广东省深圳市深圳实验学校2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市深圳实验学校2024-2025学年九年级下学期开学考试 数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了 下列计算正确的是，95B， 《几何原本》卷2的几何代数法， 因式分解等内容，欢迎下载使用。
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一．选择题（每题3分，共计24分）
1. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂的乘方法、同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法以及合并同类项逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A选项计算正确，符合题意；
B．，故B选项计算错误，不合题意；
C．，故C选项计算错误，不合题意；
D．与不是同类项，所以不能合并，故D选项计算错误，不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算等知识点，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
4. 行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．下图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（）

A. 0.95B. 0.90C. 0.85D. 0.80
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，用到的知识点为：总体数目=部分数目相应频率，部分的具体数目=总体数目相应频率；
由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9；
【详解】这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B．
5. 小颖同学是校园艺术节的主持人，学完黄金分割后她想，主持节目时如果站在舞台长的黄金分割点的位置，会让台下的同学们看起来效果更好，于是她将舞台的长看作线段，量得米，若点是线段的黄金分割点，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查黄金分割定理，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比，由此进行求解即可．
【详解】解：线段，点是黄金分割点，，
．
故选．
6. 如图，在中，点，分别在，上．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
【详解】A、∵四边形为平行四边形，
∴，即．
又，
∴四边形为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）
该选项不符合题意．
B、无法证明四边形为平行四边形，该选项符合题意．
C、∵四边形为平行四边形，
∴，即．
又，
∴四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）
该选项不符合题意．
D、∵四边形为平行四边形，
∴，．
又，，，
∴．
∵，，
∴．
∴四边形为平行四边形．（两组对角分别相等的四边形为平行四边形）
该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，牢记平行四边形的判定方法是解题的关键．
7. 2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，以及双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，列出方程即可．
【详解】解：设购进单目显微镜y台，则购进双目显微镜台，由题意，得：
；
故选B．
8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理，熟练掌握基本性质是解题关键．
先求出半径，再利用勾股定理求出的长度，再根据，代入式子即可得到答案．
【详解】解：设，，可得圆的半径，
∴，
在直角三角形中，，
∵，
∴，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共计15分）
9. 因式分解：a3－a=______．
【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
10. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
11. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】利用中位线的性质计算即可．
【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
又BC=12，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键．
12. 如图是某款“不倒翁”的示意图，，分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是，，则的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：设圆心为，连接，，如图，

∵，分别与所在圆相切于点，．
∴，
∵，
∴，
∴优弧对应的圆心角为，
∴优弧的长是：，
故答案为：．
13. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。
【详解】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，
∴，
∴，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，，解得：，
∵，
∴符合题意；
综上分析可知，n的值为8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．
三．解答题（7+7+8+12+8+9+10=61分）
14. 在数学活动课上，老师出了一道一元二次方程的试题：“”让同学们解答，甲、乙两位同学的做法如图所示．
（1）小组在交流过程中发现有一位同学做错了，则做错的是_______同学（填“甲”或“乙”）；根据该同学使用的方法写出正确的解答过程；
（2）利用公式法解此方程．
【答案】（1）乙，过程见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据因式分解法对甲同学的解法进行判断；根据配方法对乙同学的解法进行判断．
（2）利用公式法的步骤求解即可．
【小问1详解】
解：乙同学的做法错误．
正确的过程为：
解：原方程可化为，
，
，
∴，
∴，．
【小问2详解】
，
整理得：，
则，，，
则，
则，
解得：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法，配方法和公式法．
15. 某地政府为了旅游宣传，决定从甲、乙两家民宿中推选一家为“最美民宿”进行线上推广．现从两家的顾客中各随机抽取20名，进行满意度调查打分（满分10分，只打整数分），并对分数整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
（ⅰ）甲民宿20名顾客的满意度分数为：10，5，8，7，10，8，9，8，10，7，9，7，9，7，6，8，9，6，5，9
（ⅱ）甲、乙两家民宿的满意度分数的平均数、众数、中位数、9分及9分以上人数所占百分比如下表所示：
（ⅲ）乙民宿20名顾客的满意度分数条形统计图如图：
​
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的a，b，c的值；
（2）五一假期期间，共有100人入住甲民宿，80人入住乙民宿，估计入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数共有多少人？
（3）根据以上信息，你会选择哪一家为“最美民宿”？请说明理由．（写出两条理由即可）
【答案】（1），，
（2）64人 （3）甲民宿，理由：甲民宿顾客满意度分数的平均数、中位数都比乙民宿顾客满意度分数的平均数、中位数要大，因此选择甲民宿
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
（1）根据中位数、众数的定义进行计算即可；
（2）分别求出样本中，入住甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数所占的百分比，估计总体中入住甲民宿、乙民宿的顾客打9分及9分以上的人数所占的百分比，由频率，进行计算即可；
（3）根据平均数、中位数的大小比较得出答案．
【小问1详解】
解：将样本中，甲民宿顾客满意度分数出现次数最多的是9分，共出现5次，因此甲民宿顾客满意度分数的众数是9分，即，
将样本中20名顾客对乙民宿满意度分数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是8分，即，
乙民宿顾客满意度分数在9分及9分以上人数所占百分比，即，
答：，，；
【小问2详解】
（人），
答：入住两家民宿的顾客能打9分及9分以上的人数大约有64人；
【小问3详解】
甲民宿，理由：甲民宿顾客满意度分数的平均数、中位数都比乙民宿顾客满意度分数的平均数、中位数要大，因此选择甲民宿．
16. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究．
已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，）
（1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离．
图1
（2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差．
图2
【答案】（1）此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为
（2）点距离桌面的高度差约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）延长交于点，根据题意可得：，从而可得，然后分别求出当时，当时，的长，从而进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：过点作，垂足为，
图1
．
，
在中，，
，
此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为；
【小问2详解】
延长交于点，
由题意得：，
，
当时，
，
在中，，
，
当时，
，
在中，，
图2
，
点距离桌面的高度差，
点距离桌面的高度差约为．
17. 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园：
第x天的单价、销售量与x的关系如表：
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．
B樱桃园：
第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：
（1）A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
（2）求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润＝单价×销售量﹣固定成本）
（3）①与x的函数关系式是_____；
②求第几天两樱桃园的利润之和为4000元；
③求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
【答案】（1）
（2）
（3）①②第6天或第10天两樱桃园的利润之和为4000元③第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元
【解析】
【分析】本题综合考查了一次函数的应用、二次函数的应用、不等式等相关的知识点，实际问题中运用函数关系正确表示利润是解答的关键．
（1）设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：，由题中表格可知：当时，；当时，；解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得到，于是得到A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式为；
（3）①由图象可知：二次函数的图象经过点、，解方程组得到；
②根据题意方程，列方程即可得到结论；
③根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
设第x天的单价m元与x满足的一次函数关系式为：，
由题中表格可知：当
时，；当时，；
∴，
解得，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
根据题意可得：，
化简整理得：，
∴A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式为；
【小问3详解】
①由图象可知：二次函数的图象经过点、，
∴，
解得，
∴，
故答案为：；
②根据题意得，
解得，，
答：第6天或第10天两樱桃园的利润之和为4000元；
③，
∵，
∴当时，有最大值4800，
∴第10天两处的樱桃园的利润之和最大，最大是4800元；
18. 如图，BC是的直径，A为上一点，连接AB、AC，于点D，E是直径CB延长线上一点，且AB平分．
（1）求证：AE是的切线；
（2）若，，求EA．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据角平分线定义和直角三角形两个锐角互余即可证明 从而可得结论；
（2）根据直径所对圆周角是直角可以证明∠C=∠BAD，所以tan∠C=tan∠BAD，再证明△ABE∽△CAE，可得，进而可得结果．
【详解】证明：（1）连接
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵AB平分∠EAD，
∴∠BAD=∠BAE，
∴∠ABD+∠BAE=90°，
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠OAB，
∴∠OAB+∠BAE=90°，
∴∠OAE=90°，
∴OA⊥AE，而OA是半径，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∵∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴tan∠C=tan∠BAD，
∵AD=2BD，
∴，
为的切线，为的直径，
而


∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△CAE，
∴
∵EC=4，
∴AE=2．
【点睛】本题考查的是切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等知识，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19. 阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
（2）如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）240 （2），理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键．
（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为；
（2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出；
（3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了．
【小问1详解】
解：∵六边形内角和为，且，，
∴等边半正六边形相邻两个内角的和为，
故答案为：240；
【小问2详解】
解：．
理由如下：连接，．
六边形是等边半正六边形．
，．
．
．
在与中，
，
．
；
【小问3详解】
解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）．
作法一：
作法二：．
20. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
【答案】（1）或或或
（2）①15，15；②，理由见解析
（3）cm或
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；
（2）根据折叠的性质，可证，即可求解；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：
，sin∠BME=
【小问2详解】
∵四边形ABCD正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
②
【小问3详解】
当点Q在点F的下方时，如图，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．甲同学
解：原方程可化为
即，
当时，解得，
当时，解得，
∴，．
乙同学
解：原方程可化为，
，
，
∴，
∴，．
民宿
平均分
众数
中位数
9分及9分以上人数
甲
7.85
a
8
乙
7.75
8
b
c
单价（元/盒）
销售量（盒）
第1天
50
20
第2天
48
30
第3天
46
40
第4天
44
50
…
…
…
第x天
______
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…