2025高考数学专项讲义第11讲圆锥曲线中的中点弦问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)

这是一份2025高考数学专项讲义第11讲圆锥曲线中的中点弦问题(高阶拓展、竞赛适用)(学生版+解析)，共59页。学案主要包含了命题规律，备考策略，命题预测，考点定位，考查意图，通性通法，整体点评等内容，欢迎下载使用。
（3类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的中点弦及其相关计算
2.会用点差法求解相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
椭圆中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
kAB.kOM=−b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
kAB.kOM=−a2b2=1e2−1
双曲线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为双曲线 y2a2−x2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=a2b2=1e2−1
3. 抛物线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为抛物线 y2=2px 弦 AB(AB 不平行 y 轴 ) 的中点, 则 kAB= py0
(2) 若 Mx0,y0 为抛物线 x2=2py 弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 kAB=x0p
4. 中点弦斜率拓展
在椭圆 x2a2+y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=−b2x0a2y0;
在双曲线 x2a2−y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=b2x0a2y0;
在抛物线 y2=2pxp>0 中，以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=py0
5. 椭圆其他斜率形式拓展
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有
点差法妙解中点弦问题
若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 Ax1,y1、Bx2,y2,
将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（1） 设点: 若 Ax1,y1,Bx2,y2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上不重合的两点,则
x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1
（2） 作差: 两式相减得 x1+x2x1−x2a2+y1+y2y1−y2b2=0,
（3）表斜率: y1−y2x1−x2 是直线 AB 的斜率 k,x1+x22,y1+y22 是线段 AB 的中点 x0,y0,
化简可得 y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=−b2a2⇒y0x0⋅k=−b2a2, 此种方法为点差法。
考点一、椭圆中的中点弦问题
1．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
2．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为 ．
3．（全国·高考真题）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦AB的中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ．
3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
考点二、双曲线中的中点弦问题
1．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
2．（全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为
A．B．C．D．
3．（全国·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为 ．
5．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的左右顶点分别为、．
(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；
7．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．
考点三、抛物线中的中点弦问题
1．（四川·高考真题）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
A．3B．4C．D．
2．（山东·高考真题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A．B．
C．D．
3．（北京·高考真题）已知点在抛物线上，ΔABC的重心与此抛物线的焦点重合(如图).
（1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标；
（2）求线段中点的坐标；
（3）求所在直线的方程.
1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．−2
2．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过抛物线C顶点的直线l与准线交于点M，与抛物线C交于另一点N.若MF=NF，则点N的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高三上·贵州·阶段练习）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高二下·安徽·开学考试）已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．（23-24高二上·宁夏·期中）已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 .
7．（2022高三上·全国·专题练习）已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段AB的中点坐标为，则椭圆的离心率为
三、解答题
8．（2024高三·全国·专题练习）设直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．求：
(1)线段AB的长；
(2)AB的中点M的坐标．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.
10．（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
一、单选题
1．（2024·吉林白山·一模）不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，若点P在直线l上，且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列能作为点P的坐标的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（23-24高三上·山东德州·期末）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ．
6．（2022高三·全国·专题练习）设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
四、解答题
7．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1.
(1)抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标.
8．（2023·广西南宁·模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．
9．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线
(1)求的方程；
(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
10．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为．
(1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；
(2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程．
1．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p=116，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
2．（2018·全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
3．（陕西·高考真题）设椭圆C：过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
4．（福建·高考真题）已知椭圆的左焦点为为坐标原点.
(1)求过点，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A､B两点，线段的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
5．（上海·高考真题）已知椭圆C的焦点，且长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年全国乙卷（文科），
第12题,5分
由弦中点求弦方程或斜率
已知方程求双曲线的渐近线
讨论双曲线与直线的位置关系
2022年新Ⅱ卷，第16题,5分
由中点弦求弦方程
根据弦长求参数
2022年新Ⅱ卷，第21题,12分
求双曲线中的弦长
由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
根据韦达定理求参数
根据双曲线的渐近线求标准方程
圆锥曲线中的中点弦问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（3类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的中点弦及其相关计算
2.会用点差法求解相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识讲解
椭圆中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
kAB.kOM=−b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
kAB.kOM=−a2b2=1e2−1
双曲线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为双曲线 y2a2−x2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=a2b2=1e2−1
3. 抛物线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为抛物线 y2=2px 弦 AB(AB 不平行 y 轴 ) 的中点, 则 kAB= py0
(2) 若 Mx0,y0 为抛物线 x2=2py 弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 kAB=x0p
4. 中点弦斜率拓展
在椭圆 x2a2+y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=−b2x0a2y0;
在双曲线 x2a2−y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=b2x0a2y0;
在抛物线 y2=2pxp>0 中，以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=py0
5. 椭圆其他斜率形式拓展
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有
点差法妙解中点弦问题
若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 Ax1,y1、Bx2,y2,
将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（1） 设点: 若 Ax1,y1,Bx2,y2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上不重合的两点,则
x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1
（2） 作差: 两式相减得 x1+x2x1−x2a2+y1+y2y1−y2b2=0,
（3）表斜率: y1−y2x1−x2 是直线 AB 的斜率 k,x1+x22,y1+y22 是线段 AB 的中点 x0,y0,
化简可得 y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=−b2a2⇒y0x0⋅k=−b2a2, 此种方法为点差法。
考点一、椭圆中的中点弦问题
1．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
2．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为 ．
【答案】.
【详解】设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得．
3．（全国·高考真题）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.
1．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦AB的中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，的中点为，可得，运用“点差法”求解可得，代入求得结果.
【详解】设，，的中点为，则，
由点在椭圆上得，两式相减得，
整理得，
由，，即，
将代入，解得，，
所以.
故选：D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆＋＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】根据点差法求出弦所在直线的斜率得解.
【详解】设弦为，Ax1,y1，Bx2,y2，
则，两式相减并化简得，
即，则，
所以弦所在直线的方程为，即.
故答案为：.
3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解．
【详解】设，，，
则，，，
所以，所以，
将，两点坐标代入椭圆方程可得：，
两式作差可得：，
所以，则，
故选：D
4．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则，由点差法求解离心率即可.
【详解】设，则，
则，两式相减可得，
，即，
即，，故.
故选：B
5．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆焦点坐标以及的中点坐标，利用点差法即可得，可求出椭圆的方程.
【详解】不妨设Ax1,y1,Bx2,y2，所以，
两式相减可得，整理可得，
根据题意可知直线的斜率为，
由的中点坐标为可得；
因此，可得，
又焦点为可得，解得；
所以椭圆的方程为.
故选：A
考点二、双曲线中的中点弦问题
1．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
2．（全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵kAB==1,
∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),
∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则-=1.整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2==2×(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为-=1.故选B.
3．（全国·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法结合选项得出方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可.
【详解】设的中点，
所以，
易知，
由点差法可得
，
若，此时，
与双曲线联立，
即与双曲线只有一个交点，故A错误；
若，则此时，
与双曲线联立
，
即与双曲线有两个交点，故B正确；
若，则此时，
与双曲线联立，
即与双曲线有一个交点，故C错误；
若，则此时，
与双曲线联立，显然无解，
即与双曲线没有交点，故D错误；
故选：B
2．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设Ax1,y1，Bx2,y2，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案.
【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，则直线l的斜率为
代入，得，两式相减得：.
又线段AB的中点为点，则.
则.经检验满足题意.
故选：D
3．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【分析】利用点差法可求的关系，从而可求双曲线的离心率.
【详解】设，则，且，
所以，整理得到：，
因为是弦的中点，
所以，所以即
所以，
故选：A.
4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程．
【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，，
又， ，
两式相减，得，
即，整理得，
直线l的斜率为，
直线l的方程为，
化简得，经检验满足题意.
故答案为：.
5．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，由，利用点差法求解.
【详解】解：设，
则，两式相减得，
即，化简得，
又，解得，
所以双曲线的方程为： .
故选：D.
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的左右顶点分别为、．
(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解；
（2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程；
【详解】（1）由题意可得，，，则，
又，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，点恰为弦的中点，则，，
又因为两点在双曲线上，
可得，两式相减得，
化简整理得，即，
所以直线的方程为，即，
经检验，满足题意.
7．（22-23高二上·内蒙古包头·期末）如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．

(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点．
【答案】(1)
(2)不存在这样的直线
【分析】
（1）根据双曲线的定义求得点的轨迹方程.
（2）利用点差法求得直线的方程，联立直线的方程和点的轨迹方程联立，根据方程组无解求得正确答案.
【详解】（1）
由中垂线性质知，
所以
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线
设此双曲线方程为，则
所以点的轨迹方程为．
（2）
设可得
两式相减得
由题意，所以
直线方程为，
由，得
∵．∴不存在这样的直线．
考点三、抛物线中的中点弦问题
1．（四川·高考真题）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【详解】设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
2．（山东·高考真题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.
3．（北京·高考真题）已知点在抛物线上，ΔABC的重心与此抛物线的焦点重合(如图).
（1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标；
（2）求线段中点的坐标；
（3）求所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将A点坐标代入抛物线方程，由此求得，进而求得抛物线方程和焦点坐标.
（2）根据重心坐标公式列方程，求得，再由中点坐标公式求得的坐标
（3）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
【详解】（1）将代入抛物线方程得，所以抛物线方程为；
（2）设，由于，由重心坐标公式得，
化简得，
所以中点的坐标为；
（3）设所在直线斜率为，将代入抛物线方程得，两式相减并化简得，即，解得，所以直线的方程为，即.
【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线中的中点弦问题，属于基础题.
1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．−2
【答案】D
【分析】直线与相交于A，B两点，且点为弦AB的中点，利用点差法求解.
【详解】解：设，
因为直线与相交于A，B两点，所以，
由题意得，
故选：D
2．（2024·甘肃兰州·三模）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，线段的垂直平分线交轴于点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长AB的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求可得结论.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
由题意可知：直线的斜率不为，但可以不存在，且直线与抛物线必相交，
可设直线的方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立方程，消去x可得，
则，
可得，即，
设的中点为Px0,y0，则，，
可知线段的垂直平分线方程为，
因为在线段的垂直平分线上，
则，可得，
联立方程，解得，
故选：B.
3．（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标.
【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称，
故和直线垂直，
所以，故，
又，所以，
故中点坐标是，即
故选：B
4．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的几何性质，求得抛物线的方程为，再利用点差法，即可求解.
【详解】由抛物线的准线为，可得，可得，所以，
设，可得，且，
两式相减，可得，
可得，所以直线的方程为，
即.
故选：A．
5．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设，代入抛物线方程两式相减可得，进而求得，由求得值.
【详解】设，
则两式相减，可得，
所以，即，
所以，所以，
代入直线，得，
所以，所以，解得.
故选：B
6．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过抛物线C顶点的直线l与准线交于点M，与抛物线C交于另一点N.若MF=NF，则点N的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意，表示出，再由，可得列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】
如图，由题意，得，准线：.
设直线l的方程为（由题意，知k存在且），则点，.
设线段MN的中点为E，则点，所以直线EF的斜率.
由，得，所以，所以，
整理得，解得，
所以，所以点N的横坐标为.
故选：C.
一、单选题
1．（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先确定点在椭圆内部，设交点为Ax1,y1,Bx2,y2，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为Ax1,y1,Bx2,y2，则，
又，两式相减得，
整理得，
所以以点为中点的弦所在的直线方程为，
即.
故选：C.
2．（21-22高三上·贵州·阶段练习）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意
故选：C
3．（21-22高二下·安徽·开学考试）已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.
【详解】设，，则，
两式相减得，
即，
∴.
故选D.
4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设，结合“点差法”，即可直线的斜率，得到答案.
【详解】设，代入抛物线，可得，
两式相减得，
所以直线的斜率为，
又因为的中点为，可得，
所以，即直线的斜率为.
故选：C.
5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知直线与椭圆相交于两点，椭圆的两个焦点是，，线段的中点为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据线段的中点为，利用点差法求得，再利用三角形面积公式求解．
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，由题可知，，
则，所以，即，解得，
所以，则，
所以，
故选：B．
二、填空题
6．（23-24高二上·宁夏·期中）已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 .
【答案】/0.5
【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率.
【详解】由题意，
为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，

设，线段AB中点为，
∴，，
∴即
∴直线AB的斜率为：
故答案为：
7．（2022高三上·全国·专题练习）已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段AB的中点坐标为，则椭圆的离心率为
【答案】/
【分析】设，，，利用中点坐标公式得到直线斜率为，再利用得到即可求解.
【详解】由题意设，，，
则，
两式相减可得：，
因为：，，所以
即直线斜率为，
又直线斜率为，所以，即，
由，得，即，得，得.
故答案为：
三、解答题
8．（2024高三·全国·专题练习）设直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．求：
(1)线段AB的长；
(2)AB的中点M的坐标．
【答案】(1)8
(2)（3，2）.
【详解】
解：（1） （解法1：求交点）由
解得或
所以AB＝＝8.
（解法2：设而不求——弦长公式）
设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.
由消去x并整理，得y2－4y－4＝0，
所以Δ＝16＋16＝32>0，y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝6，
所以AB的中点M的坐标为（3，2）.
由求根公式得|y1－y2|＝＝4，
所以AB＝＝|y1－y2|＝8.
（解法3）（设而不求——焦半径公式）
设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）.
由消去x并整理，得y2－4y－4＝0.
Δ＝32＞0，y1＋y2＝4.
因为直线l经过抛物线的交点F（1，0），
所以AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋p＝y1＋y2＋2＋2＝8.
（2） 由解法1知AB的中点M的坐标为（3，2）.
【考查意图】
直线被圆锥曲线截得弦长和弦中点问题的处理方法．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的焦点求出的值，然后由椭圆的离心率计算，再由平方关系得到，可写出椭圆的方程；
（2）设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标.
【详解】（1）依题意得：
，即，解得
，解得
椭圆的方程为
（2）如图所示：

设，中点为，
所以
则
又两点在椭圆上，可得，
两式相减可得，整理得
，①.
过点斜率为的直线为.
因为在直线上，故，②
联立①②，解得
所以中点坐标为.
10．（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
【详解】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得 ,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
一、单选题
1．（2024·吉林白山·一模）不与坐标轴垂直的直线过点，，椭圆上存在两点关于对称，线段的中点的坐标为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据点差法求出，再结合进行计算得出结果.
【详解】设为坐标原点，在椭圆中，设，则，
所以，
因为关于对称，所以，所以，
由线段的中点的坐标为x1,y1，得出．
所以，
又，
∴，即，
又，∴，所以所求离心率为.
故选：C．
2．（2024·全国·模拟预测）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，利用点差法得到，根据平行四边形的性质及点在椭圆上得到，求出k和点M的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，，
则，两式相减，得，
故，即①．
又四边形为平行四边形，为线段的中点，所以为线段的中点，
所以，又P在椭圆上，
所以，即②．
由①②，得，故直线的方程为，
即．
故选：B．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法可得，由，，可得，可求椭圆的离心率.
【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2，所以，
两式相减得，即，
又，所以，整理得，
又，，所以，所以，
所以椭圆的离心率.
故选：D.
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，若点P在直线l上，且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列能作为点P的坐标的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】
利用直线与双曲线的位置关系逐个选项分析即可.
【详解】
由A，B，P三点共线且直线OP把分成面积相等的两部分可得点P为线段AB的中点，
选项A：数形结合可知，直线l的方程为时，点为AB的中点，故可以作为点P的坐标，A正确．
已知双曲线()直线与双曲线交于，两点，AB的中点坐标为，则，，两式相减可得，，得
选项B：由二级结论可得直线l的斜率，
故直线l的方程为，联立得得，，不能作为点P的坐标，B错误．
选项C：可得直线l的斜率，故直线l的方程为，联立得，得，，可以作为点P的坐标，C正确．
选项D：可得直线l的斜率，故直线l的方程为，联立得得，，可以作为点P的坐标，D正确．
故选：ACD
【点睛】
本题将中点弦问题和直线与双曲线的位置关系有机整合，设问角度新颖，重点考查数形结合思想和逻辑推理能力，需要考生将问题转化为判断直线与双曲线是否有两个交点的问题，逐一验证选项是否正确，考查考生灵活运用所学知识解决综合问题的能力，在注重考查基础知识的同时，对考生的思维能力要求较高，有较好的选拔功能．
三、填空题
5．（23-24高三上·山东德州·期末）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，的中垂线交轴于点，则 ．
【答案】
【分析】设，其中点为C，将A，B两点代入抛物线方程，结合斜率公式与，
可得，即可得，后由抛物线定义可得AB，即可得答案.
【详解】设，其中点为C，坐标为.
将A，B两点代入抛物线方程，有，
两式相减可得：，设，
则，因，
则.
又F1,0，则.
又准线方程为，过A，B两点分别做准线垂线，垂足为，
则由抛物线定义，可得.故.
故答案为：.
6．（2022高三·全国·专题练习）设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】
利用点差法即可得到，最后利用离心率公式即可.
【详解】设点，则，
把，的坐标代入椭圆方程可得:，
两式作差可得：，
即，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
四、解答题
7．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1.
(1)抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，结合抛物线的定义分析可知，即可得方程；
（2）由题意可得直线过点和F1,0，求直线的方程，与抛物线联立，结合韦达定理求中点坐标.
【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点，准线为，
设，则，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由题意可知：直线与抛物线必相交（斜率不为0），
设Ax1,y1,Bx2,y2，线段的中点，
且直线过点和F1,0，
则直线的方程，即，
联立方程，消去x得，
则，可知，
将yM=2代入可得，
所以线段的中点的坐标为.
8．（2023·广西南宁·模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不能，证明见解析；
【分析】
（1）由渐近线方程求得一个关系，再代入点的坐标，可解得得双曲线方程；
（2）设出交点坐标，若是线段的中点，利用点差法求出直线l方程，再联直线与双曲线查看是否有解，即可判断.
【详解】（1）由题双曲线()经过点，其渐近线方程为，
所以，，
解得，
所以双曲线C的方程为：.
（2）
当直线l垂直x轴时，直线l的方程为，此时直线l与双曲线只有一个交点，不满足；
当直线l不垂直x轴时，斜率存在，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
所以，
两式作差得，
即，
若是线段的中点，则，
则，
所以直线l的斜率，
则直线l的方程为，
将直线l与双曲线联立，得，
，方程无解，
所以这样的直线不存在，即点P不能是线段的中点.
9．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线
(1)求的方程；
(2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，该直线方程为
【分析】（1）根据圆与圆外切、内切列式得，结合椭圆的定义可求出结果；
（2）根据点差法求出斜率，再根据点斜式可求出结果.
【详解】（1）设动圆的半径为，
依题意得，所以为定值，且，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
，，，，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，
设，，
则，两式相减得，
得，即，
由点斜式得直线方程为，即.
所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.

10．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆，椭圆的右焦点为．
(1)求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长；
(2)判断点与椭圆的位置关系，并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程．
【答案】(1)
(2)在椭圆内部，．
【分析】（1）解法一：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得；解法二：将椭圆方程化为标准式，即可求出点坐标，即可得到直线的方程，再由弦长公式直接计算；
（2）将点代入椭圆方程，即可判断点与椭圆的位置关系，设以为中点椭圆的弦与椭圆交于，利用点差法求出中点弦的斜率，从而求出中点弦方程.
【详解】（1）解法一：因为椭圆，即，则，
所以椭圆的右焦点为，
则过点且斜率为1的直线方程为，
由，消去整理得，显然，设直线与椭圆交于，，
∴，，
所以．
解法二：椭圆，即，则，
所以椭圆的右焦点为，
则过点且斜率为1的直线方程为，即，
由，其中
，
所以．
（2）∵，∴点在椭圆内部．
设以为中点的弦与椭圆交于，
∵为中点，∴，
把分别代入椭圆，
得，∴，
∴，∴，
∴以为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 ，整理得．
1．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若p=116，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）(132,0)；（Ⅱ）1040
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于p,m,λ的表达式，得到关于p,m,λ的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得A(x0,y0)的坐标关于的表达式，根据点A(x0,y0)在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到y02+y1y0+8p2=0．根据判别式大于零，得到不等式Δ=y12−32p2≥0，通过解方程组求得y12=−4p2+2p4p2+2，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于p,t的表达式．作换元u=(2t+t)2，利用点A在椭圆上，得到p2=12u2+4u，然后利用二次函数的性质求得的最大值
【详解】（Ⅰ）当p=116时，的方程为y2=18x，故抛物线的焦点坐标为(132,0)；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), l:x=λy+m，
由{x2+2y2=2x=λy+m⇒(2+λ2)y2+2λmy+m2−2=0，
∴y1+y2=−2λm2+λ2,y0=−λm2+λ2,x0=λy0+m=2m2+λ2，
由在抛物线上，所以λ2m2(2+λ2)2=4pm2+λ2⇒λ2m2+λ2=4p，
又{y2=2pxx=λy+m⇒y2=2p(λy+m)⇒y2−2pλy−2pm=0，
∴y1+y0=2pλ，∴x1+x0=λy1+m+λy0+m=2pλ2+2m，
∴x1=2pλ2+2m−2m2+λ2.
由{x22+y2=1y2=2px⇒x2+4px=2,即x2+4px−2=0
⇒x1=−4p+16p2+82=−2p+4p2+2
⇒−2p+4p2+2=2pλ2+2m⋅1+λ22+λ2=2pλ2+8pλ2+8p≥16p，
所以4p2+2≥18p，p2≤1160，p≤1040，
所以，的最大值为1040，此时A(2105,55).
[方法二]【最优解】：
设直线l:x=my+t(m≠0,t≠0)，A(x0,y0).
将直线的方程代入椭圆得：(m2+2)y2+2mty+t2−2=0，
所以点的纵坐标为yM=−mtm2+2.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以y0yM=−2pt，解得y0=2p(m2+2)m，因此x0=2p(m2+2)2m2，
由解得1p2=2(m+2m)4+4(m+2m)2≥160，
所以当m=2,t=105时，取到最大值为1040.
[方法三] ：点差和判别式法
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，其中．
因为{x122+y12=1,x222+y22=1,所以．
整理得，所以y0x0⋅y1−y2x1−x2=−12．
又y1−y2x1−x2=kAB=kAM=y1−y0x1−x0,y12=2px1,y02=2px0，
所以y0y022p⋅y1−y0y122p−y022p=−12，整理得y02+y1y0+8p2=0．
因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式Δ=y12−32p2≥0． ①
由{y12=2px1,x122+y12=1,得x1=−2p+4p2+2．
因此y12=2px1=−4p2+2p4p2+2，将此式代入①式解得p≤1040．
当且仅当点M的坐标为(1010,±510)时，p的最大值为1040．
[方法四]：参数法
设M(2pt2,2pt),kAM=yA−yMxA−xM=2pyA+yM，
由kABkOM=2pyA+yM⋅2pt2pt2=−b2a2=−12，得yA=−4pt−yM=−2p(2t+t),xA=2p(2t+t)2．
令u=(2t+t)2，则u∈[8,+∞)，点A坐标代入椭圆方程中，得p2=12u2+4u≤12×82+4×8=1160．
所以pmax=1040，此时M坐标为(1010,±510)．
2．（2018·全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
【答案】（1）；（2）证明见解析，公差为或．
【分析】（1）方法一：设而不求，利用点差法进行证明．
（2）方法一：解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法
设，则.
两式相减，并由得，
由题设知，于是.①
由题设得，故.
［方法二］：【通性通法】常规设线
设，，当时，显然不满足题意；
由得，，所以，，
，即，而，所以，
又，所以，
，即，解得： ．
［方法三］：直线与椭圆系的应用
对原椭圆作关于对称的椭圆为．
两椭圆方程相减可得，即为的方程，故．
又点在椭圆C内部可得，解得：．
所以．
［方法四］：直线参数方程的应用
设l的参数方程为（为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得．设是线段中点A，B对应的参数，是线段中点，知得，即．而点在C内得，解得：，所以．
（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想
由题意得，设，则
.
由（1）及题设得.
又点P在C上，所以，从而，.
于是.
同理，所以.
故，即，，成等差数列.
设该数列的公差为d，则
.②
将代入①得.
所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.
故，代入②解得.
所以该数列的公差为或.
［方法二］：硬算
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，即．
由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得，即．
由（1）有，直线l的方程为，将其与椭圆方程联立消去y得，求得，不妨设，所以，，，同理可得，
，所以，而，故．
即该数列的公差为或.
［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用
因为线段的中点为，得．
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，
由椭圆方程可知，
由椭圆的焦半径公式得，．所以．
由方法二硬算可得，或，从而公差为，即该数列的公差为或.
【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；
方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据即可证出，该法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法．
方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算；
方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率；
（2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法；
方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大；
方法三：利用焦半径公式简化运算，是该题的最优解．
3．（陕西·高考真题）设椭圆C：过点（0，4），离心率为
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程．
（Ⅱ）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x2﹣3x﹣8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案．
解：（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），
将（0，4）代入C的方程得，即b=4
又得=；
即，∴a=5
∴C的方程为
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程代入C的方程，得，
即x2﹣3x﹣8=0，解得，，
∴AB的中点坐标，
，
即中点为．
点评：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决．
4．（福建·高考真题）已知椭圆的左焦点为为坐标原点.
(1)求过点，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A､B两点，线段的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆左焦点F的坐标，左准线l的方程，再求出圆的方程作答.
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段的垂直平分线方程，可求得点的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点的横坐标的取值范围.
【详解】（1）椭圆的长半轴长，短半轴长，
半焦距，则，
依题意，所求圆的圆心在直线，
设，则半径，
而，解得，
所以所求圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
联立，整理可得，
因为直线过椭圆的左焦点，
所以方程有两个不相等的实根．
设点、，设的中点为，
则，，．
直线的垂直平分线的方程为，
令，则.
因为，所以
故点的横坐标的取值范围.
5．（上海·高考真题）已知椭圆C的焦点，且长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标
【答案】
【分析】先由已知求出椭圆的标准方程，再由直线交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．
【详解】由题意，可得椭圆焦点在轴上，其中，则，
所以椭圆的方程为，
联立方程组，整理得，
设，可得，
则中点，可得，所以，
即的中点坐标为.
故答案为：
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年全国乙卷（文科），
第12题,5分
由弦中点求弦方程或斜率
已知方程求双曲线的渐近线
讨论双曲线与直线的位置关系
2022年新Ⅱ卷，第16题,5分
由中点弦求弦方程
根据弦长求参数
2022年新Ⅱ卷，第21题,12分
求双曲线中的弦长
由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
根据韦达定理求参数
根据双曲线的渐近线求标准方程