新人教版七下数学 教案：第八章 实数 小结与复习

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人教版初中数学七年级下册第八章 实数 小结与复习 教案一、教学目标：1.梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的联系; 2.会进行开平方和开立方运算及巩固实数的运算. 二、教学过程：知识网络知识梳理一、算术平方根像52=25，那么5叫做25的算术平方根；102=100，那么10叫做100的算术平方根；∵ 32=9，∴ 9的算术平方根是3.一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.即 x2=a (x>0) x叫做a的算术平方根，记作：x=.规定：0的算术平方根是0. 记作: =0.2.算术平方根的性质：(1)一个正数的算术平方根有1个; 0的算术平方根有一个，是0;负数没有算术平方根.(2)被开方数a是非负数，即a≥0; a是非负数，即a≥0.（双重非负性）(3)被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 若a＞b＞0，则a＞b＞0.(4)被开方数扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根扩大(缩小)10倍.二、平方根1.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.  求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.2.平方根的特征：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数;(2)0的平方根是0;(3)负数没有平方根.3. 平方根的表示：正数a的算术平方根可以表示为a ，正数a的负的平方根，可以表示为-a . 正数a的平方根可以用±a表示，读作“正、负根号a”．4.平方根与算术平方根的联系与区别：三、立方根一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.  求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.立方根的性质:一般地，平方根与立方根的区别和联系 四、实数及其运算1.有理数 我们知道有理数包括整数和分数，利它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.，，，，.=2.5，=-0.6，=6.75，=1.，=0.. 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.2.无理数 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数. 无限不循环小数又叫做无理数. 例如，-，，等都是无理数. π=3.14159265…，1.01001000100001…它们都是无限不循环小数，是无理数. 常见的无理数的三种形式：(1)含π的一些数；(2)开方开不尽的数；(3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…3.实数 有理数和无理数统称为实数.分类原则：不重不漏 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则4.实数的运算性质(1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.(2)在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.1.交换律：加法 a＋b＝b＋a，乘法 a×b＝b×a2.结合律：加法 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，乘法 (a×b)×c＝a×(b×c)3.分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c考点梳理考点解析考点1：算术平方根的概念及计算例1.求下列各数的算术平方根:(1) 100 (2) 4964 (3) 0.0001解：(1) 因为102=100，所以100的算术平方根是10，即100=10；(2) 因为，所以的算术平方根是，即；(3) 因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即0.0001=0.01.例2.化简：(1) 11125 (2) (-1.3)2 (3) (-2)×(-8)解：【迁移应用】【1-1】16的算术平方根是( )A.4 B.±4 C.2 D.±2【1-2】一个正方形的面积变为原来的4倍,则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的9倍,则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的100倍，则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的n倍时，则它的边长变为原来的_____倍.【1-3】求下列各数的算术平方根.(1)64； (2)0.25； (3)49； (4)52； (5)-4132； (6)104．解：（1）因为82=64，所以64的算术平方根为8；（2）因为0.52=0.25，所以0.25的算术平方根为0.5；（3）因为（23）2=49，所以49的算术平方根为23；（4）因为52=52，所以52的算术平方根为5；（5）因为-4132=（413）2=（413）2，所以-4132的算术平方根为413；（6）因为104=1002，所以104的算术平方根为100.考点2：算术平方根的非负性应用例3.若(x-4)2+y+3=0，求(x+y)2019的算术平方根．解：∵(x-4)2+y+3=0，且(x-4)2≥0，y+3≥0，∴x-4≥0，y+3≥0∴x-4=0，y+3=0，∴x=4，y=-3，把x=4，y=-3代入，(x+y)2019=[4+(-3)]2019=12019=1，∴(x+y)2019的算术平方根是1．【迁移应用】若实数x、y、z满足x+2+y-32+z+6=0，求xyz的算术平方根.解：∵x+2+y-32+z+6=0，∴x+2=0，y-3=0，x+6=0，∴x=-2，y=3，z=-6，∴xyz=-2×3×-6=36，∴xyz的算术平方根是36=6.考点3：平方根的概念及计算例4.求下列各式的值：(1) ； (2) -； (3) ±.解：(1)因为62=36，所以=6；(2)因为0.92=0.81，所以-=-0.9；(3)因为=，所以±=±.例5.已知一个正数m的平方根为2n+1和4-3n．(1)求m的值；(2)a-1+b+c-n2=0，a+b+c的平方根是多少？（1）解：∵正数m的平方根互为相反数，∴2n+1+4-3n=0，解得：n=5，∴2n+1=11，∴m=112=121；（2）由（1）得：n=5，∵a-1+b+c-n2=0，∴a-1=0，b=0，c-n=0 ，∴a=1，b=0，c=n=5，∴a+b+c=1+0+5=6，∴a+b+c的平方根是±6．例6.已知2a-1的算术平方根是3，b-1的平方根是±4，c是13的整数部分，求a+2b-c的平方根．解：∵2a-1的算术平方根是3；b-1的平方根是±4，∴2a-1=9，b-1=16，∴a=5，b=17．∵c是13的整数部分，32； 所以5>1.9.(2)因为6>4，所以6>2； 所以 > ，即>1.5.例14.比较下列各组数的大小.（1）与2.5; （2）与.解：因为2.53=15.625所以< 所以