新高考数学一轮复习高频考点与题型分类训练7-3 导数与函数的极值、最值 (精讲精练）（2份，原卷版+解析版）

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1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
TOC \ "1-4" \h \u \l "_Tc27765" 7-3 导数与函数的极值、最值 PAGEREF _Tc27765 \h 1
\l "_Tc27680" 一、主干知识 PAGEREF _Tc27680 \h 1
\l "_Tc7818" 考点1：极值的定义： PAGEREF _Tc7818 \h 2
\l "_Tc31675" 考点2：极值的性质： PAGEREF _Tc31675 \h 2
\l "_Tc11462" 考点3：判别f（x0）是极大、极小值的方法： PAGEREF _Tc11462 \h 2
\l "_Tc3581" 考点4：求函数f（x）的极值的步骤： PAGEREF _Tc3581 \h 2
\l "_Tc25284" 【常用结论总结】 PAGEREF _Tc25284 \h 2
\l "_Tc15066" 二、分类题型 PAGEREF _Tc15066 \h 3
\l "_Tc12359" 题型一 利用导数求函数的极值问题 PAGEREF _Tc12359 \h 4
\l "_Tc5160" 命题点1 根据函数图象判断极值 PAGEREF _Tc5160 \h 4
\l "_Tc9343" 命题点2 求已知函数的极值 PAGEREF _Tc9343 \h 4
\l "_Tc26172" 命题点3 已知极值(点)求参数 PAGEREF _Tc26172 \h 5
\l "_Tc5293" 题型二 利用导数求函数最值 PAGEREF _Tc5293 \h 5
\l "_Tc2702" 三、分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc2702 \h 6
一、主干知识
考点1：极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
考点2：极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
考点3：判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
考点4：求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【常用结论总结】
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
二、分类题型
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
如图为定义在R上的函数的图象，则关于它的导函数的说法错误的是（ ）
A．存在对称轴B．的单调递减区间为
C．在上单调递增D．存在极大值
【解答】由题可知，为二次函数，可知函数的极大值点为，极小值点为1，可得，且两根分别是和1．所以存在极小值，对称轴，
单调递减区间为，单调递增区间为．A，B，C正确．故选：D.
【点睛】本题考查根据三次函数的图象研究其导数的性质，考查数形结合思想，属于基础题.
（2023·上海松江·校考模拟预测）设a、b、c、d，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
【解答】，由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点大于极小值点，所以导函数的图象如图所示，

由导函数的图象可知，，，并且极值点的和，
得.故选：D
（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）已知函数的大致图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
所以函数图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，故；又函数的极大值点在y轴左侧，极小值点在y轴右侧，且极大值点离y轴较近，所以方程的两根满足，即，得，因此.故选；B.
（多选）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值D．是函数在区间上的极小值点
【解答】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC
（多选）（2023·全国·高三专题练习）如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ）
A．在区间内单调递减B．在区间内单调递增
C．是极小值点D．是极大值点
【解答】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，
．函数在区间的导数为，在区间上单调递增，正确；．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误，．时，，当时，，为增函数，，此时此时函数为减函数，则函数内有极大值，是极大值点；故正确，故选：．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力．属于中档题．
（2021秋·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期末）已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
①；②函数在处取得极小值，在处取得极大值；
③函数在处取得极大值，在处取得极小值；④函数的最小值为.
A．③B．①②C．③④D．④
【解答】由的图像可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．
对于①，由题意可得，所以①不正确．
对于②，由题意得函数在处取得极大值，在处取得极小值，故②不正确．
对于③，由②的分析可得正确．对于④，由题意可得不是最小值，故④不正确．
综上可得③正确．故选：A．
【点睛】此题考查由导函数的图像判函数的极值和最值，属于基础题.
已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】由题，
导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点，
且，只有B图符合.故选：B.
命题点2 求已知函数的极值
（2023·广西·统考模拟预测）函数在处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【解答】依题意，，因为函数在处取得极小值，则，解得，此时，当或时，，当，时，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值.故选：C
（2023·四川成都·统考二模）函数的极大值为______．
【解答】依题意，因为，所以，所以，
所以在上，，单调递增；在上，，单调递减.所以在处取得极大值：.故答案为：1.
（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数成等比数列，且函数，当时取到极大值，则等于______.
【解答】令，
则函数的定义域为，导函数，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极大值，极大值为，
所以，故，
又成等比数列，所以，故答案为：.
（2023·全国·高三专题练习）已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（ ）
A．B．C．bD．4
【解答】，，，所以，解得：，，所以，得，时，，，，所以是函数的极小值点，.故选：D
（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，其导函数为，，，则（ ）
A．无极值B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值
【解答】由已知知，又，所以，令，则，
又，令，
所以，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以的极小值为，无极大值，故选：D.
（2022·山东济南·统考模拟预测）若是函数的极值点．则的极小值为（ ）
A．-3B．C．D．0
【解答】函数，求导得：，
因是函数的极值点，即，解得，
，当或时，，当时，，即是函数的极值点，函数在处取得极小值.
故选：A
函数在___处取得极小值，且极小值为___.
【解答】，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
则时取得极小值，且极小值为；故答案为：2，
命题点3 已知极值(点)求参数
（2023·吉林延边·统考二模）若函数在处有极小值，则的值为______．
【解答】因为，所以，又因为函数在处有极小值，所以，解得或，
当时，，所以时，，时，，所以函数在处取得极小值；当时，，所以时，，时，，所以函数在处取得极大值，不合题意，舍去， 故答案为：.
（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
【解答】因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，所以函数在单调递增，则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，
解得，故答案为：.
（2022·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数在处取得极值，则在上的极小值为______．
【解答】由题意，函数，可得，
因为在处取得极值，可得，即，解得，
所以，可得，
令，得或，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时取得极小值，极小值为．故答案为：.
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
（2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数，若时，取得极值0，则___________.
【解答】由，得，
因为时，取得极值0，所以，，
解得或，当时，，此时函数在在处取不到极值，经检验时，函数在处取得极值，
所以，所以.故答案为：18
（2022秋·辽宁葫芦岛·高三兴城市高级中学校考期末）已知函数的最小值为，函数的零点与极小值点相同，则___________.
【解答】由可得，
因为的最小值为，所以是的极值点，所以，所以；
当时，，由二次函数的性质可知该函数无极小值点，不符合题意；
由可得，令，可得或，
当时，，由可得或；由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以的极小值点为，由题意可得，解得，此时；
当时，当时，，不合题意；所以.故答案为：.
（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内有极小值，则的取值范围为________．
【解答】由可得，当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值；当时，令可得或；
令可得：，所以时，在处取得极小值，
若函数在区间内有极小值，则，解得，综上所述：的取值范围为；故答案为：.
（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是_________．
【解答】，，
因为函数既有极大值，又有极小值，所以，
即，，解得或，故的取值范围为，故答案为：.
题型二 利用导数求函数最值
（北京·高考真题）已知函数
(1)求的单调减区间；
(2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【解答】（1）由，求导可得,
由，可得或，
所以函数的单调减区间为，；
（2）因为，
令，解得或可得下表：
则，分别是在区间上的最大值和最小值，
所以，解得，
从而得函数在上的最小值为.
（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解答】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
（海南·高考真题）设函数
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间的最大值和最小值．
【解答】（1）函数的定义域为，
又.
令，解得或；令，解得.
所以函数在上单调递增；在上单调递减；
（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.
所以当时，函数取得最小值，
又，，
而，
所以当时，函数取得最大值为：.
即在区间上的最大值为，最小值为.
(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
（湖南·高考真题）已知函数，其中，e为自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最大值．
【解答】（1），函数定义域为，．
当时，令，得．
若，则，从而在上单调递增；
若，则，从而在上单调递减．
当时，令，得，解得或，有．
若，则或，从而在和上单调递减；
若，则，从而在上单调递增；
（2）由（1）中求得单调性可知，
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，最大值是．
当时，在区间上单调递增，在区间单调递减，最大值是．
（2021·全国·高考真题）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
【解答】（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
【解答】（1）的定义域为，故，
令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，
所以函数在区间上的最小值为.
（2）有个零点，证明如下：
因为，，
若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
（2024秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，
(1)求、的值；
(2)求在上的最值．
【解答】（1）因为，
所以，取，则有，即；
所以，取，则有，即．
故，．
（2）由（1）知，，
则，
所以、与，的关系如下表：
故，．
三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•禅城区模拟）已知函数有唯一零点，则
A．B．C．D．2
【解答】解：，
令，则为偶函数，图象关于对称，
若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用偶函数的 对称性求解参数的值，解题的关键是灵活利用偶函数对称性的性质．
2．（2023•石嘴山一模）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：因为有两个不同的极值点，
所以在上有2个不同的零点，且零点两侧异号，
所以在有2个不同的实数根，，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号，
所以，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
3．（2023•翠屏区校级模拟）若函数在处有极大值，则实数的值为
A．1B．或C．D．
【解答】解：函数，，
函数在处有极大值，可得（1），解得或，
当时，，
时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值，不合题意．
当时，，时，时，
在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值，符合题意．
综上可得，．
故选：．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
4．（2023•宜春模拟）若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，所以，
若函数有两个极值点，，
则，所以，且，
所以，
令函数，
则在上恒成立，
故在上单调递增，则，
即的取值范围为，
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值问题，属于中档题．
5．（2023•梅河口市校级一模）已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是
A．，B．C．D．，
【解答】解：已知函数有两个大于1的零点，
所以在不单调，
可得，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，不符合题意；
当时，
易知在上单调递增，
又（1），
当，时，（1），
所以在上单调递增，不符合题意，排除选项；
当时，
因为（1），（a），
所以存在，使得，
即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
因为（1），
当趋向正无穷时，趋向正无穷，
所以当函数有两个大于1的零点时，只需满足即可，
因为，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以单调递增；
不妨设，
可得，
当 时，，单调递减，
对于选项，当，时，
由可知，
当时，，
所以，满足题意．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．
6．（2023•湖北模拟）已知定义域为的函数满足，（1），，若，则的极值情况是
A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值D．既无极小值，也无极大值
【解答】解：，，
取可得，（1），
由，令，得（1）（1），
（1），可得（1），
，则，
．
令，则；
令，，
易知时，，在上单调递减；时，，在上单调递增，
当时，取最小值，
又，当时，，时，，
存在，，使得，
不妨设，则当时，，当时，，当时，．
在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，
既有极大值，又有极小值．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（2023•梅河口市校级模拟）若函数有两个极值点，，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：由函数，可得，
因为函数存在两个极值点，，所以，是方程的两个正根，
即的两个正根为，．
所以，即，
所以，
，
所以，可得，因为，所以．
故选：．
【点评】本题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8．（2023•广陵区校级模拟）已知正方形的中心在坐标原点，四个顶点都在函数的图象上．若正方形唯一确定，则实数的值为
A．B．C．D．
【解答】解：法一：因为四边形为正方形，为其中心，
所以于点，且，
不妨设直线的方程为，则直线的方程为，
设点，，，，则，，，，
当时，，在上单调递增，与仅有1个交点为原点，不合题意，
当时，联立直线与曲线方程，得到，解得，
联立直线与曲线方程，得到，解得，
因为，所以，
整理得，即，
设，该函数在上单调递增，值域为，
要使符合题意的正方形只有1个，则必有有两个相等的实数根，
即△，解得，正根舍去，
此时，解得，负根舍去，
所以；
法二：不妨设点在第一象限，且，，，四点逆时针排布，
设，，
则，
由题意得两点存在曲线上，
所以，
由①得，由②得，
联立两式得
，
因为，，
故，，
又，，所以只有时，才能使得两式恒成立，
故，
由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由题意，有唯一解，故．
故选：．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．
9．（2023•长沙模拟）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：函数，不等式化为：．
分别令，．
．
可得：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
，（2）．如图所示．
不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，
正整数解为1，2，
，即．
解得：．
数的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（2023•遵义模拟）已知函数在处取得极值0，则
A．B．0C．1D．2
【解答】解：，
有，得，，
所以．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2023•河南三模）已知函数在处取得极大值4，则
A．8B．C．2D．
【解答】解：因为，所以，
所以（1），（1），解得，，
经检验，符合题意，所以．
故选：．
【点评】本题考查函数极值相关知识，属于中档题．
12．（2023•阜新模拟）已知函数，则的极大值为
A．B．1C．27D．
【解答】解：，
，
，解得（2），
，，
当或时，；当时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值27．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
13．（2023•广西模拟）函数在区间上存在极值点，则整数的值为
A．，0B．，C．，D．，0
【解答】解：函数，可得，
当和时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减．
若在上无极值点，则或或，
，，．时，在上无极值点，
，，时，在上存在极值点．
因为是整数，故或，
故选：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是中档题．
14．（2023•雁塔区校级模拟）已知函数有两个零点，，且存在唯一的整数，，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意函数，有两个零点，，
即，得有两个正实根，
设，则，
令，解得，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
故当时，函数取得极大值，且，
又时，；当时，；
当时，，，，
作出函数的大致图象，如图所示：
直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，，
由题意知，又，
因为存在唯一的整数，，所以，
又直线与的图象有两个交点，
由图可知：（2）（1），，即，
故选：．
【点评】本题考查导数的综合应用，函数的零点问题，数形结合思想，化归转化思想，属难题．
15．（2023•平罗县校级模拟）若函数在上存在两个零点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：函数在上存在两个零点，
即方程在上存在两个根，
即方程在上存在两个根，
设，，
则，
令得，，，
当，时，，单调递增；当，时，，单调递减，
，
又，（e），且，
在，上的大致图象，如图所示：
方程在上存在两个根，等价于与有两个交点，
由图象可知，，
即的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．（2023•阿勒泰地区三模）函数的极值点是
A．0B．1C．D．
【解答】解：，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故当时，函数取极大值，所以，函数的极值点是1．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
17．（2023•湖北二模）设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是
A．，B．，
C．，，D．，，
【解答】解：函数，，
，
函数恰有两个极值点，方程恰有两个正根，
显然是方程的一个正根，
方程有唯一正根，即方程有唯一正根，
等价于函数与函数在上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，
，函数在上单调递增，
又，（1），
函数的图象如图所示：，
且，
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数零点与方程根的关系，是中档题．
18．（2023•全国）已知函数在处取得极小值1，则
A．B．0C．1D．2
【解答】解：，
则，
函数在处取得极小值1，
，解得，
故，
，
令，解得或，
在，在上单调递增，在，上单调递减，
故在处取得极小值，
故，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
19．（2023•重庆模拟）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：易知的定义域是，
由已知，
若△，即，则恒成立，单调递增，不合题意，
若，则在上恒成立，单调递增，不合题意，
若，则存在两个实根，，且，因此，，
不妨设，即，
当或时，，时，，
因此在和，上都是单调递增，在，上单调递减，
在，上（1），有一个零点，因此，，
取，由于，因此，
设，则，
设，则，
设，则，所以即是增函数，时，（2），
所以即在上是增函数，从而时，（2），
所以时，是增函数，（2），
综上，，因此，在上有唯一零点，也即在，上有唯一零点，
同理取，由于，因此有，
从而在，即在上有唯一零点，
所以有三个零点，所以的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
20．（2023•商洛三模）若函数无极值，则的取值范围为
A．，B．
C．，，D．，，
【解答】解：，
，
函数在上无极值，
函数在上是单调函数，
没有两个不等的根，
即△，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数的取值范围，属于中档题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解．
21．（2023•青羊区校级模拟）函数，定义域为，有唯一极值点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：函数，可得，
函数，定义域为，有唯一极值点，
就是方程在内有唯一解，
即在内有唯一解，
就是与的图象在内由一个交点，如图：
可得，
解得．
故选：．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的判断，考查数形结合以及函数与方程的综合应用，是中档题．
22．（2023•成都模拟）已知函数有三个零点，，，其中，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：定义域为，显然，
若是零点，则，
，
所以也是零点，函数有三个零点，，，
不妨设，则，，
所以，，
当时，结合定义域和判别式易知恒成立，
即函数在上单调递增，不符合题意；
当时，设的两根分别为，，
易知，所以函数在上单调递增，
在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，（1），
（1），当，，
所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意．
综上，的取值范围是．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
23．（2023•广西模拟）函数在处取得极小值，则极小值为
A．1B．2C．D．
【解答】解：依题意，，因为函数在处取得极小值，则（1），解得，
此时，当或时，，当，时，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极小值（1）．
故选：．
【点评】本题考查函数极值相关知识，属于中档题．
24．（2023•南宁模拟）已知在处取得极大值，则的值为
A．2B．C．D．
【解答】解：由已知可得，，（1），得，
此时，，
令，得或，
令，得，
故在上单调递减，在，上单调递增，
故在处取得极大值，符合题意．
则的值为．
故选：．
【点评】本题主要考查了导数与极值关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
25．（2023•江西二模）已知函数的定义域为，其导函数为，，（1）（1），则
A．无极值B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值
【解答】解：由已知知（1）（1），
又（1）（1），所以（1）（1），
令，则，
又，
令，
所以，
所以在上单调递增，又（1）（1）（1），
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以的极小值为（1），无极大值．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
26．（2023•大庆三模）函数，则方程解的个数为
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：，定义域为，
则，
令，得或，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又因为，，且当时，；当时，；当时，；当时，，
所以画出的大致图象，如图所示：
方程解的个数，等价于函数与的图象的交点个数，
由图象可知，函数与的图象的交点个数为0个，
即方程解的个数为0．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
27．（2023•上饶二模）已知函数有3个不同的零点分别为，，，且，，成等比数列，则实数的值为
A．11B．12C．13D．14
【解答】解：设，则常数项为：，
因为，，成等比数列，
所以，
所以，即，解得，
把代入，
所以（2），解得．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，等比数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
28．（2023•南宁二模）已知函数的极值点为1，且（2），则的极小值为
A．B．C．D．4
【解答】解：，（1），（2），
所以，解得：，，
，
所以，得，时，，，，
所以是函数的极小值点，（1）．
故选：．
【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
29．（2023•汉滨区校级模拟）函数在内有极值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．，
【解答】解：，
依题意，在上有变号零点，令，则，
设，则在上恒成立，
在上单调递减，
又（1），时，，
．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
30．（2023•贵州模拟）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为
A．，B．C．，D．
【解答】解：，
，，
要使函数在处取得极小值，则，
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属基础题．
31．（2023•贵州模拟）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为
A．B．，C．D．，
【解答】解：由，
得，
要使函数在处取得极小值，则，
且当，，时，，当时，，
即的增区间为，，减区间为，
可得，
故选：．
【点评】本题主要考查导数与极值，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养，是基础题．
32．（2023•成都模拟）已知函数有两个极值点，则的取值范围为
A．，B．
C．D．
【解答】解：，
因为函数有两个极值点，
则有两个变号正的零点，
因为（1），
令，
则在，，上有一个零点，
又（2），
所以在，，上有一个零点等价于方程在，，上有一个根，
令，，，，
，
所以在，，上，单调递减，
在上，单调递增，
，（1），（3），
所以且，
所以的取值范围为，，，
故选：．
【点评】本题考查函数的极值点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
增
极大值
减
极小值
增
0
1
2
0
单调递增
极大值
单调递减