浙江省八校2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试卷

这是一份浙江省八校2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合P=0,1，则集合M=AA⊆P可用列举法表示为( )
A. 0,1B. ⌀,0,1
C. ⌀,0,1D. ⌀,0,1,0,1
2.学校开运动会，设A={x|x是参加100m跑的同学}，B={x|x是参加200m跑的同学}，C={x|x是参加400m跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，这项规定用集合的运算可以表示为( )
A. A∩B∪C=⌀B. A∪B∩C=⌀
C. A∩B∩C=⌀D. A∪B∪C=⌀
3.若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式中一定成立的是( )
A. a-3c>b-3cB. ac>bc(c≠0)C. |a|>|b|D. 1a>1b
4.若实数a,b满足a>0>b，则( )
A. a-b0C. a2>b2D. 1a>1b
5.函数r=f(p)的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是( )
A. [-5,0]，[2,6)和[-5,0]∪[2,6]B. [-5,0]∪[2,6)和[-5,0]，[2,6]
C. [-5,0]，[2,6)和(-5,0)∪(2,6)D. [-5,0]∪[2,6)和(-5,0)，(2,6)
6.已知幂函数fx=a2-a-1xa在区间0,+∞上单调递增，则函数gx=bx+a-1(b>1)的图像过定点( )
A. -2,0B. -2,-1C. 1,0D. 1,-1
7.若“-10且a≠1)过定点(k,b)，若m+n=b-k且m>0，n>0，则9m+1n的最小值为 ．
14.已知函数f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，当x1，x2为两个不相等的正实数时，x1f(x2)-x2f(x1)x1-x21的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的顶点A5,1，边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0，边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2- a+b⋅x+ab(a,b∈R+)．
(1)若不等式f(x)a，记▵ABC外心和垂心分别为O,H，连接OH的直线与线段AB,BC都相交，求证：线段OH的长度为c-a．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的包含关系和表示方法，属于基础题．
写出P集合的子集，用列举法表示即可．
【解答】
解：由集合P={0,1}，得P的子集为⌀,{0},{1},{0,1}，
则M={A|A⊆P}=⌀,{0},{1},{0,1}
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查交集定义等基础知识，考查集合交集的实际应用，是基础题．
根据交集的定义直接求解．
【解答】
解：学校开运动会，设A={x|x是参加100米跑的同学}，B={x|x是参加200米跑的同学}，C={x|x是参加400米跑的同学}，
学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，
∴没有同学参加三项比赛，即(A∩B)∩C=⌀．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的性质，比较大小，属于较易题．
利用不等式的性质和特殊值法即可求解．
【解答】解：A、因为a，b，c∈R，a>b，则a-3c>b-3c，故正确；
B、因为a，b，c∈R，a>b，若c1b 不成立，故错误，
故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】对于ABC，令a=1,b=-1，举反例即可；对于D，直接由不等式的传递性即可得证．
【详解】对于ABC，令a=1,b=-1，显然满足a>0>b，同时a-b>0，a+b=0，a2=b2，故 ABC错误；
对于D，若a>0>b，则1a>0>1b，故 D正确．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，由函数的图象，函数r=f(p)的定义域为[-5,0]∪[2,6)，
在区间[-5,0]∪[2,6)上，函数图象上升，则f(x)的单调区间是[-5,0]、[2,6)．
故选：D．
根据题意，由函数的图象分析函数的定义域和单调区间，即可得答案．
本题考查函数单调性的判断，涉及函数的图象，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据幂函数定义及单调性得到方程，求出a=2，从而gx=bx+2-1(b>1)，结合指数函数性质得到定点坐标．
【详解】由题意得a2-a-1=1且a>0，解得a=2，
gx=bx+2-1(b>1)，令x+2=0得x=-2，此时g-2=0，
故gx=bx+a-1(b>1)的图像过定点-2,0．
故选：A
7.【答案】A
【解析】【分析】首先求解不等式，再根据充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解．
【详解】x-a1+a-x0，
解得：x>a+1或x0”的否定为：∃x∈R，x2≤0，显然02=0，所以命题∃x∈R，x2≤0为真命题，故D正确．
故选：ABD．
利用特殊值判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，写出命题的否定，即可判断D．
本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A，∵a>0，b>0，∴ba+ab≥2 ba⋅ab=2，
当且仅当ba=ab，即a=b时等号成立，故A正确；
对于B，∵b+1a+b+1-ba+b=(b+1)(a+b)-b(a+b+1)(a+b+1)(a+b)=a(a+b+1)(a+b)>0，
∴b+1a+b+1>ba+b，故B正确；
对于C，∵a>0，b>0，∴a+b≥2 ab，
则2aba+b≤2ab2 ab= ab，
当且仅当a=b时，等号成立，故C错误；
对于D，( a+ a+3)2-( a+1+ a+2)2=2( a(a+3)- (a+1)(a+2))，
∵a(a+3)-(a+1)(a+2)=-20，
任给方程 ①的两组不同解(s1,t1)，(s2,t2)，则t1=f(s1)，t2=f(s2)，
即(s1-s2)(t1-t2)>0，
即s1t1-s1t2-s2t1+s2t2>0，
即t1s1+t2s2>t1s2+t2s1，故C正确；
D，存在方程 ①的两组不同解(s1,t1)，(s2,t2)，其中s1，s2∈B，
则t1=f(s1)=-s12+12，t2=f(s2)=-s22+12，
f(s1+s22)-t1+t22=-(s1+s22)2+12--s12+12-s22+122
=-s12+s22+2s1s2+48+s12+s22+24，
=s12+s22-2s1s28=(s1-s2)28，
∵(s1,t1)，(s2,t2)为两组不同的解，∴s1≠s2，
∴f(s1+s22)-t1+t22=(s1-s2)28>0恒成立，
即不存在方程 ①的两组不同解(s1,t1)，(s2,t2)，其中s1，s2∈B，使得f(s1+s22)=t1+t22，
即不存在方程 ①的两组不同解(s1,t1)，(s2,t2)，其中s1，s2∈B，使得(s1+s22,t1+t22)也是方程 ①的解，故D错误．
12.【答案】83
【解析】【分析】
本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
结合指数幂的运算法则，即可求解．
【解答】
解：10m=2，10n=3，
则103m-n=10m310n=83．
故答案为83．
13.【答案】16
【解析】【分析】
本题主要考查了指数函数的性质，基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
结合指数函数的性质可得k=1，b=2，进而可得m+n=1，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】
解：因为y=a x-1+1(a>0且a≠1)过定点(k,b)，
则k=1，b=2，
若m+n=b-k=1且m>0，n>0，
则 9m+1n=( 9m+1n)(m+n)=10+ 9nm+mn ≥10+2 9nm⋅mn=16，
当且仅当 9nm=mn且m+n=1，即n= 14，m= 34时取等号．
14.【答案】(-∞,-23)∪(2,+∞)
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性，属于中档题．
不妨设0