2025年中考数学一轮复习 第22讲 锐角三角函数及其应用 课件+练习+讲义

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2大中考命题点+20大题型探究
探索并认识锐角三角函数(sin A, cs A，tan A)；知道30°,45°,60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
能用锐角三角函数解直角三角形.
能用相关知识解决一些简单的实际问题.
【考情分析】锐角三角函数值的考查多以选择题、填空题为主，解题的一般过程是构造直角三角形，确定相应的边长，利用定义求相应的三角函数值，试题难度中等，解题关键是正确添加辅助线，确定合适的直角三角形.
【命题预测 】锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等. 出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型. 预计2025年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
3）tan²A 表示tanA ×tanA ，可以写成（tanA）² ，不能写成tanA² (正弦、余弦相同).
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）
在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论
当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cs A随∠A的增大而减小.
利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
三角函数是连接边与角的桥梁.
【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切.
已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.
在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
仰角和俯角是相对于水平线而言的:在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.
视角：视线与水平线的夹角叫做视角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，
如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.
特别的：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45° 西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.
【例1】 （2024宣化区一模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（　　）
A．sinα的值越大，梯子越陡B．csα的值越大，梯子越陡C．tanα的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠α的函数值无关
求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,如果已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解.
有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算.
A．越来越小B．不变 C．越来越大D．无法确定
1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（    ）
1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长.2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数.
方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线. 在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解.
解决这类问题时，要利用已知角度构造直角三角形，在直角三角形中求解