2024-2025学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(x,3,1)，b=(−2,y,2)，若a//b，则x+y=( )
A. −5B. −3C. 3D. 5
2.已知直线l：2x−3y+6=0，则直线l的倾斜角的正切值为( )
A. −32B. −23C. 23D. 32
3.在( x−2)5的展开式中，x的系数为( )
A. −80B. −40C. 40D. 80
4.以A(2,3)，B(4,9)为直径的两个端点的圆的方程为( )
A. (x−1)2+(y−3)2= 10B. (x−3)2+(y−6)2= 10
C. (x−1)2+(y−3)2=10D. (x−3)2+(y−6)2=10
5.已知四面体O−ABC中，设OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为OD的中点，则AE用向量a，b，c可表示为( )
A. −a+14b+14cB. a−14b−14c
C. −a+12b+12cD. a−12b−12c
6.曲线x216+y27=1与曲线x216−k+y27−k=1(k1”是“坐标原点在圆x2+y2−ay+a−1=0的外部”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍(cℎú)甍(méng)”.若底面ABCD是边长为4的正方形，EF=2，且EF/​/AB，△ADE和△BCF是等腰三角形，∠AED=∠BFC=90°，则该刍甍的高(即点F到底面ABCD的距离)为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 2
10.已知集合A={(x,y)|y= x2+n,n≠0}，B={(x,y)|y=mx，m∈R}.若A∩B=⌀，则( )
A. m=±1B. m=1C. m∈(−1,1)D. m∈[−1,1]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知直线l1：2x+my−3=0与直线l2：x−y+1=0垂直，则实数m的值为______．
12.已知双曲线C：x26−y23=1，则其渐近线方程为______；过C的右焦点F作圆x2+y2=6的切线，切点为M，则|MF|= ______．
13.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为______．
14.已知抛物线C：x2=2y的焦点为F，准线为l.则焦点F到准线l的距离为______；若点M在抛物线C上，过点M作准线l的垂线，垂足为E，A(3,1)，则|MA|+|ME|的最小值为______．
15.已知曲线W：x2+y2=4−|xy|，关于曲线W的几何性质，给出下列四个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W围成的区域(不含边界)内恰好有8个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
③曲线W围成区域的面积大于8；
④曲线W上任意一点到原点的距离都不小于2 63．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,2)，B(3,−2)，C(1,4)．
(Ⅰ)设D为AC的中点，求直线BD的方程；
(Ⅱ)求△ABC的面积．
17.(本小题13分)
设(2x−1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求：
(Ⅰ)a6+a5+a4+a3+a2+a1；
(Ⅱ)a6+a4+a2+a0；
(Ⅲ)64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0．
18.(本小题14分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，A1D1与平面ACE交于点F．
(Ⅰ)求证：EF//AC；
(Ⅱ)求直线DE与平面ACE所成角的正弦值；
(Ⅲ)求点B1到平面ACE的距离．
19.(本小题15分)
已知圆C：(x−1)2+(y−3)2=5．
(Ⅰ)过点A(2,−1)的直线l与圆C交于M，N两点，当|MN|=4时，求直线l的方程；
(Ⅱ)判断直线mx−y+1−m=0与圆C的位置关系，并说明理由．
20.(本小题15分)
−如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，E为AA1的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①：AD⊥BE；
条件②：A1C= 6．
(Ⅰ)求证：AD⊥AB；
(Ⅱ)求平面BCE与平面ADD1A1夹角的余弦值；
(Ⅲ)已知点M在线段CC1上，直线EM与平面BCC1B1所成角的正弦值为2 23，求线段CM的长．
21.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，F是C的右焦点，D是C的下顶点，且|DF|= 2.过点D作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于A，B两点(不与点D重合)，过点D作直线AB的垂线，垂足为M．
(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率；
(Ⅱ)判断在y轴上是否存在定点Q，使得MQ的长度为定值？若存在，求出点Q的坐标和MQ的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.D
5.A
6.C
7.C
8.B
9.B
10.A
11.2
12.y=± 22x 3
13.60°
14.1 372
15.①④
16.解：(Ⅰ)根据题意，A(−1,2)，C(1,4)，则D的坐标为(0,3)，
又由B(3,−2)，则kBD=3−(−2)0−3=−53，
则直线BD的方程为y−3=−53(x−0)，变形可得5x+3y−9=0；
(2)根据题意，A(−1,2)，B(3,−2)，C(1,4)，
则|AB|= 16+16=4 2，|AC|= 4+4=2 2，|BC|= 4+36=2 10，
易得|AB|2+|AC|2=|BC|2，则∠A=90°，
故△ABC的面积S=12|AB|×|AC|=8．
17.解：(Ⅰ)对于(2x−1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
取x=1，可得(2−1)6=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=1，
再取x=0，可得(−1)6=a0，即a0=1，两式相减得a6+a5+a4+a3+a2+a1=0；
(Ⅱ)由(Ⅰ)得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=1，即(a6+a4+a2+a0)+(a5+a3+a1)=1…①，
取x=−1，可得(−3)6=a6−a5+a4−a3+a2−a1+a0=729，即(a6+a4+a2+a0)−(a5+a3+a1)=729…②．
由①②组成方程组，解得a6+a4+a2+a0=365；
(Ⅲ)对于(2x−1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
取x=2，得(2×2−1)6=a6⋅26+a5⋅25+a4⋅24+a3⋅23+a2⋅22+a1⋅21+a0=729，
整理得64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0=729．
18.解：(Ⅰ)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
平面ABCD//平面A1B1C1D1，
又平面ACE∩平面ABCD=AC，平面ACE∩平面A1B1C1D1=EF，
所以EF/​/AC；
(Ⅱ)在正方体中，建立如图所示空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，B1(2,2,2)，
则DE=(0,1,2)，AC=(−2,2,0)，AE=(−2,1,2)，B1E=(−2,−1,0)，
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅AC=−2x+2y=0n⋅AE=−2x+y+2z=0，令x=1，可得n=(1,1,12)，
设直线DE与平面ACE所成角为θ，
则有sinθ=|cs|=|n⋅DE||DE||n|=2 5× 94=4 515，
即直线DE与平面ACE所成角得正弦值为4 515；
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得，点B1到平面ACE的距离为|B1E⋅n||n|=3 94=2．
19.解：(Ⅰ)由圆C：(x−1)2+(y−3)2=5可得，圆心C(1,3)，半径r= 5，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2．
圆心C(1,3)到直线l的距离为d=1，
此时|MN|=2 r2−d2=4，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x−2)，即kx−y−2k−1=0．
圆心C(1,3)到直线l的距离为d=|k−3−2k−1| k2+1=|k+4| k2+1，
因为|MN|=2 r2−d2=2 5−d2=4，
所以d=1.所以|k+4| k2+1=1.所以k=−158，
所以直线l的方程为y+1=−158(x−2)，即15x+8y−22=0，
综上，所求直线的方程为x=2或15x+8y−22=0．
(Ⅱ)因为直线mx−y+1−m=0过定点D(1,1)，
又因为|CD|= (1−1)2+(3−1)2=2< 5，
所以点D(1,1)在圆C内．
所以直线mx−y+1−m=0与圆C相交．
20.(Ⅰ)证明：选择条件①：
因为侧面ABB1A1是正方形，所以AA1⊥AB，
又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，AA1⊂平面ABB1A1，
所以AA1⊥平面ABCD，
因为AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥AD，
又AD⊥BE，AA1∩BE=E，AA1、BE⊂平面ABB1A1，
所以AD⊥平面ABB1A1，
因为AB⊂平面ABB1A1，所以AD⊥AB．
选择条件②：
因为侧面ABB1A1是正方形，所以AA1⊥AB，
又平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，AA1⊂平面ABB1A1，
所以AA1⊥平面ABCD，
因为AC⊂平面ABCD，所以AA1⊥AC，所以AC= A1C2−AA12= 6−4= 2
又AD=CD=1，所以AD2+CD2=AC2，即AD⊥CD，
因为AB/​/CD，所以AD⊥AB．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，AD，AB，AA1两两垂直，
故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,2,0)，C(1,1,0)，E(0,0,1)，
所以BC=(1,−1,0)，BE=(0,−2,1)，
设平面BCE的法向量为n1=(x,y,z)，则n1⋅BC=x−y=0n1⋅BE=−2y+z=0，
取y=1，则x=1，z=2，所以n1=(1,1,2)，
易知平面ADD1A1的一个法向量为n2=(0,1,0)，
设平面BCE与平面ADD1A1夹角为θ，则csθ=|cs|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=1 6×1= 66，
故平面BCE与平面ADD1A1夹角的余弦值为 66．
(Ⅲ)解：设CM=t(t>0)，则M(1,1,t)，EM=(1,1,t−1)，
由(Ⅱ)知BC=(1,−1,0)，BB1=(0,0,2)，
设平面BCC1B1的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅BC=a−b=0m⋅BB1=2c=0，
取a=1，则b=1，c=0，所以m=(1,1,0)，
因为直线EM与平面BCC1B1所成角的正弦值为2 23，
所以|cs|=|EM⋅m||EM|⋅|m|=1+1 2+(t−1)2× 2=2 23，
整理得4t2−8t+3=0，即(2t−1)(2t−3)=0，
解得t=12或t=32，
故线段CM的长为12或32．
21.解：(Ⅰ)由题意得：2b=2a= 2c2=a2−b2，
解得b=1a= 2c=1，
所以椭圆C的方程为x22+y2=1，
离心率为e=ca= 22；
(Ⅱ)由题意可知，直线AD的斜率k存在且不为零，
又因为AD⊥BD，所以kBD=−1k．
因为D(0,−1)，
所以直线AD的方程为y=kx−1，直线BD的方程为y=−1kx−1，
由y=kx−1,x2+2y2=2
可得(2k2+1)x2−4kx=0，
设A(x1,y1)，则x1=4k2k2+1，y1=2k2−12k2+1，
所以A(4k2k2+1,2k2−12k2+1)，
同理可得：B(−4k2+k2,2−k22+k2)，
因为kAB=2k2−12k2+1−2−k22+k24k2k2+1−−4k2+k2=k2−13k，
所以直线AB的方程为y−2k2−12k2+1=k2−13k(x−4k2k2+1)，
即y=k2−13kx+13，
所以直线AB过定点N(0,13)，
当Q为DN中点时，
因为点M是过点D作直线AB的垂线的垂足，
所以当M与N重合时，|MQ|=12|DN|=23，
当M与N不重合时，根据直角三角形的性质，|MQ|=12|DN|=23，
所以当Q为DN的中点时，
即Q(0,−13)时，MQ的长度为定值23．