专题26 相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)

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塞瓦（G·Gev1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
使用梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc4051" PAGEREF _Tc4051 \h 1
\l "_Tc5675" 模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理 PAGEREF _Tc5675 \h 1
\l "_Tc12987" 模型2.塞瓦（定理）模型 PAGEREF _Tc12987 \h 7
\l "_Tc31360" PAGEREF _Tc31360 \h 12
模型1.梅涅劳斯（定理）模型及其逆定理
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。
注意：梅涅劳斯（定理）特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
1）梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么。其中：这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形。
图1 图2
证明：证明：如图2，过点A作，交的延长线于点，易证：，
∴，；．
2）梅涅劳斯定理的逆定理模型：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．
证明：先假设F、D、E三点不共线，直线DF与AC交于P，由梅涅劳斯定理的定理得。
∵，∴，∴ ，∴。
∴ CP=CE；即P与E重合，∴ D、E、F三点共线。
例1．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ．
例2.（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：．
例3.如图，在中，D为BC的中点，．求．
例4.（24-25 重庆九年级校考期中）如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 ．
例5.如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线．
例6．（24-25·广东·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，，
∴，．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：


（1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：．
请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长．（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积．
模型2.塞瓦（定理）模型
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，
如图3，则。
注意：塞瓦（定理）的特征是三线共点，我们用塞瓦（定理）解决的大部分问题，也可添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，
如图3，则。
塞瓦（定理）证明：法1：可利用梅涅劳斯定理证明：在△中，割线 ∴①
在△中，割线，∴②，由②÷①：即得：。
法2：∵；∴①；同理：②；③；
由①×②×③得：。
塞瓦定理的逆定理：如果有三点分别在△的三边上，且满足，那么三线交于一点。
塞瓦定理的逆定理证明：设、交于点，联结并延长交于；
根据塞瓦定理：。∴， ∴，
∴，∴与重合，即证。
注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条中线交于一点；三角形三条角平分线必交于一点；三角形三条高线交于一点等。
例1. 如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。
例2. 如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDH=∠FDH。

例3.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.
例4.已知：内角平分线、、与对边分别交于点、、。
求证：三角形三条内角平分线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）
例5．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．
1．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24上·上海闵行·九年级校考期中）如图，、、内分正的三边、、均为两部分，、、相交成的的面积是的面积的（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，中，是边上的点，且，是边上的点，且，分别交于，则等于（ ）

A．B．C．D．
4．（2024广东校考一模）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，交的延长线于点F．若，，则的长为 ．
5．（24-25·江苏·九年级期中）如图，的面积为，、分别是，上的点，且,
．连接,交于点,连接并延长交于点．则四边形的面积为 ．
6.（24-25·成都·九年级校考期中）如图，中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC=m：1，CE：EA=n：1，AD与BE交于F，求的值。
7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．
8.如图，在△中，分别在边上，且,设与交于点，求证：通过的中点.
9.已知：锐角三边上的高线、、与对边分别交于点、、。求证：三角形三条高线交于一点。（用塞瓦定理的逆定理证明）
10．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）请阅读下列材料，完成任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点D，可截得六条线段，则这六条线段满足，下面是该定理的一部分证明过程：证明：如图2，过点作，交延长线于点，则有（依据），…
(1)上述过程中的“依据”指的是 ；(2)请将该定理的证明过程补充完整．
11．（2023上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在中，，，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则________．
12．（2024·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
塞瓦（GivanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则．下面是该定理的部分证明过程：
如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．
∴△NAF∽△CBF．∴①． 同理可得△NOA∽△COD．∴②．
任务一：(1)请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；
任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G．小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出△ECG与△EAG面积的比．
13．（2024·江苏镇江·校考一模）如图1，在中，D是边上的一点，过点D的直线分别与、的延长线交于点M、N．
问题引入：若点D是的中点，，求的值；如图2，可以过点C作，交于点P；如图3，也可以过点A作，交延长线于点Q．
探索研究：（1）如图4，若点D为上任意一点，求证：．
拓展应用：（2）如图5，P是内任意一点，，则_______，____．
14．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】（1）如图1，在中，点D在上，．若，，，则 ， ；（2）已知，如图1，在中，且．求证：．
证明：过点E作的平行线交于点F．………………
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程；
【深入探究】（3）如图2，如果一条直线与的三边或其延长线交于D、F、E点，那是否为定值？若是；若不是，请说明理由；
（4）如图3，在中，D为的中点，，则 ．
15．（23-24九年级上·山西运城·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（）是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图1，直线交线段于点，交线段于点，交延长线于点，可截得六条线段、、、、、，则这六条线段满足．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图2，过点作，交延长线于点
则有（依据），…
(1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整．
(3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________；
(4)在图1中，若，，则的值为________．
16．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究：如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12．
（1）__________；__________；（2）_____；
如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段；
深入探究：（3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究；
根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论；
通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点．
方法应用：（4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值．