江西省九江市修水县2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

这是一份江西省九江市修水县2025届九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了范围，满分，用配方法解方程，变形正确的是等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．范围：上册1.1~2.4．
2．满分：120分，时间：120分钟．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．在菱形中，，菱形的周长为（ ）
A．8B．12C．16D．20
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等B．对边相等C．对角线互相垂直D．对角线相等
3．用配方法解方程，变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（ ）
A．4B．6C．8D．5
5．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．若菱形的一条对角线长为12，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为（ ）
A．20B．24C．28D．20或28
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．若关于的一元二次方程有一根为，则 ．
8．用求根公式解方程，求得 ．
9．如图，在正方形中，E是边上一点，且，则的度数是 ．

10．已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ．
11．如图，在菱形中，，，对角线与BD相交于点．将边AD沿方向平移到，连接DE．当点是的中点时，四边形的面积为 ．
12．如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为 ．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．解方程：
(1)（用配方法解）；
(2)（用因式分解法解）．
14．已知关于的方程．
(1)当为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
15．如图，在中，的平分线交于点，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，且，求四边形的面积．
16．如图，已知正方形，E为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)请在图1中完成：在边上找点F，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分；
(2)请在图2中完成：在边上找点G，使得．
17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根相等，请直接写出的值，并解这个方程．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．下面是张星同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：二次项系数化为1，得，（第一步）
配方，得，（第二步）
变形，得，（第三步）
开方，得，（第四步）
解得．（第五步）
(1)上面张星同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
19．如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F．
(1)求证：四边形的为矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
20．如图，已知菱形，E、F是对角线所在直线上的两点，且，连接．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求菱形的周长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．
22．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为，
然后设，则，原方程化为，解得，，
当时，无意义，舍去；
当时，，解得；
所以原方程的解为，；
利用以上学习到的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
六、解答题（本大題共12分）
23．【问题背景】正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质，已知正方形的边长是4，点是对角线上一点．
و
（1）如图1，求证：；
【数学思考】
（2）①如图2，，，垂足分别为、，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
②如图3，点是的中点，连接，，求的最小值为______；
【类比探究】
（3）如图4，已知菱形的边长为4，，对角线，相交于点，点是上的动点，点是上的动点，连接，，求的最小值．
1．C
解：∵菱形，，
∴菱形的周长为：；
故选C．
2．C
解：由菱形性质可知，其对角相等，四边相等，对边平行且相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；
由平行四边形的性质可知，其对角相等，对边平行且相等，对角线互相平分；
故选：C．
3．A
解：，
，
，
，
故选：A．
4．A
解：∵点G，H分别是的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点F是的中点，
∴．
故选：A
5．D
解：根据题意得且，
解得且．
故选：D．
6．C
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
或，
解得或，
分两种情况：
当时，
∵，
∴不能构成三角形；
当时，
∵，
∴能构成三角形，
综上所述：该菱形的边长为7，
∴菱形的周长为：，
故选：C．
7．
解：∵关于的一元二次方程有一根为，
∴，
∴，
故答案为：．
8．13
解：∵，
∴，
∴，，，
∴．
故答案为：13．
9．
解：正方形中，
∵
∴
∴
故答案为：
10．
解：由方程得，
，．
因为方程的两个根与方程的两个根相同，
则将代入得，
，
解方程得，
，，
所以．
故答案为：．
11．
解：∵四边形为菱形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∵将边沿方向平移到，连接，
∴,,
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
12．或或
解：①如图，当在上时，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；

②如图，当在上时，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在四边形中，
，
∴；

③如图当和重合时，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的度数是或或．
故答案为：或或．
13．(1)
(2)
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
14．(1)
(2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是
（1）解：由是一元一次方程，得
根据题意，得且．
解得．
所以当时，此方程是一元一次方程；
（2）根据题意，得．
解得．
此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是．
15．(1)见解析
(2)72
解：（1）证明： ，，
四边形是平行四边形．
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：，四边形是菱形，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积为∶．
16．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图所示，即为所作；
（2）解：如图，点即为所作，
17．(1)
(2)，
（1）解：∵关于的一元二次方程为有两个不相等的实数根，
，即，
；
（2）解：若该方程的两个实数根相等，
则，
当时原方程的两个实数根相等，
此时原方程为，
即，
解得：．
18．(1)转化思想，完全平方公式
(2)三，见解析
（1）解：体现的数学思想为转化思想，依据的数学公式是完全平方公式；
故答案为：转化思想，完全平方公式；
（2）解：第三步变形时出现错误；
解：二次项系数化为1，得，（第一步）
配方，得，（第二步）
变形，得，（第三步）
开方，得，（第四步）
解得．
19．(1)证明见解析
(2)
解：（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵菱形对角线交于点O，
∴，即．
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：．
20．(1)见解析
(2)
解：（1）证明：连接，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与垂直且互相平分，
∴四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴菱形是正方形；
（2）解：∵菱形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长．
21．(1)见解析
(2)菱形，见解析
(3)当时，四边形是正方形，理由见解析
解：（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，在中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
22．(1)，
(2)，
(3)，，，
（1）解：设，则原方程化为，
解得，，
当时，无意义，舍去；
当时，，解得；
所以原方程的解为，；
（2）设，则原方程化为，
解得，
当时，，，，；
所以原方程的解为，；
（3）.
设，则原方程化为，
解得，
当时，，，
解得：，；
当时，，
解得，；
所以原方程的解为，，0，
23．（1）见解析（2）①，证明见解析②（3）3
解：（1）证明：∵正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）①，证明如下：
连接，由（1）知：，

∵正方形，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴；
②连接，

∵，
∴，
∵正方形的边长为，为的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：；
（3）作点关于的对称点，连接，过点作，

则：，
∴，
∴当三点共线时，的值最小为的长，
又∵为上的动点，
∴当时，最小，即点与点重合，
∵菱形的边长为4，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．