专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)

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拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc10156" PAGEREF _Tc10156 \h 2
\l "_Tc15793" 模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型） PAGEREF _Tc15793 \h 2
\l "_Tc2021" 模型2.铅笔头模型 PAGEREF _Tc2021 \h 3
\l "_Tc11890" 模型3.牛角模型 PAGEREF _Tc11890 \h 4
\l "_Tc28028" 模型4.羊角模型 PAGEREF _Tc28028 \h 4
\l "_Tc4542" 模型5.蛇形模型（“5”字模型） PAGEREF _Tc4542 \h 5
\l "_Tc21639" PAGEREF _Tc21639 \h 6
模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）
先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。
①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。
图1 图2 图3
条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
证明：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
例1．（2024·山西·二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024九年级下·辽宁·学业考试）如图，， ，则的度数为 ．
例3．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知， ， ，若，则为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
例5．（23-24七年级下·广东云浮·期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．
问题解决：（1），的平分线，所夹的的度数为______；
问题探究：（2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
拓展延伸：（3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数．

例6．（2024·上海·八年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
模型2.铅笔头模型（子弹模型）
因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。
①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.
图1 图2 图3
条件：如图1，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。
证明：在图2中，过P作AM的平行线PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，
∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
证明：在图2中，过P1作AM的平行线P1E，过点P2作AM的平行线P2F，
∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
证明：在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线和折射光线交主光轴于点P，若，，则 °．
例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ）

A．B．C． D．
例4．（2023上·广东广州·八年级校考开学考试）如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则 （度）；
（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则 （度）；
（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则 （度）；
（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是 （度）．

例5．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．

(1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：．
(2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______．
(3)如图3，，则______．
模型3.牛角模型
因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。

图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：.
证明：如图，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝，
∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴；
条件：如图2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，结论：.
证明：如图，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-，
∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴；
例1．（2024·山西·模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数：
(2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由：
(3)问题应用：如图3，，，，求的值．
例5．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．

(1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数．
模型4.羊角模型
因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。
图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝，
∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴；
条件：如图2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-，
∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴；
例1．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，已知，如果，，那么的度数为 ．

例2．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ．
例3．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例4．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则 °
例5．（2023七年级下·江苏·专题练习）已知．
(1)如图1，求证：；
(2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C．
①如图2，若，且，求的度数；②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数．
模型5.蛇形模型（“5”字模型）
因模型像一条弯曲的水蛇，故取名蛇形模型。

图1 图2
条件：如图1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠BCF＝∠B，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.
条件：如图2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，结论：.
证明：在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠B+∠BCF＝180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，
∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.
例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（ ）
A．50°B．40°C．30°D．20°
例2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则 ．
例3．（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）如图，已知点，，不在同一条直线上，．
(1)求证；(2)如图2，，分别为三等分、所在直线，，，试探究与的数量关系；(3)如图3，在（2）的前提下，且有，直线、交于点，，请直接写出_________．
例4．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，，．
(1)如果，求的度数；设，，直接写出、之间的数量关系： ；(2)如图，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数．
1．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（）
A．115°B．130°C．140°D．150°
2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线．若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广东深圳·模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，若，，，，那么的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．（24-25九年级上·湖北·课后作业）①如图①，，则；
②如图②，，则；③如图③，，则；
④如图④，直线，点在直线上，则．以上结论正确的是（ ）
A．①②③④B．③④C．①②④D．②③④
7．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是 °．
8．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ．
9．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，，为上方一点，、分别为、上的点，、的角平分线交于点，的角平分线与的延长线交于点，若，，则的度数等于 ．
10．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线、平行，则 ．
11．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， ABCD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
12．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，

(1)求证：：(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出 ．
13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：，点在上，点、在上，点在、之间，连接、、，，，垂足为点．
(1)如图1，求的度数；(2)如图2，平分，平分，、交于点，求的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，平分交于点，若，与所在直线交于点，若射线从射线的位置开始绕着点逆时针以每秒的速度进行旋转，射线交直线于点，旋转时间为秒，当为何值时，第一次与平行？并求此时的度数．
14．（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）（1）如图1，已知，，，则求的度数；（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数．
（3）如图2，已知，平分，平分，．当点P、M在直线AC同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点P、M在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
15．（23-24七年级下·河北邯郸·期中）已知，直线，点为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，请直接写出与的数量关系．
16．（23-24七年级下·湖北武汉·期中），点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且(1)如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出________；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值
17．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师和同学们共同探究平行线的作用．李老师给出如下问题：，点为下方一点，连接，得到，试探究与的数量关系．（1）小红的做法是：如图2，过点作．
（2）小明的做法是：如图3，设交于点，过点作．
请你选择一名同学的做法，写出证明过程．
【归纳总结】（2）李老师和同学们发现，在解决题目的过程中，都运用了作平行线的方法，平行线起到了构造等角的作用．为了帮助学生更好的体会平行线的作用，李老师提出了下面问题，请你解答．
如图4，直线，点在之间，点在下方，连．延长至和的角平分线相交于点．探究与的数量关系；
【学以致用】（3）如图5，和的角平分线相交于点．作平分交的延长线于点，若，求的度数．
18．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】如图1，，点P，Q位于两侧，连接，，，，直接写出①，，的数量关系为______；②，，的数量关系为______；
【尝试应用】如图2，在（1）的条件下，作，的角平分线交于点M，若与互补，试写出与的数量关系，并证明：（【问题背景】中相关结论可以直接使用）
【拓展创新】如图3，，点M，N位于左侧，作，的角平分线交于点P，；若，直接写出的度数是______．
19．（23-24七年级下·重庆·期中）已知点A，B，C不在同一条直线上，．
(1)如图①，求证：；(2)如图②，分别为，的角平分线所在的直线，，求的度数．(3)如图③，分别为，的角平分线所在的直线，延长交直线于点P，且，，直接写出的值为 ．
20．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）【问题原型】如图①和②，，点M在如图所在位置，请分别写出图①和②中、、之间的关系并选择一个结论进行证明；
【推广应用】（1）如图，，邻补角的平分线与的角平分线相交于点N，试探究、的数量关系并写出证明过程；
（2）如图，，和的三等分角线交于点M，，，，求的度数．