2024-2025学年四川省绵阳市某校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省绵阳市某校高二（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知事件A与B互斥，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则( )
A. P(AB)=0.2B. P(A∪B)=0.9C. P(A−)=0.5D. P(B−)=0.6
2.已知等轴双曲线过点(2,1)，则该双曲线方程为( )
A. x2−y2=1B. x2+y2=5C. x2−y2=3D. y2−x2=3
3.若点(1,1)在圆(x−a)2+y2=5的外部，则实数a的取值范围是( )
A. (−1,3)B. (−2,2)
C. (−∞,−1)∪(3,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)
4.已知直线l1：2x+y+n=0，l2：4x+my−4=0互相平行，且l1，l2之间的距离为35 5，则m+n=( )
A. −3或3B. −2或4C. −1或5D. −2或2
5.某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为17cm2；女生身高样本均值为160cm，方差为30cm2.下列说法中正确的个数是( )个
①男生样本量为30；②每个女生入样的概率均为25；③所有样本的均值为166cm；④所有样本的方差为22.2cm2
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.如图是民航部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( )
A. 变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳
B. 天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高
C. 北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降
D. 厦门的平均价格最低，且相比去年同期降幅最大
7.已知斜率存在的直线l与椭圆x216+y24=1交于A，B两点，且l与圆C：(x−1)2+y2=1切于点P.若P为线段AB的中点，则直线PC的斜率为( )
A. 2 2B. − 2C. 2 2或−2 2D. 2或− 2
8.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为5，点M在棱AB上，且AM=2，点P是正方体下底面ABCD内(含边界)的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是( )
A. 72B. 2 3C. 6D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则( )
A. 该组数据的极差为26
B. 该组数据的75%分位数为20
C. 该组数据的众数为18
D. 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小
10.下列说法正确的是( )
A. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则这组数据是近似对称的
B. A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O，若2OP=32OA+14OB+14OC，则P，A，B，C四点共面
C. 已知空间直角坐标系中的三点A(2,0,2)、B(0,0,1)、C(2,2,2)，则点A到直线BC的距离为2 53
D. 有2人从一座8层大楼的底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该2人在不同层离开电梯的概率是78
11.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则( )
A. 若A的纵坐标为2，则|AF|=3
B. 若直线AB过点F，则|AB|的最小值为4
C. 若OA⋅OB=−4，则直线AB恒过定点(2,0)
D. 若BB′垂直C的准线于点B′，且|BB′|=2|OF|，则四边形OFBB′的周长为3+ 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设a=(1,−2,3)，b=(−3,1,2)，ka+b与b垂直，则k等于______．
13.已知直线y=k(x+2)与曲线y= 1−x2有两个不同的公共点，则k的取值范围是______．
14.从双曲线x216−y225=1的左焦点F1引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点，设M为线段F1P的中点，O为原点坐标，则|MO|−|MT|=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某地区课改时实行高考新方案试点，规定：语文、数学和英语是必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.为了解某校学生选科情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表，用频率估计概率．
(1)已知该校高一年级有400人，估计该学校高一年级学生中选考历史的人数；
(2)现采用分层抽样(按比例抽取)的方式从样本中随机抽取三个年级中选择历史学科的5名学生组成兴趣小组，再从这人中随机抽取2名同学参加知识问答比赛，求这2名参赛同学来自不同年级的概率．
16.(本小题15分)
已知圆O：x2+y2=r2(r>0)上一点P(3,4)．
(1)求圆O在点P处的切线方程；
(2)过点P作直线l交圆O于另一点A，点B(0,5)满足S△ABP=15，求直线l的方程．
17.(本小题15分)
计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
18.(本小题17分)
如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，AB=BC=2AD=2，四边形EDCF为矩形，CF= 3，平面EDCF⊥平面ABCD．
(1)求证：DF//平面ABE；
(2)求平面ABE与平面EFB夹角的余弦值；
(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的余弦值为 134，若存在，求出线段BP的长度，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，C上的动点P到点F的距离与到其准线l的距离之和的最小值为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点A，B，D(a,2)是抛物线C上不同的三点．
(i)若直线AB过点F，且交准线l于点M，MA=λ1AF，MB=λ2BF，求λ1+λ2的值；
(ii)若直线DA，DB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1，求直线AB的斜率k的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.B
6.D
7.C
8.B
9.BCD
10.BC
11.BC
12.−14
13.[0, 33)
14.1
15.解：(1)由题意知，样本中高一学生共有100人，
其中选择历史学科的学生有20人，
∴估计高一年级选历史学科的学生有400×20100=80人．
(2)由表格数据可知应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，
编号依次为A1，A2，A3，A4，A5，
从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为：
{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,A5}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,A5}，{A3,A4}，{A3,A5}，{A4,A5}，共10种，
设A为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，
则 A−为事件“这2名参赛同学来自相同年级”，有{A2,A3}，{A4,A5}共2种，
∴这2名参赛同学来自不同年级的概率为：
P(A)=1−P(A−)=1−210=45．
16.解：(1)圆O：x2+y2=r2(r>0)上一点P(3,4)，点P(3,4)在圆x2+y2=r2上，可得r=5，
因直线OP的斜率为kOP=43，则圆O在点P处的切线斜率为−34，
故切线方程为y−4=−34(x−3)，即3x+4y−25=0；
(2)如图，由(1)知圆O：x2+y2=25，又点P(3,4)，B(0,5)，
当直线l的斜率存在时，设直线l：y−4=k(x−3)，即kx−y+4−3k=0，
代入x2+y2=25中，整理得：(k2+1)x2−(6k2−8k)x+9k2−24k−9=0，
设A(x0,y0)，由韦达定理，3x0=9k2−24k−9k2+1，即x0=3k2−8k−3k2+1，
代入kx−y+4−3k=0，可得y0=−4k2−6k+4k2+1，即A(3k2−8k−3k2+1,−4k2−6k+4k2+1)，
于是|PA|2=(3k2−8k−3k2+1−3)2+(−4k2−6k+4k2+1−4)2=(k2+1)(8k+6)2(k2+1)2，
则得|PA|=|8k+6| k2+1k2+1，
点B(0,5)到直线l：kx−y+4−3k=0的距离为：d=|3k+1| k2+1，
则S△ABP=12×|8k+6| k2+1k2+1×|3k+1| k2+1=15，解得k=43或k=3，
故直线l的方程为4x−3y=0或3x−y−5=0．
当直线l的斜率不存在时，直线l：x=3，易知此时，A(3,−4)，
点B(0,5)到l：x=3的距离为3，则S△ABP=12×8×3=12，不符合题意．
综上：直线l的方程为4x−3y=0或3x−y−5=0．
17.解：(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A，“乙获得‘合格证书’”为事件B，
“丙获得‘合格证书’”为事件C，
则P(A)=45×12=25,P(B)=34×23=12,P(C)=23×56=59
从而P(A)0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，又M(−1,−2m)，
则y1+y2=4my1y2=−4，所以MA=(x1+1,y1+2m),AF=(1−x1,−y1)，
由MA=λ1AF，得y1+2m=−λ1y1，整理得λ1=−1−2my1，同理得λ2=−1−2my2，
所以λ1+λ2=−2−2m(1y1+1y2)=−2−2m⋅y1+y2y1y2=−2−2m⋅4m−4=0．
(ii)设直线AB的方程为：x=uy+t，
联立x=uy+ty2=4x，消去x得y2−4uy−4t=0，则Δ=16u2+16t>0，
A(x3,y3)，B(x4,y4)，y3+y4=4u，y3y4=−4t，
而D(1,2)，所以k1=y3−2x3−1=y3−2y324−1=4y3+2,k2=4y4+2，
因为k1k2=1，所以4y3+2⋅4y4+2=16，即(y3+2)(y4+2)=16，
即y3y4+2(y3+y4)+4=16，则−4t+8u−12=0，解得t=2u−3，
由Δ>0，得u2+2u−3>0，解得u1，
则k=1u∈(−13,0)∪(0,1)，
所以直线AB的斜率k的取值范围是(−13,0)∪(0,1)．
选考情况
第1门
第2门
第3门
第4门
第5门
第6门
物理
化学
生物
历史
地理
政治
高一选科人数
80
70
35
20
35
60
高二选科人数
60
45
55
40
40
60
高三选科人数
50
40
60
40
40
70