专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)

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TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc16751" PAGEREF _Tc16751 \h 2
\l "_Tc9746" 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） PAGEREF _Tc9746 \h 2
\l "_Tc31317" 模型2.等边截等长模型（定角模型） PAGEREF _Tc31317 \h 3
\l "_Tc11964" 模型3.等边内接等边 PAGEREF _Tc11964 \h 4
\l "_Tc5857" PAGEREF _Tc5857 \h 8
模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）
帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。
条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。
证明：如图，过点D作交于H，则，，
∵，∴，∴，∴，∵，∴，
在和中,，∴，∴；
∵，∴，∵，，∴，
∴，∴．
例1．（23-24八年级上·广东中山·期末）如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．
(1)求证: ；(2)求证: ；(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化?如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
例2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究
问题情境：在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M．
猜想判断：（1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______．
深入探究：（2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明．
拓展应用：（3）当点D在边上（点D不与、重合），点E在边的延长线上时，如图③．若，，，求的长．
例3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例4．（2024·河南·校考一模）问题背景：已知在中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．
（1）初步尝试：如图①，若是等边三角形，，且点D､E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作交AC于点G，先证，再证，从而求得的值为________；
（2）类比探究：如图②，若中，，且点D，E的运动速度之比是，求的值；
（3）延伸拓展：如图③，若在中，，记，且点D､E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程)．
模型2.等边截等长模型（定角模型）
条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。
证明：在等边三角形中，，，
在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE；
．
，，∴BQ=2PQ．
例1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
例2．（2024八年级·重庆·培优）如图，为等边三角形，且与相交于点，则（ ）．
A．等于B．等于C．等于D．大小不确定
例3．（23-24八年级·广东中山·期中）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．(1)求证：；(2)若，求的长．

例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在等边三角形的，边上各取一点，（均不与端点重合），且，，相交于点，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，，则 D．若，，则
模型3.等边内接等边

图1 图2
1）等边内接等边（截取型）
条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；
结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明：∵是等边三角形，∴，．
∵，∴．
在和中，∴（），
∴．同理，∴，∴是等边三角形．
2）等边内接等边（垂线型）
条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。
证明：是等边三角形，，
，，，，
，，是等边三角形，
例1．（2024七年级下·成都·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（ ）
A．12B．18C．20D．24
例2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是 ．
例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．

例4．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．

1．（23-24九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，是等边三角形，点D，E分别在，上，且，，与相交于点F，则下列结论：①，②，③．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
2．（2024广东九年级二模）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O．下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为，其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③
3．（2024·广西·一模）如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，在点D从点B运动到点C的过程中，图中阴影部分的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接，且，过点作于点交于点，过点作交的延长线于点，以下四个结论中：
；；当时，；．正确的有（ ）个．
A．B．C．D．
5．（2023·福建莆田·一模）如图，和都是等边三角形，将先向右平移得到，再绕顶点逆时针旋转使得点，分别在边和上．现给出以下两个结论：①仅已知的周长，就可求五边形的周长；②仅已知的面积，就可求五边形的面积．下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
6．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
①； ②；③；④若，则
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
7．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，ΔABC是等边三角形，点分别在边上，且与相交于点．若，则ΔABC的边长等于（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，过等边的顶点A，B，C依次作的垂线三条垂线围成，已知，则的周长是 ．
9．（23-24天津九年级上期中）如图，点分别在正三角形的三边上，且也是正三角形.若的边长为，的边长为，则的内切圆半径为 ．
10．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在等腰直角中，为的中点，为上一点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为 ．
11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，过边长为a的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为 ．

12．（2023浙江中考一模）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O．若BO=6，PO=2，则AP的长，AO的长分别为 ．

13．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在等边的，上各取一点D，E，使，，相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H．若，则的长为 ．

14．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，在三角形中，，，，与相交于点F，若，则E到的距离为 ．
15．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）【问题提出】
数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．
（1）线段，的数量关系为______，的度数为______．
【类比探究】老师继续提出问题，若改变的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？
同学们根据老师的提问画出图形，如图2，是等腰直角三角形，，点，分别在，边上，，交于点，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段，的数量关系．
（2）请先将条件补充完整：线段，的数量关系为______；再根据图2写出线段，的数量关系和的度数，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，是等腰直角三角形，，若点沿边上一动点，点是射线上一动点，直线，交于点，在（2）的条件下，当动点沿边从点移动到点（与点重合）时，请直接写出运动过程中长的最大值和最小值．
16．（2023·浙江杭州·二模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连结，交于点．(1)求证：；(2)连接，若时，①求的值；
②设的面积为，四边形的面积为，求的值．
17．（23-24九年级下·上海宝山·阶段练习）如图（1），已知是等边三角形，点D、E、F分别在边、、上，且．(1)试说明是等边三角形的理由．
(2)分别连接与相交于O点（如图（2）），求的大小．
(3)将绕F点顺时针方向旋转得到图（3），与平行吗？说明理由．
18．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）中，点D是边中点，过点D的直线交边于点M，交边的延长线于点N，且．(1)如图①，当时，求证：；
(2)如图②，当时，请直接写出线段的数量关系．
19．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，点D，E，F分别在边上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
20．（23-24山东八年级上期中）问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图（1），在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图（2），在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．
任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；
①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立（不要求证明）；
②如图（4），在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
21．（23-24九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：
【习题回顾】：如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q使，AQ，BP相交于点O，求的度数．请你解答该习题．
【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰的边上各取一点P，Q，使，平分，，，求的长．小明的思路：过点A作交延长线于点G，证明，…
（2）如图2，在的边上各取一点P、Q，使，平分，，，求的数量关系，请你解答小明提出的问题．
22．（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与点、不重合），点同时以点相同的速度，由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点．

(1)若设的长为，则______，______；
(2)当时，求的长；(3)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？请说明理由．
23．（2023·河南开封·一模）教材呈现：如下为华师版八年级上册数学教材第65页的部分类容．
做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗?此时，符合条件的角形有多少种？
(1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形__________全等．（填“一定”或“不一定”）
(2)【探究证明】已知：如图2，在和中，，，．
求证：．证明：在上取一点，使．请补全完整证明过程：
(3)【拓展应用】在中，，点在射线上，点在的延长线上，且，连接DE，DE与边所在的直线交于点．过点作交直线于点，若，，则_________．（直接写出答案）

24．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知，如图1，在等腰中，，点E是射线上的动点，点D是边上的动点，且，射线交射线于点F．
(1)求证：；(2)连接，如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长；
(3)如图2，当点E在边上时，连接，若，线段的长为 ．
25．（2024·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1，，A、D在上，B、C在上，，若，则的长为__________；
【问题探究】（2）如图2，已知是等边三角形，D、E分别为上的点，且，连接．求证：；
【问题解决】（3）如图3是某公园一块四边形空地，其中，米，米，，P、Q分别在上，且，是平行于的一条绿化带，E、F是线段上的两个动点（点E在点F的左侧），米，M在线段上运动（不含端点），且保持，管理人员计划沿铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计）