人教版（2024）七年级下册（2024）7.3 定义、命题、定理教学设计

这是一份人教版（2024）七年级下册（2024）7.3 定义、命题、定理教学设计，共7页。教案主要包含了情境导入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。

解题大招 命题的相关概念的考查
1.对命题的判断：结合命题、真命题、假命题的定义判断.
例1 下列句子是命题的是（ D ）
A．画∠AOB=45° B．小于直角的角是锐角吗？
C．连接CD D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例2 下列命题中，真命题的个数是（ A ）
①相等的角是对顶角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果x2=y2，那么x=y.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①相等的角不一定是对顶角，假命题；②同位角不一定相等，假命题；③等角的余角相等，真命题；④如果x2=y2，那么x=±y，假命题.故选A.
2.对命题进行改写：找到命题的题设与结论，然后把命题改写成“如果……那么……”的形式.
例3 把命题“直角三角形的两个锐角互余”写成“如果……那么……”的形式为 如果两个锐角是一个直角三角形的两个内角，那么这两个角互余 .
培优点 命题与证明的开放性问题
例1 如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E.请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA中任选两个作为题设，余下一个作为结论，构造一个真命题，并予以证明.
题设： ①② ，结论： ③ .（均填写序号）
证明：∵DG∥AC，∴∠DEA=∠EAC.
∵AF平分∠BAC，∴∠DAE=∠EAC.∴∠DAE=∠DEA.（答案不唯一）
例2 已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b.请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，再选一个事项作为结论（写成“如果……那么……”的形式）.
（1）写出一个真命题，并证明它的正确性；
（2）写出一个假命题，并举出反例.
解：（1）如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
证明：如图，∵a⊥c，b⊥c，∴∠1=90°，∠2=90°.
∴∠1=∠2.∴a∥b.
（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b.
反例：如图，a⊥c，b⊥c，但a∥b，a与b不垂直.
数学视野
罗氏几何的产生
《原本》（也叫作《几何原本》）是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右.欧几里得在这本书中用公理法对当时的数学知识进行了系统化、理论化的总结，使得《原本》成为用公理法建立演绎的数学体系的最早典范.
《原本》共有13卷，其中：第1卷共有23个定义、5个公设、5个公理和48个命题.长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见.有些数学家还注意到23个定义中的最后一个是平行线的定义，而第五公设直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用.为此，数学家们针对“平行线理论”经历了长达两千多年的讨论.
直到1826年，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在喀山大学发表了《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，勇敢地抛弃了第五公设，提出了完全相反的公设：过一点至少可以有两条直线与已知直线平行.后来人们把这个公设叫作“罗氏公理”.由罗氏公理很容易推出以下结论：过一条直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行.由于尚未找到罗氏几何在现实世界的原型和类比物，罗巴切夫斯基的理论遭到了大部分数学家的反对.直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米找到了一种曲面（人们称之为“伪球面”），罗巴切夫斯基的理论才开始逐渐被人们所接受.在“伪球面”上，三角形三个内角的和小于180°.教学目标
课题
7.3 定义、命题、定理
授课人
素养目标
1.了解定义、命题的概念及命题的构成.
2.知道什么是真命题和假命题，并会判断命题的真假.
3.理解什么是定理和证明，了解证明的意义.
4.了解综合法证明的格式和步骤，通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力.
5.通过举反例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.
教学重点
证明的步骤和格式.
教学难点
理解定义、命题，分清命题的题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，新课导入
【情境导入】
我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话是对事物进行描述的，如：
（1）鄱阳湖是中国最大的淡水湖.（判断）
（2）今天的天气很好.（描述）
（3）浪费是可耻的.（判断）
（4）春天到了，花儿开了.（描述）
在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：
（5）画线段AB=3cm.（描述）
（6）两条直线相交，只有一个交点.（判断）
今天我们将对这类或判断或描述的句子进行学习，感受数学中文字语言的魅力.
【教学建议】
教师可引导学生分析两种句子在构成上的区别，找出能够确认句子类型的关键字.
设计意图
通过对常见句子的分类，为进入本课的学习做铺垫.
活动二：问题引入，自主探究
探究点1 定义与命题
问题1 观察下列语句，回答问题.
①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
②使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
③从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
（1）它们有什么共同点？
它们都对某个数学对象进行了清晰、准确的描述.
【教学建议】
学生分组讨论，总结出命题的结构.教师在教学中可对命题解释如下：①必须是一个完整的句子，而且是陈述句，疑问句和祈使句都
设计意图
通过实例让学生了解定义、命题以及命题的构成，通过
教学步骤
师生活动
分析语句找出命题的题设和结论，并判断命题是否正确.
概念引入：
这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.
（2）你能根据某个数学对象的定义来作出某种判断吗？请举例说明.
根据方程的解的定义，可以判断x=1.5是方程2x=3的解（答案不唯一）.
问题2 观察下列可以判断正确与否的陈述语句，回答问题.
①等式两边加同一个数，结果仍相等；
②对顶角相等；
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
⑤如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
（1）哪些判断是正确的？哪些是错的？
①②③④都是正确的，⑤是错误的.
概念引入：
像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题.
（2）比较①③④⑤，它们在结构和内容上有什么共同点？
都是分为前后两个部分，前半部分是条件，后半部分是由条件得出的结论.
命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.数学中的命常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
（3）请指出①②③④⑤中的题设和结论，并把其中不是“如果……那么……”形式的改写成“如果……那么……”的形式.
序号
题设
结论
改写
①
等式两边加同一个数
结果仍相等
如果等式两边加同一个数，那么结果仍相等
②
两个角是对顶角
这两个角相等
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
③
两条直线都与第三条直线平行
这两条直线也互相平行
④
两条平行直线被第三条直线所截
同旁内角互补
如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补
⑤
一个数能被2整除
这个数也能被4整除
不是命题；②必须对某一件事作出肯定或否定的判断.
【教学建议】
教师提醒学生：有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，改写的时候需要将其条件补充完整.
【教学建议】
学生独立思考完成前几问，师生共同分析完成最后一问.对于真假命题的区别，教师可结合具体实例对照说明：真命题是无一例外，都是正确的；
教学步骤
师生活动
（4）我们在（1）中已经知道哪些判断是正确的，哪些是错误的，你是如何判断真假的呢？
按照题设条件，去观察结论是否成立，能成立则为真，否则为假.
归纳总结：由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的，即真命题；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的，即假命题.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
【对应训练】
1.教材P23练习第1，2，3题.
2.教材P24练习第2题.
而假命题就不能保证总是正确的，只要举出反例就可以判断一个命题是假命题.
设计意图
探究点2 定理与证明
在前面，我们学过的一些图形的性质，它们都是真命题.其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.
问题 根据定理的概念，同学们能说出我们学过的定理有哪些吗？
平行线的判定定理、性质定理等.（教师可适当补充）
概念引入：
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
例1 我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明.
（1）这个命题是真命题还是假命题？
解：真命题.
（2）请将这个命题所叙述的内容用图形表示出来. 解：如图.
（3）写出这个命题的题设和结论，并用几何语言表述.
解：题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条.
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.
几何语言：如图，在同一平面内，如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c.
（4）下面已经给出了该命题的已知和求证，请利用已经学过的定义、定理、基本事实证明这个结论.
已知：如图，直线a⊥b，b∥c，求证a⊥c.
证明：∵a⊥b(已知)，∴∠1=90°(垂直的定义).
【教学建议】
教师结合所学知识，归纳出定理的概念，学生回顾学过的定理，加深对概念的理解.定理不仅揭示了客观事物的本质属性,还可以将它作为进一步判断其他命题真假的依据.
引入定理和证明的概念，并展示如何证明一个命题为真命题.
教学步骤
师生活动
∵b∥c(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).
∴∠2=90°(等量代换).
∴a⊥c(垂直的定义).
由此，我们归纳出几何证明的一般步骤：
①根据题意画出图形；
②根据命题的题设和结论，结合图形，写出已知、求证；
③通过分析，找出证明的方法，写出证明过程.
注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
【对应训练】
1.教材P24练习第1题.
2.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，CE平分∠ACD，AB∥CE，求证∠A=∠B.
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠ACE=∠DCE（角平分线的定义）.
∵AB∥CE（已知），
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），
∠B=∠DCE（两直线平行，同位角相等）.
∴∠A=∠B（等量代换）.
【教学建议】
在证明几何命题时，要注意以下几点：①明确命题的题设和结论；②依据与过程要对应，不能张冠李戴；③证明过程应符合逻辑顺序，禁止用未学过的定理进行证明.
活动三：重点突破,提升探究
例2 如图，现有以下三个条件：
①AB∥CD；②∠B=∠D；③∠E=∠F.
请以其中两个为题设，第三个为结论构造新的命题.
（1）请写出所有的命题；（写成“如果……那么……”的形式）
（2）请选择其中的一个真命题进行证明.
解：（1）命题1：如果AB∥CD，∠B=∠D,那么∠E=∠F；
命题2：如果AB∥CD,∠E=∠F，那么∠B=∠D;
命题3：如果∠B=∠D，∠E=∠F,那么AB∥CD.
（2）选择命题1.（答案不唯一）
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠DCF（两直线平行，同位角相等）.
∵∠B=∠D（已知），∴∠D=∠DCF（等量代换）.
∴DE∥BF（内错角相等，两直线平行）.
∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）.
【对应训练】
如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被直线MN所截.有以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM=∠CEN.请以其中两个作为题设，第三个作为结论，构造命题.
【教学建议】
学生分组讨论完成，教师统一答案.对于此类问题，开放性比较强，所以答案一般不唯一，可用列举法穷举出所有的命题，判断这些命题的真假，选择合适的真命题并按照要求严格证明.
设计意图
探索条件开放性问题的证明.
教学步骤
师生活动
（1）请按照“如果……那么……”的形式，写出所有的命题；
（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明.
解：（1）命题1：如果AB∥CD，AM∥EN，那么∠BAM=∠CEN.
命题2：如果AB∥CD，∠BAM=∠CEN，那么AM∥EN.
命题3：如果AM∥EN，∠BAM=∠CEN，那么AB∥CD.
（2）以命题1为例.（答案不唯一）
证明：∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.
∵AM∥EN（已知），∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）.
∵∠1+∠3+∠BAM=180°,∠2+∠4+∠CEN=180°(平角的定义)，
∴∠BAM=180°-∠1-∠3,∠CEN=180°-∠2-∠4（等式的性质），
∴∠BAM=∠CEN.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】相应课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是定义？什么是命题？请举例说明,并结合例子说明命题的构成.
2.什么是真命题？什么是假命题？
3.什么是定理？你学过哪些定理？谈谈你对证明的理解.
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P24习题7.3第1，2，3，4题.
2.相应课时训练.
板书设计
7.3定义、命题、定理
1.定义与命题.
2.命题的构成：如果……（题设）那么……（结论）.
3.真命题与假命题.
4.定理与证明.
教学反思
本节课通过命题、证明的学习，让学生感受到要说明一个命题成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例.同时让学生感受到数学的严谨，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，形成初步的演绎推理能力.