新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练6-5 数列中的综合问题 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.
2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc10320" 6-5 数列中的综合问题 PAGEREF _Tc10320 \h 1
\l "_Tc30600" 一、分类题型 PAGEREF _Tc30600 \h 1
\l "_Tc19402" 题型一 数学文化与数列的实际应用 PAGEREF _Tc19402 \h 2
\l "_Tc24687" 题型二 等差数列、等比数列的综合运算 PAGEREF _Tc24687 \h 2
\l "_Tc10413" 题型三 数列与其他知识的交汇问题 PAGEREF _Tc10413 \h 3
\l "_Tc19999" 命题点1 数列与不等式的交汇 PAGEREF _Tc19999 \h 3
\l "_Tc28986" 命题点2 数列与函数的交汇 PAGEREF _Tc28986 \h 4
\l "_Tc25545" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc25545 \h 4
一、分类题型
题型一 数列的新定义问题
（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（ ）
A．7年B．8年C．9年D．10年
【解答】第一年年产量为，以后各年年产量为，，
当时也符合上式，∴．令，
得．设，对称轴为，
则当时，单调递增，又因为，，
则最大生产期限应拟定为8年，
，
故选：B．
（多选）（2022·高二课时练习）在数列中，若（，，为常数），则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等方差数列，则一定是等差数列
B．若是等方差数列，则可能是等差数列
C．是等方差数列
D．若是等方差数列，则也是等方差数列
【解答】对于A：令，则，所以，
即是等方差数列，但不是等差数列，故A错；
对于B：令，则，所以，
所以是等方差数列，也是等差数列，故B正确；
对于C：令，则，所以是等方差数列，故C正确；
对于D：若是等方差数列，则是常数，
因此是常数，
所以是等方差数列，故D正确．
故选：BCD
数列应用问题常见模型
(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值．
(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an＋1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项)之间的递推关系．
（2023·全国·高三专题练习）据报道，我国森林覆盖率逐年提高，某林场去年底森林木材储存量为立方米，若树林以每年25％的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问：每年砍伐的木材量的最大值是多少？（附：）
【解答】设从今年起的每年年底木材储存量组成的数列为，
所以，当时，，即，
又，
∴是以为首项，公比为的等比数列，
即，
根据题意，即，
设 ，则，
则 ，即，代入上式整理得．
故每年砍伐的木材量的最大值是．
（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则__________.
【解答】当时，，则，
则当时，
，
因此，而，
所以.
故答案为：98
题型二 等差数列、等比数列的综合运算
（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解答】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴
（2020·江苏苏州·统考三模）已知数列、中，，，且，，设数列、的前项和分别为和.
（1）若数列是等差数列，求和；
（2）若数列是公比为2的等比数列.
①求；
②是否存在实数，使对任意自然数都成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【解答】解：（1）依题意：时，，
又因数列是等差数列，
所以数列的公差是，
所以，所以.
当是奇数时，
当是偶数时，，
所以
（2）①
.
②∵，
，
∴
.
由，得，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以
解得.
即存在实数使对任意恒成立.
对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d>0证明不等式成立．另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法．
（2020春·北京顺义·高三牛栏山一中校考阶段练习）数列的前项和为，若存在正整数，且，使得，同时成立，则称数列为“数列”.
（1）若首项为，公差为的等差数列是“数列”，求的值；
（2）已知数列为等比数列，公比为.
①若数列为“数列”，，求的值；
②若数列为“数列”，，求证：为奇数，为偶数.
【解答】解：（1）若首项为，公差为的等差数列是“数列”，
由题意可得，，解得：；
（2）①若数列为“数列”，则，
又，
所以或；
②若数列为“数列”，则，
令，
若为偶数，则，不符合题意；
若为偶数，为奇数，不符题意；
若为奇数，，
则，
令，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增；
∴
即单调增，与题意不符；
综上为奇数，为偶数.
【点睛】本题主要考查数列新定义与导数的综合，熟记等差与等比的求和公式，以及导数的方法求函数最值即可，难度较大.
（2016·上海·高考真题）对于无穷数列{}与{}，记A={|=，}，B={|=，}，若同时满足条件：①{}，{}均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列．
（1）若=，=，判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；
（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式．
【解答】（1）因为，，所以，
从而与不是无穷互补数列．
（2）因为，所以．
数列的前项的和为
．
（3）设的公差为，，则．
由，得或．
若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；
若，则，，．
综上，，．
题型三 数列与不等式
命题点1 数列不等式恒成立问题
（2023·全国·高三专题练习）已知数列与的前n项和分别为，则______；若对于任意恒成立，则实数的取值范围是______.
【解答】设，，
则，
所以
，
所以.
又由，可得，
因为对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
设，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，所以，即实数的取值范围是.
故答案为：；.
（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【解答】（1）由，得，
当时，，解得，
当时，，
化简得，
∴数列是以为首项，为等差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，
∴数列的前项和.
∵，
∴单调递增，∴，
∵，
∴，
若使得对一切恒成立，则，解得，
∴实数的取值范围是.
（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，当时，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，数列的前项和为，若恒成立，求正整数的最大值.
【解答】（1）由题意知，当时，，所以，
整理得：，即，所以数列是以1为公差的等差数列.
（2）由，由（1）知是以2为首项、1为公差的等差数列，
所以，所以，
所以，①
所以，②
①-②得，
所以，所以.
因为，所以，
由于，当且仅当时等号成立，故正整数的最大值为8.
（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的恒成立，则整数的最小值是__________
【解答】由题意等差数列的公差 ，故，所以，
由于
，
单调递减，，
所以，从而,
故答案为：4
命题点2 数列不等式能成立（有解问题）
（2023·上海青浦·统考二模）已知数列满足，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【解答】当时，，
所以，
易得，当为奇数时，单调递减；当为偶数时，单调递增，
又当为正偶数时，存在，即，
所以，此时有，所以，
又对于任意的正奇数，，即，
所以或恒成立，所以或，
综上，实数的取值范围是，
故选：D．
（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则_______，不等式成立的的最小值为_______．
【解答】令，得，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以.
当为奇数时，，
即，因为，所以，即，
因为为奇数，所以的最小值为；
当为偶数时，，
因为，所以，，
因为为偶数，所以的最小值为.
综上所述，的最小值为.
故答案为： ，
（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，对任意正实数，总存在和相邻的两项，使得成立，则的取值范围为__________.
【解答】由，
得，
即，
即，
即，
所以，
即，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以.
由，得，
所以，即，
又因为，
所以使得包含于的取值范围.
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，
所以，即；
当时，的取值均大于，
所以，即.
故答案为：.
（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
【解答】（1）因为
所以，，，所以．
又因为，所以，所以．
因为，所以，
又因为，所以，所以，所以，
即，
所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
（2）由（1）可知，所以，
所以，
又因为，所以，
即，所以，
所以，
因为，
，
所以是一个增数列，
因为，，
所以满足题意的n的最小值是20．
（2023·浙江·二模）记为正数列的前项和，已知是等差数列.
(1)求；
(2)求最小的正整数，使得存在数列，.
【解答】（1）由题意是等差数列，设其公差为d，
则，
则，故.
（2）由（1）可知，一方面，
故，当且仅当时，取等号，
由于m为正整数，故，
另一方面，时，﹐满足条件，
综上所述，正整数m的最小值是3．
数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•浦东新区校级模拟）若从无穷数列中任取若干项（其中都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列“．给出以下两个命题：
（1）数列1，2，3，，，是某个数列的“衍生数列”；
（2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列．下列判断正确的是 ．
A．（1）（2）均为真命题B．（1）（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题D．（1）为假命题，（2）为真命题
【解答】解：对于（1）：由题意，数列为无穷数列中的连续项，为有限项数列，
而数列1，2，3，，，的项数为无穷个，故数列1，2，3，，，不是某个数列的“衍生数列”，为假命题；
对于（2）：当数列为，1，0，1，，0，时，满足各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，
但是数列从某一项起不是常数列，为假命题．
综上，（1）（2）均为假命题．
故选：．
2．（2023•海东市模拟）若数列满足，则
A．2B．C．D．
【解答】解：因为，
所以．又因为，
所以，
所以是周期为4的数列，故．
故选：．
3．（2023•平顶山模拟）数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以，则，
所以，则，
不等式整理得，
当时，左边，右边，显然不满足不等式；
当时，左边，右边，显然满足不等式；
且当时，左边，右边，则不等式恒成立；
故当不等式成立时的最小值为9．
故选：．
4．（2023•顺义区一模）若等差数列和等比数列满足，，，则的公差为
A．1B．C．D．2
【解答】解：设等比数列的公比为，，，
则，解得，
，
设等差数列的公差为，，
则，解得，
故选：．
5．（2023•思明区校级模拟）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，，按规则有，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为
A．4B．7C．16D．31
【解答】解：由题意得，，，
由解下第4个圆环可得，
又，
则，
故选：．
6．（2023•涪城区校级模拟）各项均不为零的数列满足：，，则
A．B．C．D．
【解答】解：①，
当时，②，
由①②得，
，
，即，
，
，
，
故选：．
7．（2023•北京）数列满足，下列说法正确的是
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
【解答】解：对原式进行变形，得，
当，则，，
设，则，所以是递减数列，
当，，错误，同理可证明错误，
当，则，即，又因为，所以，
假设，则，即，又因为，所以，
所以当，，正确，
对于，当，代入进去很明显不是递减数列，错误，
故选：．
8．（2023•上海）已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是
A．，，，，，为等差数到，，，，，，为等比数列
B．，，，，，为等比数列，，，，，，为等差数列
C．，，，，为等差数列，，，，，为等比数列
D．，，，，为等比数列，，，，，为等差数列
【解答】解：由对任意正整数，都有，可以知道，，，，不可能为等差数列，
因为若，当，，，必有使得，矛盾；若，，则，矛盾；
若，，当，，使得，矛盾；若，，当，，必有使得，矛盾；
若，当，，必有使得，矛盾；
所以选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
事实上，只需取即可．
故选：．
9．（2022•上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是
A．若，则数列是递增数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是递增数列，则
D．若数列是递增数列，则
【解答】解：如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，满足，但是数列不是递增数列，所以不正确；
如果数列，公比为，，数列是递增数列，但是，所以不正确；
数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以正确；
故选：．
10．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【解答】解：设，则，，，
由题意得：，，
且，
解得，
故选：．
11．（2022•浙江）已知数列满足，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
为递减数列，
又，且，
，
又，则，
，
，
，则，
；
由得，得，
累加可得，，
，
；
综上，．
故选：．
二．填空题（共3小题）
12．（2023•锦江区校级模拟）已知正项数列{an}满足，数列{bn}满足bn＝lnan，且对任意的n∈N*恒成立，则下列结论中正确的是 ①② ．
①bn＜0
②数列{bn}从第二项起是单调递减数列
③
④
【解答】解：∵{an}为正项数列，得an＞0，bn＝lnan，bn+1＝lnan+1，
又，则，
∴lnan+1﹣lnan＝an﹣2即，
由，得a1﹣2＜0，∴，即，
∴a2＜a1，即a2﹣2＜0，则，∴，…，
∴{an}为递减数列，{bn}也为递减数列，故②正确；
∵b1＝lna1，，则b1＜0，又{bn}为递减数列，∴bn＜0，故①正确；
由lnan+1＝an﹣lnan﹣2，得，
令，则，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴又，
若时，f（x）取得最大值且为；
若a1＝1时，f（x）取得最小值且，∴，而，
同理可得an+1的最大值一定小于，∴，故④错误；
由④可知，，故③错误．
故答案为：①②．
13．（2023•浦东新区校级模拟）已知，，且为正整数），则 1 ．
【解答】解：因为，，且，
所以，，
，，
，，，
所以是以6为周期的数列，
因为，
所以．
故答案为：1．
14．（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则 48 ，数列的所有项的和为 ．
【解答】解：数列的后7项成等比数列，，
，
，
公比．
，
又该数列的前3项成等差数列，
数列的所有项的和为．
故答案为：48；384．
三．解答题（共14小题）
15．（2023•上海）已知，在该函数图像上取一点，过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推，，，直至停止，由这些项构成数列．
（1）设属于数列，证明：；
（2）试比较与的大小关系；
（3）若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：，
则过点，的切线的斜率为，
由点斜式可得，此时切线方程为，即，
令，可得，
根据题意可知，，即得证；
（2）先证明不等式，
设，则，
易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则（1），即，
结合（1）可知，；
（3）假设存在这样的符合要求，
由（2）可知，数列为严格的递减数列，，2，3，，，
由（1）可知，公差，，
先考察函数，则，
易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则至多只有两个解，即至多存在两个，使得，
若，则，矛盾，则，
当时，设函数，
由于，，
则存在，使得，
于是取，，，它们构成等差数列．
综上，．
16．（2023•乙卷）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）在等差数列中，，．
，即，
得，，
则．
（2），
即时，，
当时，，
当时，数列的前项和，
当时，数列的前项和．
17．（2023•甲卷）已知数列中，，设为前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）当时，，解得，
当时，，
，，
当时，可得，
，
当或时，，适合上式，
的通项公式为；
（2）由（1）可得，
，，
，
．
18．（2023•天津）已知是等差数列，，．
（Ⅰ）求的通项公式和；
（Ⅱ）已知为等比数列，对于任意，若，则．
当时，求证：；
求的通项公式及其前项和．
【解答】解：（Ⅰ）是等差数列，，．
，得，，
则的通项公式，
中的首项为，项数为，
则．
（Ⅱ），，，
即，
当时，．
，且，
即，
综上，
即成立．
成立，
为等比数列，设公比为，
当时，，，
则，
即，
即，
当，，，
，
时，，
，
即，
即，
当，，，
则，
则，即的通项公式为，
则的其前项和．
19．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
20．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【解答】解：（1），，
根据题意可得，
，
，又，
解得，，
，；
（2）为等差数列，为等差数列，且，
根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；
或设，则，且，
①当，，时，
则，
，，又，
解得；
②当，，时，
则，
，，又，
此时无解，
综合可得．
21．（2023•全国）已知为等比数列，其前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和．
【解答】解：（1）为等比数列，其前项和为，，．
，，
则，两式作商得，即，
得，，
则，．
（2），
当时，，
即是公比为的等比数列，首项，
则．
22．（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值．
【解答】解：（1）证明：由已知有：①，
把换成，②，
②①可得：，
整理得：，
由等差数列定义有为等差数列；
（2）由已知有，设等差数列的首项为，由（1）有其公差为1，
故，解得，故，
所以，
故可得：，，，
故在或者时取最小值，，
故的最小值为．
23．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【解答】解：（1）已知，是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当时，，②，
①②得：，
故，
化简得：，，，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以．
24．（2022•上海）已知在数列中，，其前项和为．
（1）若是等比数列，，求；
（2）若是等差数列，，求其公差的取值范围．
【解答】解：（1）在等比数列中，，，则，
公比，则，
；
（2）若是等差数列，
则，
即，当时，；
当时，恒成立，，，．
综上所述，，．
25．（2022•天津）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前项和为，求证：；
（3）求．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
，，
解得，
，．
（2）证明：，
要证明，
即证明，
即证明，
即证明，
由数列的通项公式和前项和的关系得：，
．
（3）
，
，
设．
则，①
，②
①②，得：
，
，
．
26．（2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合，中元素的个数．
【解答】解：（1）证明：设等差数列的公差为，
由，得，则，
由，得，
即，
．
（2）由（1）知，，
由知，，
，即，
又，故，则，
故集合，中元素个数为9个．
27．（2022•北京）已知，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列．
（Ⅰ）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为4；
（Ⅲ）若，，，为连续可表数列，且，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）若，则对于任意的，2，3，4，，
，，，，，
所以是连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为6，
所以不是连续可表数列；
（Ⅱ）假设的值为3，则，， 最多能表示，，，，，，共6个数字，
与是连续可表数列矛盾，故；
现构造，2，1，5可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在满足题意．
故的最小值为4．
（Ⅲ）先证明．
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即．
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，
所以其中必有一项为负数．
既然5个正整数都不能连续可表的正整数，
所以至少要有6个正整数连续可表的正整数，
所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，
当时，数列1，2，4，5，8，，满足题意，
当时，数列1，2，4，5，8，，，，所以符合题意，
故．
28．（2022•全国）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【解答】解：（1）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，
又，，成等比数列，
则，
即，
又，
即，
则；
（2）由（1）可得：，
则，
则当为偶数时，，
当为奇数时，，
即．