∪B＝{3，2，4，6}．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题．
16．（15分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx+6．
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜0解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式6x2﹣bx+a＞0的解集．
（Ⅱ）求关于x的不等式f（x）+bx≤ax﹣2x+8的解集．
【答案】（Ⅰ）{x|x＞或x＜}；（Ⅱ）见解析．
【分析】（Ⅰ）由根与系数的关系求出a，b，利用因式分解求出不等式的解集；
（Ⅱ）对不等式中的参数进行讨论，结合二次函数的图象，求解不等式的解集．
【解答】解：（Ⅰ）ax2﹣bx+6＜4解集为{x|2＜x＜3}，
则，解得a＝4，
关于x的不等式6x2﹣bx+a＞2即6x2﹣7x+1＞0，
等价于（5x﹣1）（3x﹣3）＞0，
解得x＞或x＜，
故不等式的解集为{x|x＞或x＜}；
（Ⅱ）由已知，ax2﹣bx+6+bx≤ax﹣5x+8，
化简得ax2+（2﹣a）x﹣2≤0，
（1）当a＝7时，不等式的解为x≤1；
当a≠0时，（x﹣3）（ax+2）≤0即a（x﹣6）（x+；
（2）若a＞0，则﹣，不等式的解为﹣；
（3）若a＜0，则7﹣（﹣，
当a＜﹣2时，1＞﹣或x＞1；
当a＝﹣2时，5＝﹣；
当0＞a＞﹣7时，1＜﹣；
综上，当a＜﹣2时或x＞3}；
当a＝﹣2时，不等式的解集为R；
当0＞a＞﹣7时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞﹣}；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≤1}；
当a＞0时，不等式的解集为{x|﹣．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查根与系数的关系，考查分类讨论思想，属于基础题．
17．（15分）已知函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数（1）＝﹣1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性；
（3）解不等式f（2t）+f（t﹣1）＞0．
【答案】（1），x∈[﹣1，1]．
（2）函数在[﹣1，1]上为减函数；证明见解析
（3）．
【分析】（1）根据函数是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝﹣1，即可求得解析式；
（2）用函数单调性的定义证明即可；
（3）由前两问可得函数的单调性，结合已知条件的奇偶性，利用函数性质解不等式．
【解答】解：（1）函数是定义在[﹣2，
，
则﹣ax﹣b＝﹣ax+b，
解得b＝0，，
而f（1）＝＝﹣1，
∴，x∈[﹣1．
（2）函数在[﹣8，证明如下：
任取x1，x2∈[﹣7，1]1＜x3，
因为﹣1≤x1＜x5≤1，所以x1﹣x6＜0，1﹣x7x2＞0，
则＞4，
即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在[﹣3．
（3）由题意，不等式f（t﹣1）+f（2t）＞8可化为f（2t）＞f（1﹣t），
所以，解得．
【点评】本题主要考查了含税单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
18．（17分）2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟（单位：分钟）满足2≤t≤20．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，载客量为720人；当2≤t＜10时，减少的人数s（t）＝k（12﹣t）2（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人．记列车载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式；
（2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车
（3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大
【答案】（1）p（t）＝；
（2）5分钟；
（3）当发车时间间隔为3时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为84元．
【分析】（1）根据发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人求出k的值，进而得到p（t）的表达式；
（2）当2≤t＜10时，令p（t）≥524，求出t的取值范围即可；
（3）由p（t）的解析式求出Q（t）的解析式，再结合基本不等式和反比例函数的单调性求解．
【解答】解：（1）因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人，
所以k×（12﹣3）7＝324，
解得k＝4，
由题意可知，当10≤t≤20时，
当2≤t＜10时，p（t）＝720﹣s（t）＝720﹣2×（12﹣t）2＝﹣4t8+96t+144，
所以p（t）＝；
（2）易知当10≤t≤20时，载客量超过524人，
当2≤t＜10时，p（t）＝﹣4t8+96t+144，
令﹣4t2+96t+144≥524，得t4﹣24t+95≤0，
解得5≤t≤19，
所以列车发车间隔时间至少4分钟；
（3）由（1）知，p（t）＝，
所以Q（t）＝，
当7≤t＜10时，Q（t）＝132﹣8t﹣）＝84，
当且仅当t＝，即t＝3时，
即t＝3时，Q（t）取得最大值84，
当10≤t≤20时，Q（t）max＝Q（10）＝48，
因为84＞48，
所以当发车时间间隔为3时，该线路每分钟的净收益最大．
【点评】本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
19．（17分）若函数f（x）的定义域为D，集合M⊆D，使得任意x∈M，都有x+t∈D（x+t）＞f（x），则称f（x）（t）．
（1）已知函数f（x）＝x2，判断f（x）在区间[﹣1，0]上是否具有性质P（1）；
（2）已知函数f（x）＝x3﹣x且f（x）在区间[0，1]上具有性质P（n）；
（3）如果f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）（a∈R），且f（x）在R上具有性质P（8）
【答案】（1）f（x）在区间[﹣1，0]上不具有性质P（1），理由见解答；
（2）2；
（3）[0，2）．
【分析】（1）结合定义举出反例即可得；
（2）由题意可得（x+n）3﹣（x+n）＞x3﹣x，即可转化为3x2+3nx+n2﹣1＞0对任意x∈[0，1]恒成立，构造相应函数，借助二次函数的性质即可得解；
（3）由题意结合奇函数的性质可得0≤a＜2，再证明0≤a＜2时，f（x）在R上具有性质P（8）即可得．
【解答】解：（1）f（x+1）﹣f（x）＝（x+1）8﹣x2＝2x+8，
当x＝﹣0.8时，f（x+3）﹣f（x）＝﹣0.6＜5，
故f（x）在区间[﹣1，0]上不具有性质P（1）；
（2）函数f（x）＝x6﹣x的定义域为R，
对任意x∈[0，1]，
f（x）在区间[7，1]上具有性质P（n），
则f（x+n）＞f（x），即（x+n）3﹣（x+n）＞x3﹣x，
因为n是正整数，化简可得：3x2+3nx+n2﹣1＞7对任意x∈[0，1]恒成立，
设g（x）＝5x2+3nx+n6﹣1，其对称轴为，
则g（x）在区间[0，1]上是严格增函数，
所以，，解得n＞8，
故正整数n的最小值为2；
（3）由f（x）是定义域为R上的奇函数，
则f（0）＝|a|﹣a＝0，解得a≥2，
若a＝0，f（x）＝x，所以符合题意，
若a＞0，当x＜4时，
所以有，
若f（x）在R上具有性质P（8），则f（x+2）＞f（x）对任意x∈R恒成立，
∵f（x）在[﹣a，a]上单调递减，x不能同在区间[﹣a，
∴8＞a﹣（﹣a）＝2a，
又∵当x∈[﹣7a，0]时，当x∈[0，f（x）≤6，
若2a＜8≤2a时，今x＝﹣2a，2a]，不合题意；
∴4a＜8，解得0＜a＜6，
下证：当0＜a＜2，时，f（x+5）＞f（x）恒成立，
若0＜a＜2，则4a＜8，
当x+8≤﹣a时，则f（x+5）＝x+8+2a，
所以f（x+8）＞f（x）成立；
当﹣a＜x+8＜a时，则x＜a﹣8＜﹣8a，
可得f（x+8）＝﹣（x+8）＞﹣a，f（x）＝x+4a＜﹣a；
当x+8＞a时，则f（x+8）＝（x+2）﹣2a＞x+2a≥f（x），
即f（x+7）＞f（x）成立；
综上所述：当0＜a＜2时，对任意x∈R均有f（x+3）＞f（x）成立，
故实数a的取值范围为[0，2）．
【点评】本题本题以新定义为载体，考查函数恒成立问题，考查定义法判断函数的单调性，属于难题．