专题04 三角形中的倒角模型之高分线模型、双(三)垂直--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)

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大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc3124" PAGEREF _Tc3124 \h 2
\l "_Tc8246" 模型1.高分线模型 PAGEREF _Tc8246 \h 2
\l "_Tc10208" 模型2.双垂直模型 PAGEREF _Tc10208 \h 4
\l "_Tc4163" 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） PAGEREF _Tc4163 \h 5
\l "_Tc14759" PAGEREF _Tc14759 \h 7
模型1.高分线模型
三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。
1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：．
2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．

图1 图2
1）证明：∵平分，∴，
∵，∴，
∴；
2）证明：如图，过作于，由（2）可知：，
，，，，，，
，．
例1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，AD，分别是的角平分线和高线，且，，则 ．
例2．（23-24八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在中，为的高，为平分线交于点E，．(1)求的度数；(2)与之间有何数量关系？
(3)若将题中的条件“”改为“”（如图②），其他条件不变，则与之间又有何数量关系？请说明理由．
例3．（23-24八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．
(1)如图①，于点，若，求的度数；
(2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数；(4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由．

模型2.双垂直模型
双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。
条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，
结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。
证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，
∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。
∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
例2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ．
例3．（2022秋·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
模型3.子母型双垂直模型（射影模型）
子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。
条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线，
结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，
∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
例2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，为边上的高．(1)求斜边的长；(2)求的长．
例3．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图①，在中，，是边上的高．
（1）求证：；（2）如图②，的角平分线交于点．求证：；
（3）在（2）的条件下，的平分线分别与，相交于点、点，如图③，若，，，求的长．
1．（2023·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在中，，，，垂足分别为点D、E，AD、CE交于点H，．下列结论：①；②；③；④．你认为正确的有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
4．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
5．（2023下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（ ）

①；②；③；④；
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2023下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论中不正确的是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023·山西吕梁·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，在腰上取一点D，，垂足为E，另一腰上的高交于点G，垂足为F，若，则的长为 ．
9．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ．
10．（23-24八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ．
11．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．

12．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：．

13．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，平分，为线段上的一个点，交直线于点．(1)若，，求的度数．(2)猜想与、的数量关系．
14．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠ACD=∠B；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判断△ADE的形状？并说明理由？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，点C，B，E在同一直线上，若AB⊥BD，AB=BD，则CE与AC，DE有什么等量关系，并证明．
15．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，于点D．
(1)如图1，若的平分线交于点E，，，则的度数为______．
(2)如图2，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F均在直线上，若，试说明．
16．（22-23八年级上·广西桂林·期中）如图，中，，，平分，于D，，交于F，求：(1)的度数；(2)当平分时，，若，，，请用含m，n，a的代数式表示的长．
17．（2024·河北邢台·八年级校考期中）在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，．(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，已知．①判断是否平分，并说明理由；②F为射线上一点（不与点D重合），过点F作，垂足为G．若，，直接用含，的式子表示出的度数．

18．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．

(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
19．（2023·福建莆田·八年级校考期中）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
(1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”；
(2)如图2，在中，为的平分线，，．求证：为的“等角分割线”；
(3)在中，若，是的“等角分割线”，请求出所有可能的的度数．
20．（2023下·河南新乡·七年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．
(1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点．
①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；
②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；

(2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；
(3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．