2024-2025学年安徽省合肥市六校联考高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市六校联考高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，以长方体ABCD−A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3,2)，则C1的坐标是( )
A. (0,3,2)B. (0,4,2)C. (4,0,2)D. (2,3,4)
2.已知直线l： 3x−y−10=0，则直线l的斜率为( )
A. − 3B. 33C. 3D. − 33
3.等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=2，4a1+a3=8，则S5=( )
A. 63B. 48C. 31D. 15
4.在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A. OM=OA−2OB−OCB. MA+3MB+5MC=0
C. OM=13OA+13OB+12OCD. OM+OA+OB+OC=0
5.圆C1：x2+y2−4=0与圆C2：x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦的弦长为( )
A. 2B. 3C. 2 2D. 2 3
6.已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则AF⋅CE=( )
A. 1
B. 2
C. −1
D. −2
7.数列{an}满足：a1+2a2+3a3+⋯+nan=n(n∈N∗)，若bn=a2n−1⋅a2n+1，则数列{bn}的前10项的和为( )
A. 511B. 1011C. 1021D. 2021
8.人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数y=x+1x的图象与性质”，函数y=x+1x的图象实际上是双曲线.则函数y=3x+1x的图象对应的双曲线的离心率为( )
A. 20−6 10B. 10−3C. 10−3D. 20−6 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列{an}的前n项和为Sn.若S4=0，a6=7，则( )
A. an=2n−5B. an=3n−10C. Sn=n2−4nD. Sn=12n2−2n
10.点O为坐标原点，过点P(2,0)的直线P与抛物线C：y2=4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则( )
A. 抛物线C的准线为x=−2B. y1y2=−8
C. OA⋅OB=−4D. △AOB面积的最小值为4
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥A1−PC1D的体积为定值
B. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π3,π2]
C. 平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是[12,1]
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线x210−y26=1的焦距为______．
13.过动点P作圆C：(x−4)2+(y−3)2=3的切线PQ，点Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是______．
14.如图，曲线y2=x(y≥0)上的点Pi(i∈N∗)与x轴上的点Qi(i∈N)(构成一系列正三角形：Q0P1Q1，Q1P2Q2，…，Qn−1PnQn(n∈N∗)).设正三角形Qn−1PnQn的边长为an，点Qn(bn,0).则数列{an}的通项公式为an= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
圆x2+y2=8内有一点M(−1,2)，AB为过点M且倾斜角为α的弦．
(1)当α=3π4时，求弦AB的长；
(2)当弦AB的长最小时，求直线AB的方程．
16.(本小题15分)
已知平面上两点F(−4,0)，F′(4,0)，动点P满足PF+PF′=10．
(1)求动点P的轨迹C的标准方程；
(2)当动点P满足∠FPF′=90°时，求P点的纵坐标．
17.(本小题15分)
已知三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2AB=2AC=2，∠BAC=90°，∠BAA1=120°．
(1)求证：AB⊥平面AB1C；
(2)若B1C=AA1，求平面AB1C1与平面BCB1所成二面角的余弦值．
18.(本小题17分)
在数列{an}中，已知a1=1，an+1=an+2n−1．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)记bn=an+(1−λ)n，且数列{bn}的前n项和为Sn，若S2为数列{Sn}中的最小项，求λ的取值范围．
19.(本小题17分)
已知抛物线方程y2=4x，F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF||FQ|．
(1)当P(−1,−83)时，求d(P)；
(2)证明：存在常数a，使得2d(P)=|PF|+a；
(3)P1，P2，P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|=|P2P3|，判断d(P1)+d(P3)与2d(P2)的关系．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.C
6.D
7.C
8.A
9.AC
10.BC
11.ACD
12.8
13.115
14.2n3
15.解：(1)圆x2+y2=8内有一点M(−1,2)，AB为过点M且倾斜角为α的弦，
当α=3π4时，直线AB的斜率k=tanα=−1，圆的半径r=2 2，
则直线AB的点斜式方程为y−2=−(x+1)，即x+y−1=0，
则圆心(0,0)到直线AB的距离d=|−1| 2= 22，
由垂径定理，得(|AB|2)2+d2=r2，
所以|AB|24=(2 2)2−( 22)2，
解得|AB|= 30；
(2)当弦AB最短时，M为AB的中点，MO⊥AB，
由题意kMO⋅kAB=−1，则kAB=12，
则直线AB的点斜式方程为y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．
16.解：(1)由F(−4,0)，F′(4,0)，动点P满足|PF|+|PF′|=10>|FF′|=8，
可得动点P的轨迹C是以F，F′为焦点的椭圆，且a=5，c=4，b=3，
即有轨迹C的标准方程为x225+y29=1；
(2)当动点P满足∠FPF′=90°时，可得P在以FF′为直径的圆上，
设P(m,n)，可得m2+n2=16，
又9m2+25n2=225，
解得m2=17516，n2=8116，
则P的纵坐标为±94．
17.解：(1)在三角形BB₁A中，∠BAA1=120°，得∠B₁BA=60°，
由AB₁2=22+12−2×1×2×cs60°=3，
所以BB₁2=AB2+AB₁2，B₁A⊥AB又∠BAC=90°，AB⊥AC，AC∩AB₁=A，
故AB⊥平面AB1C；
(2)根据题意，以A为原点，以AB，AC，AB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B₁(0,0, 3)，
AB1=(0,0, 3)，BB1=(−1,0, 3)，BC=(−1,1,0)
设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z)，
由，m⋅AB1= 3z=0m⋅B1C1=−x+y=0，得m=(1,1,0)，
设平面BCB1的法向量为n=(m,n,r)，
由n⋅BC=−m+n=0n⋅BB1=−m+ 3r=0，得n=(3,3, 3)，
由cs=6 2 21= 427，
故平面AB1C1与平面BCB1所成二面角的余弦值 427
18.解：(1)由a1=1，an+1=an+2n−1，
得a2−a1=21−1，
a3−a2=22−1，
a4−a3=23−1，
…
an−an−1=2n−1−1．
∴an−a1=(21+22+23+…+2n−1)−(n−1)，
∴an=1+2(1−2n−1)1−2−n+1=2n−n；
(2)bn=an+(1−λ)n=2n−n+(1−λ)n=2n−λn，
∴前n项和为Sn=2+4+8+…+2n−λ(1+2+3+…+n)
=2(1−2n)1−2−λ⋅n(n+1)2，
若S2为数列{Sn}中的最小项，则对∀n∈N∗有2n+1−2−λ⋅n(n+1)2≥6−3λ恒成立，
即2n+2−16≥(n2+n−6)λ对∀n∈N∗恒成立，
当n=1时，得λ≥2；
当n=2时，得λ≥0；
当n≥3时，n2+n−6=(n+3)(n−2)>0恒成立，
∴λ≤2n+2−16n2+n−6对∀n≥3恒成立．
令f(n)=2n+2−16n2+n−6，则f(n+1)−f(n)>0对∀n≥3恒成立，
∴f(n)=2n+2−16n2+n−6在n≥3时为单调递增数列．
∴λ≤f(3)，即λ≤83，
综上，2≤λ≤83．
19.解：(1)抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，P(−1,−83)，
kPF=832=43，直线PF的方程为y=43(x−1)，代入抛物线的方程，
y=43(x−1)y2=4x，解得xQ=14，
抛物线的准线方程为x=−1，可得|PF|= 22+649=103，
|QF|=14+1=54，d(P)=|PF||QF|=83；
(2)证明：当P(−1,0)时，a=2d(P)−|PF|=2×2−2=2，
设P(−1,yP)，根据对称性，取yP>0，直线PF的方程：x=my+1，则myP=−2，
联立x=my+1和y2=4x，可得y2−4my−4=0，
yQ=4m+ 16m2+162=2m+2 1+m2，
2d(P)−|PF|=2yPyQ− 1+m2yP
=2⋅−2m(2m+2 1+m2)+2 1+m2m
=−2⋅ 1+m2−mm+2 1+m2m=2，
则存在常数a=2，使得2d(P)=|PF|+a，
由对称性知，yP0，
则d(P1)+d(P3)>2d(P2).