广西邕衡教育·名校联盟2024-2025学年高三下学期开学考试数学试卷（PDF版附解析）

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1．【答案】B【详解】由可得，，所以，所以所以，故选:B.
2．【答案】B【详解】由复数的几何意义可知，则．故选：B.
3．【答案】C【详解】如图，因为点为边的中点，点在上，且，
所以，又，
所以，故选：C．
【答案】 A 【详解】当时，，满足值域为，成立： 当时，应有， 综上，则函数值域为的一个充分不必要条件是A选项。
5.【答案】D【详解】若，则μ=，故D选项错误.
6.【答案】C【详解】选题来自人教版高中数学教科书必修一第255页第17题。
解：由得（舍去），或。
所以。则
，选C。
另解：对两边平方得，解得。结合题意0≤α≤π得0≤2α≤2π，所以0≤2α≤π，所以0≤α≤π2。结合sinα−csα=15>0得，sinα>csα,所以π4≤α≤π2，所以π2≤2α≤π。
所以。则
，选C。
7.【答案】D【详解】由PF1，PF2，F1F2成等差数列得：PF1+F1F2=2PF2，即PF1+2c=2(PF1+2a)，解得PF1=2c−4a，所以PF2=PF1+2a=2c−2a。由PF1⊥PF2得：PF12+PF22=F1F22，即(2c−4a)2+(2c−2a)2=(2c)2，解得c=a（舍去）或者c=5a，所以离心率e=ca=5.选D.
8.【答案】A【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，则，
则
，
则数列的前项和为：
.故答案为：.
9.【答案】ABD【详解】对于A，由于//，故//,所以直线//平面
故A正确；对于B，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以，
所以直线与所成的角即为直线与所成的角，又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为，故直线与所成的角是，故B正确；对于C，因为，所以与不垂直，直线与平面不垂直，故C错误；对于D,由于平面，平面，故直线与是异面直线
10．【答案】BCD【详解】因为，，所以，
所以，即，所以是周期为6的周期函数，所以A不正确；
因为，所以的图象关于直线对称，所以C正确；
在中，令，得，则，
因为，又的图象关于直线对称，所以，
所以，所以B正确；
由函数的对称性和周期性可得，
因为，即，
所以，
则，
结合函数是以6为周期的周期函数，可得，所以D正确．故选：BCD.
11.【答案】AD【详解】
对于A，因为，所以点到中每条直线的距离，可判断为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在， 半径大于1的圆与中所有直线相交, 故A正确；
对于B，因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切，所以中的直线所能围成的等边三角形面积不全相等，反例如图， 与 均为等边三角形而面积不等，故B错误；
选项C，由圆的方程得圆心为，半径，又因圆：与圆：有四条公切线，则，即，解得且，故C错误.
选项D，圆系的圆心坐标为，所以圆心在直线上，且圆系的半径不变，则圆系的公切线平行于圆心的轨迹，可设圆的切线方程为，即，圆心轨迹与切线之间的距离为圆的半径，所以，即，所以直线方程为，，其中到直线的距离，由A选项结论，可判断直线是直线系中的一条直线，故D正确，故选：AD
【答案】 .
【答案】【详解】①当且时，
由知，当 时为一次函数，
②当且时，由知，当 时，为上凹函数；所以
【答案】，0，2；/0.375
【详解】对数列的前4项列举如下： ， ．
15.【详解】
分
（2）
当为奇数，则；分
当为偶数，则 分
即 分
（可以统一化简，不化简也给满分）。
（3）发现分
故 当为偶数时，分
同理
故 当为奇数时分
所以分
16.【详解】【详解】（1）
分（每写一个给1分）
所以原式可化为分
由正弦定理得：分
由余弦定理得：分
分
（2）设中点为则且三点共线，同理可得点为△ABC三条中线的交点，点为△ABC 的重心，分（能说明结论就给1分）
为中点，,分
,平方得：分
①分
又由余弦定理得：即②分
由①②得：，分
分（面积公式1分，结果1分）
17.【详解】(1) ，是的中点，
---------------------------------------------------（1分）
∵平面，
,
---------------------------------------------------（2分）

---------------------------------------------------（3分）

---------------------------------------------------（4分）
∴平面平面---------------------------------------------------（5分）
（漏写一个判定条件反扣1分）
x
y
z
（2）（i）以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
-----------------------（6分）
---------------------------（7分）
设平面的法向量为
则解得---------------------------------（9分）
---------------------------------（10分）
（ii）
-------------------------（11分）（设出两个向量的关系或设出点N的坐标就给分）
设平面的法向量为
则解得-----------------------（13分）
-------------------------（14分）
化简得，解得，------------------------（15分）
18、【解析】(1) 设 Px0,y0 ,则 OP2=x02+y02=b2+1−b2a2x02 ,分
因为 x02∈0,a2 ,所以 OP2∈b2,a2 ,分
则 b2=3,a2=4 ,分
所以椭圆 E 的标准方程为 x24+y23=1 分
(2) 由 (1) 知 A−2,0 ,设 l1:y=k1x+2,l2:y=k2x+2 ,则点 S 的纵坐标为 yS= 2k1 ,点 T 的纵坐标为 yT=2k2 ,分
设点 Cx,y 是直线 l1 上异于点 A 的任意一点,点 C0x0,y0 是点 C 关于直线 y=x +2 的对称点.
由 y+y02=x+x02+2 得 y−x=x0−y0+4 ①
由 y−y0x−x0=−1 得 y+x=y0+x0 ②分
联立①②解得 x=y0−2y=x0+2 分
代入直线 l1:y=k1x+2 可得 x0+2=k1y0 分
又由点 C0x0,y0 在直线 l2:y=k2x+2 上,有 y0=k2x0+2 分
所以有 x0+2y0=k1k2y0x0+2 ,分
从而由 y0≠0,x0≠−2 可得 k1k2=1 ,分
则 OSOT=4k1k2=4 分
(3) 设 Mx1,y1,Nx2,y2 ,设直线 MN:x=my+tm≠0,t≠−2 ,由 x=my+t3x2+4y2=12 ,
消 y 得 3m2+4y2+6mty+3t2−12=0 ,
设 Mx1,y1,Nx2,y2 ,所以 Δ=6mt2−43m2+4⋅3t2−12>0 ,
y1+y2=−6mt3m2+4,y1y2=3t2−123m2+4,分
由(2)知 k1k2=1 ,即 y1x1+2⋅y2x2+2=1 ,
即 1−m2y1y2=mt+2y1+y2+t+22 ,
即 1−m23t2−12=mt+2−6mt+t+223m2+4 ,分
化简得 t2+16t+28=0 ,解得 t=−14 (或 t=−2 舍去),分
所以动直线 MN 恒过 x 轴上的定点 D−14,0 分
19.【解析】（1），所以切线的斜率为且
所以切线方程为y=x-1
对任意的正整数n恒成立等价于，即，由（1）知，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，由于n为正整数，所以，又，所以有，结合的图像可知，整数a的值只能为3
（3）记这样的九位数为，其中
所以总共有种这样的九位数，
则
又因为均为奇数，所以为奇数
所以只能取11，9，7，5，3，1，-1，-3，-5，-7.
若=11，则只有313131313一种
故
若=9，只需将上式中的中的一个3换成1，或者将中的一个1换成3即可，故有种
故
若=7，只需将上式中的中的两个3换成1，或者将中的两个1换成3，或者将中的一个3换成1，且将中的一个1换成3即可，故有种
故
依次类推可得，
若=5，
则，
若=3，
则，
若=1，
则，
若=-1，
则，
若=-3，
则，
若=-5，
则，
若=-7，
则，
所以X的分布列为
0
1
2
3
0
1
2
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
X
0
1
3
4
5
6
7
8
9
10
P