专题40 最值模型之代数法求最值模型--2025年中考数学二轮复习几何模型综合训练(通用版)

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本专题我们所讲的代数法求几何最值是对前面几何法求最值模型的一个补充，那首先我们弄明白什么是几何法？什么是代数法？若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法。若题目条件和结论能明显体现某种函数或代数关系，则可先建立目标函数或方程，再求函数或代数式的最值，这就是代数法。今天我们重点讲解代数法常见的三类方法：函数法（二次函数或一次函数）、判别式法或基本不等式法，希望对大家有所帮助！
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc6699" PAGEREF _Tc6699 \h 1
\l "_Tc30434" 模型1.函数法求几何最值模型 PAGEREF _Tc30434 \h 1
\l "_Tc5765" 模型2.基本不等式法求几何最值模型 PAGEREF _Tc5765 \h 7
\l "_Tc12869" 模型3.判别式法求几何最值模型 PAGEREF _Tc12869 \h 11
\l "_Tc22981" PAGEREF _Tc22981 \h 17
模型1.函数法求几何最值模型
在实际的解题中，如果求的是一条线段的最值或是几条线段和（或差）的最值，那么首选是尝试套用常见的基本的几何模型，若未能够直接套用几何模型，那么可以先分析题目中和动点有关的数量关系，特别是一些变化过程中的不变量，通过数量关系的转化，将其化归为常见的基本的几何模型（如将军饮马模型，胡不归模型，阿氏圆模型等），从而解决问题。若不能用几何模型求解，则可以寻找其中隐藏的函数关系，然后构建函数模型解决最值问题。
建立函数模型求最值一般需要以下几个步骤：（1）选择自变量，确定自变量的取值范围；（2）求得函数解析式；（3）在自变量取值范围内利用配方或函数图象的最高点（或最低点），二次函数需结合顶点公式，求得函数的最大值（或最小值），一次函数则考虑增减性和自变量的范围。
例1．（2024·陕西西安·校考一模）如图，在四边形中，，，，，则的最小值是 ．

例2．（2023·广东茂名·三模）如图，已知的弦，A为上一动点（点A与点C、D不重合），连接并延长交于点E，交于点B，P为上一点，当时，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．
例3．（2024·安徽合肥·一模）如图，P是线段上一动点，四边形和四边形是位于直线同侧的两个正方形，点C，D分别是的中点，若，则下列结论错误的是（ ）
A．为定值B．当时，的值为
C．周长的最小值为D．面积的最大值为2
例4．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，中，，，，点D是边上任意一点，以为边在的右侧作等边，则面积的最大值为 ．

例5．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AB上，且AD＝2，长度为1的线段PQ在边AC上运动，则线段DP的最小值为 ，四边形DPQB面积的最大值为 ．
模型2.基本不等式法求几何最值模型
有时候设取变量后，代数式并不太容易转化为二次函数，特别是含有分式与整式的混合代数式求最值显得特别麻烦，针对这种情况我们引入两个重要不等式：
1）（当a=b时，取等号）；2）（其中a、b为正数，当a=b时，取等号）；
1）（当a=b时，取等号）；2）（其中a、b为正数，当a=b时，取等号）；
证明：1）作差法：∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，，当且仅当“a＝b”时，等号成立．
2）作差法：
∵0，∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立．
例1．（2017·四川绵阳·中考真题）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ．
例2．（2024·浙江·模拟预测）如图，点是上的一个动点，是的直径，且，则面积的最大值是 ，周长的最大值是 ．
例3．（2023·四川成都·一模）如图，在矩形中，，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
例4．（2023·广东东莞·校考模拟预测）如图所示，是半圆的直径，是上一动点，，交半圆于点，是半圆的切线，是切点．点、点都是不动点．
(1)求证: ；(2)连接，则点在哪个位置时，线段与线段之和最大？
模型3.判别式法求几何最值模型
判别式法求几何最值的步骤：
首先主要引入两个变量：其中一个变量用x表示，另一个变量为所求量（一般为长度、比值的最值）用其他字母表示，常用y或其他字母表示即可；再根据题设条件建立关于x的一元二次方程；最后用Δ≥0来探求y的最大值与最小值。
注意：运用判别式法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0 所指的是在变量能取的范围内方程有解，这一点应切记。
例1．（2024·四川成都·二模）如图，在正方形，点，在射线上，，则最大值是 ．
例2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知四边形为矩形，，E，F，G分别是上的点，且，若，则面积的最小值为 ；

例3．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务：
1．（2024·江苏南京·一模）小丽在半径为的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，点P为内一点，，．若，且的长度不小于4，则长度的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
3．（2024·安徽·模拟预测）在中，，P是边上一点，，M，N是AB上两个动点，且，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．10
4．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，是等边三角形，，E是的中点，D是直线上一动点，线段绕点E逆时针旋转，得到线段，当点D运动时，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．
5．（2024·江苏盐城·三模）中，，，则的最小值等于（ ）

A．B．C．D．
6.（2023·浙江湖州·统考一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中，始终保持，当的结果最大时，长为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
8．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，当过，，三点的圆面积最小时，则 ．
9．（23-24九年级上·江苏·课后作业）二次函数f（x）的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC＝150°，则x≠0时，的最小值是 ．
10．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，点A坐标为，点C的坐标为且，点B是直线上的动点，且，连接．设与y轴正半轴的夹角是α，则的最大值是 ．
11．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）某学习小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求二次三项式的最值；他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
12．（2023·陕西西安·三模）问题提出:（1）如图①，的半径为8，弦，则点O到的距离是____．
问题探究（2）如图②，的半径为5，点A、B、C都在上，，求面积的最大值．
问题解决（3）如图③，是一圆形景观区示意图，的直径为，等腰直角三角形的边是的弦，直角顶点P在内，延长交于点C，延长交于点D，连接．现准备在和区域内种植草坪，在和区域内种植花卉．记和的面积和为，和的面积和为．①求种植草坪的区域面积．②求种植花卉的区域面积的最大值．
13．（2024·福建福州·一模）阅读材料，用配方法求最值．
已知,为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立.示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为5．
(1)若，求最小值；(2)如图，已知为双曲线上任意一点，过点作轴，轴且，，求四边形的面积的最小值，并求此时的坐标．
14．（2024·北京·模拟预测）有一些代数问题，我们也可以通过几何方法进行求解，例如下面的问题：
已知：，求证：．
经过思考，小明给出了几何方法的证明，如图：
①在直线上依次取；②以为直径作半圆，圆心为；
③过点作直线的垂线，与半圆交于点，连接．
请回答：（1）连接、，由作图的过程判断，，其依据是 ；
（2）根据作图过程，线段＝ ，＝ （用、的代数式表示）；
（3）由，可知，由此即证明了这个不等式．
15．（24-25八年级·北京西城·期中）阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用．出入相补原理是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和．基于以上原理，回答问题：
(1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把图形重新拼成图2中长为13，宽为5的长方形；(2)如图3，a，b，c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2＋b2________c2；
（a＋b）2________2ab；(3)观察图4，写出（ac＋bd）2与（a2＋b2）（c2＋d2）的大小关系：______．
16．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若点在四边形内部，且点到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“等距点”．例如：如图1，点在四边形内部，且，则称点为边的“等距点”．(1)如图1，四边形中，于点，求证：点是边的“等距点”．(2)如图2，点是矩形边的“等距点”，．
①当时，请求出的值；②设分别为，试求的最大值．

17．（24-25九年级·浙江杭州·期中）如图，已知ΔABC内接于圆，是直径，是弦上的一个动点（不含两点），连结并延长交圆于点，．
（1）用含的代数式表示；（2）在点的运动过程中，是否存在某个位置，能取到最大值．若存在最大值，求出此时和的值；若不存在，请说明理由．
18．（2024·辽宁抚顺·三模）利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．在数学活动课上，李老师和同学们一起操作探究下面问题：
(1)如图①，在正方形中，为边上一动点，点在边上，且．求证：．
为了解决这个问题，小明把绕点逆时针旋转，得到图②．易证，则得以证明．请您按照小明的思路完成证明过程；
(2)如图③，在等腰中，，点在边上，，，求的长；
(3)如图④，在矩形中，，，是上一动点，将线段绕点逆时针旋转，与交于点，连接，求面积的最小值．
关于最值问题的探究
素材1
“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：．这就是一个关于a的一元一次方程了．
素材2
对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令．然后移项可得：再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1
感受新知：用判别式法求的最小值；
任务2
探索新知：若实数x、y满足．求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为__________；
任务3
应用新知：如图，在平行四边形中，，．记，，当最大时，求此时b的值．
关于最值问题的探究
素材1
“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程
转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了
素材2
对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：，再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1
感受新知：用判别式法求的最小值．
任务2
探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，将代入原式得___将新得到的等式看作关于字母___ 的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为___．
任务3
应用新知：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时的值．