新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练5-6 空间向量的概念与运算 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc890" 5-6 空间向量的概念与运算 PAGEREF _Tc890 \h 1
\l "_Tc23939" 一、主干知识 PAGEREF _Tc23939 \h 1
\l "_Tc21712" 考点1：空间向量的有关概念 PAGEREF _Tc21712 \h 1
\l "_Tc12382" 考点2：空间向量的有关定理 PAGEREF _Tc12382 \h 2
\l "_Tc9284" 考点3：空间向量的数量积及运算律 PAGEREF _Tc9284 \h 2
\l "_Tc5143" 考点4：空间位置关系的向量表示 PAGEREF _Tc5143 \h 2
\l "_Tc1147" 【常用结论总结】 PAGEREF _Tc1147 \h 3
\l "_Tc19557" 二、分类题型 PAGEREF _Tc19557 \h 3
\l "_Tc24407" 题型一 空间向量的线性运算 PAGEREF _Tc24407 \h 4
\l "_Tc1179" 题型二 空间向量基本定理及其应用 PAGEREF _Tc1179 \h 4
\l "_Tc24559" 题型三 空间向量数量积及其应用 PAGEREF _Tc24559 \h 5
\l "_Tc31811" 题型四 向量法证明平行、垂直 PAGEREF _Tc31811 \h 6
\l "_Tc11594" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc11594 \h 7
一、主干知识
考点1：空间向量的有关概念
考点2：空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
考点3：空间向量的数量积及运算律
(1)数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)空间向量的坐标表示及其应用：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
考点4：空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．
(3)空间位置关系的向量表示
【常用结论总结】
1．在平面中，A，B，C三点共线的充要条件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
二、分类题型
题型一 空间向量的线性运算
（2023·全国·高三专题练习）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
（全国·高考真题）在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
（·山东·高考真题）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．B．C．D．
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）已知，，，若，，三向量共面，则（ ）
A．9B．3C．D．
（2021秋·吉林松原·高二校考期末）如图，在正方体中，，，，O为底面ABCD的中心，G为的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
（2019·浙江·模拟预测）向量,,若与共线,则 , .
题型二 空间向量基本定理及其应用
已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))．
(1)判断eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(—→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．判断向量eq \(MN,\s\up6(→))是否与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(—→))共面．
证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))(或eq \(PA,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→))或eq \(PB,\s\up6(→))∥eq \(AM,\s\up6(→)))．
(多选)下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
题型三 空间向量数量积及其应用
已知正四面体的棱长为1，且，则（ ）
A．B．C．D．
如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
如图，在平行六面体中，AB＝AD＝2，，，点E是AB中点，则异面直线与DE所成角余弦值是 ．
若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝ ．
已知空间向量，，，，，若，则λ的值为 ．
题型四 向量法证明平行、垂直
（2023·新疆和田·校考一模）已知，且∥，则（ ）
A．B．
C．D．
（2023春·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）.
A．1B．C．D．
（多选）（2023·河北·统考模拟预测）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
（2023·上海黄浦·统考一模）已知向量，，若，则mn的值为 .
（2023·上海·高三专题练习）已知空间向量，，，若，则 ．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•鼓楼区校级模拟）在三棱锥中，点为的重心，点，，分别为侧棱，，的中点，若，，，则
A．B．C．D．
2．（2023•滁州模拟）已知向量，，若，则
A．B．3C．D．6
3．（2023•海安市校级一模）设向量，5，，，1，，当数与满足下列哪种关系时，向量与轴垂直
A．B．C．D．
4．（2022•石嘴山校级一模）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则
A．B．C．D．
5．（2021•江苏一模）已知数组，1，，，2，，，则
A．1B．C．2D．
6．（2021•江苏模拟）若数组，1，和，，满足，则实数等于
A．B．C．D．
7．（2017•甘肃二模）已知，2，，，，，且，则的值是
A．6B．5C．4D．3
8．（2017•清城区校级一模）已知向量，3，，，，，且，则实数的值等于
A．B．C．0D．或
9．（2017•江苏模拟）已知向量，3，，，1，，则
A．，1，B．，5，C．，，D．，，
10．（2001•江西）若向量，，，则向量的坐标是
A．B．C．D．
11．（2019•上海）已知向量，0，，，1，，则与的夹角为 ．
12．（2022•安康三模）已知向量，，若，则 ．
13．（2021•浦东新区校级模拟）在三棱锥中，已知，，，则 ．
14．（2018•浦东新区校级三模）已知向量，，则 ．
15．（2019•浦东新区校级模拟）已知向量，则 ．名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb
(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，
a3＝λb3
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夹角余弦值
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝
eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0