2024-2025学年湖北省襄阳市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省襄阳市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知为虚数单位，的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知一组数据：2，5，7，，10平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A. 7B. 6.5C. 6D. 5.5
3. 直线：，：，若，则实数值为（ ）
A. 0B. 1C. 0或1D. 或1
4. 为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（ ）（取，）
A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m
5. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A. P在圆外
B. P圆上
C. P在圆内
D. P与圆的位置关系不确定
6. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列命题中正确的是（ ）
A. ，则；
B 若点、、、共面，点、、、共面，则点、、、、共面；
C. 若，则事件与事件是对立事件；
D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为；
8. 动点在棱长为3的正方体侧面上，满足，则点的轨迹长度为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为；
B. 已知，，若直线：与线段有公共点，则；
C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为；
D. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则．
10. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ）
A. ；
B. 当是靠近的三等分点时，，，共面；
C. 当时，；
D. 的最小值为．
11. 已知是圆：内一点，其中，经过点的动直线与交于，两点，若AB的最小值为4，则（ ）
A. ；
B. 若AB=4，则直线的倾斜角为；
C. 存在直线使得；
D. 记与的面积分别为，，则的最大值为8．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 实数、满足，则的最大值是______．
13. 记的三个内角，，的对边分别为，，，已知，其中，若的面积，，且，则的长为______．
14. 如图，已知四面体的体积为，，分别为，的中点，、分别在、上，且、是靠近的三等分点，则多面体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．
（1）求抽取的总样本的平均数；
（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．
16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方程．
17. 直三棱柱中，，其中分别为棱的中点，已知，
（1）求证：；
（2）设平面与平面的交线为直线，求直线与直线所成角的余弦值．
18. 已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，．
（1）当时，求出点的坐标；
（2）经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；
（3）求线段的中点的轨迹方程．
19. 四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形；
（1）当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（2）当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积．
2024-2025学年湖北省襄阳市高二上学期10月月考数学学情检测试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】C
【分析】根据复数乘方、乘法、除法运算法则结合复数的概念运算即可得出结果.
【详解】根据复数的乘方可知，
则，其虚部为.
故选：C
2. 已知一组数据：2，5，7，，10的平均数为6，则该组数据的第60百分位数为（ ）
A. 7B. 6.5C. 6D. 5.5
【正确答案】B
【分析】先根据平均数求的值，然后将数据从小到大排列，根据百分位数的概念求值.
【详解】因为.
所以数据为：2，5，6，7，10.
又因为，所以这组数据的第60百分位数为.
故选：B
3. 直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A 0B. 1C. 0或1D. 或1
【正确答案】C
【分析】根据两直线垂直的公式求解即可.
【详解】因为：，：垂直，
所以，
解得或，
将，代入方程，均满足题意，
所以当或时，.
故选.
4. 为了测量河对岸一古树高度的问题（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点处测得树顶的仰角为，则树高约为（ ）（取，）
A. 100.8mB. 33.6mC. 81.6mD. 57.12m
【正确答案】D
【分析】先在中，利用正弦定理求出，再在中求即可.
【详解】在中，，，所以，又，
由正弦定理得.
在中，.
故选：D
5. 如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A. P在圆外
B. P在圆上
C. P在圆内
D. P与圆的位置关系不确定
【正确答案】A
【详解】试题分析：由题意得，所以点在圆外
考点：1．直线与圆的位置关系；2．点与圆的位置关系
6. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模.
【详解】如图：

以为基底，则，，
所以.
因为.
所以
.
所以.
故选：D
7. 下列命题中正确的是（ ）
A. ，则；
B. 若点、、、共面，点、、、共面，则点、、、、共面；
C. 若，则事件与事件是对立事件；
D. 从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为；
【正确答案】D
【分析】举反例说明ABC不成立，根据古典概型的算法判断D是正确的.
【详解】对A：若，，则，但不成立，故A错误；
对B：如图：
四面体中，是棱上一点，
则点、、、共面，点、、、共面，但点、、、、不共面，故B错误；
对C：掷1枚骰子，即事件：点数为奇数，事件：点数不大于3，
则，，，但事件、不互斥，也不对立，故C错误；
对D：从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，有种选法，
这三条线段能构成一个三角形的的选法有：，，共3种，
所以条线段能构成一个三角形的的概率为：，故D正确.
故选：D
8. 动点在棱长为3的正方体侧面上，满足，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】结合图形，计算出，由点平面，得出点的轨迹为圆弧，利用弧长公式计算即得.
【详解】
如图，易得平面,因平面，则，
不妨设，则, ，解得，
又点平面，故点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆弧,
故其长度为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为；
B. 已知，，若直线：与线段有公共点，则；
C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为；
D. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则．
【正确答案】BD
【分析】根据直线是否存在斜率判断A的真假；数形结合求的取值范围判断B的真假；根据截距的概念判断真假；转化为点（圆心）到直线的距离求判断D的真假.
【详解】对A：“若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为”成立的前提是两条直线的斜率都存在且不为0，
若两条直线1条不存在斜率，另一条斜率为0，它们也垂直.故A是错误的.
对B：如图：
对直线：，表示过点，且斜率为的直线，
且，，
由直线与线段有公共点，所以：或，即或，进而得.故B正确；
对C：过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为或，故C错误；
对D：“圆上恰有3个点到直线的距离等于1”可转化为“圆心1,0到直线的距离等于1”.由.故D正确.
故选：BD
10. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ）
A. ；
B. 当是靠近的三等分点时，，，共面；
C. 当时，；
D. 的最小值为．
【正确答案】BCD
【分析】以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假.
【详解】以为基底，则，，,.
对A：因为.
所以，故A错误；
对B：当是靠近的三等分点，即时，
，
又，所以.故，，共面.故B正确；
对C：因为，
所以：，
所以，故，故C正确；
对D：设，.
因为.
所以，.
当时，有最小值，为：，故D正确.
故选：BCD
11. 已知是圆：内一点，其中，经过点的动直线与交于，两点，若AB的最小值为4，则（ ）
A. ；
B. 若AB=4，则直线的倾斜角为；
C. 存在直线使得；
D. 记与的面积分别为，，则的最大值为8．
【正确答案】ACD
【分析】根据点在圆内，列不等式，可求的取值范围，在根据弦AB的最小值为4求的值，判断A的真假；明确圆的圆心和半径，根据，可求直线的斜率，进而求直线的倾斜角，判断B的真假；利用圆心到直线的距离，确定弦长的取值范围，可判断C的真假；由三角形面积公式和相交弦定理，可求的最大值，判断D的真假.
【详解】对A：由.
此时圆.
因为过点的弦AB的最小值为4，所以，
又，由.故A正确；
对B：因为，，所以直线的斜率为，其倾斜角为，故B错误；
对C：当AB=4时，如图：
，，所以，
所以为锐角，又随着直线斜率的变化，最大可以为平角，
所以存在直线使得.故C正确；
对D：如图：
直线与圆交于、两点，链接，，
因为，，所以.
所以.
又，，
且.
所以，
当且仅当，即时取“”.故D正确.
故选：ACD
方法点睛：在求的最大值时，应该先结合三角形相似（或者蝴蝶定理）求出为定值，再结合三角形的面积公式求的最大值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 实数、满足，则的最大值是______．
【正确答案】
【分析】根据几何意义为圆上的点与距离的平方，找出圆上的与的最大值，再平方即可求解.
【详解】解：由题意知：设，，
则为圆上的点，
圆的圆心O0,0,半径，
则表示圆上的点与距离的平方，
又因为,
所以；
故的最大值是.
故答案为.
13. 记的三个内角，，的对边分别为，，，已知，其中，若的面积，，且，则的长为______．
【正确答案】
【分析】利用正弦定理对化简，可得，再由三角形面积公式求出，根据题意写出，等式两边平方后，可求出的值，由余弦定理，求出的长.
【详解】,
由正弦定理可得:，
，
，
,
，即,，
,得，
∵，∴，，
即，由，解得或，
根据余弦定理，
当时，，此时，不满足题意，
当时，.
故答案为.
14. 如图，已知四面体的体积为，，分别为，的中点，、分别在、上，且、是靠近的三等分点，则多面体的体积为______．
【正确答案】##
【分析】多面体的体积为三棱锥与四棱锥的体积之和，根据体积之比与底面积之比高之比的关系求解即可.
【详解】
连接，，
因为为AD上的靠近的三分点，所以，
因为为AB的中点，所以点到AD的距离为点到AD的距离的一半，
所以，
又为CD上靠近的三分点，
所以点到平面的距离为点到平面的距离的13，
所以，
，
所以，
所以多面体的体积为.
故答案为.
关键点点睛：将多面体转化为两个锥体的体积之和，通过体积之比与底面积之比高之比的关系求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在对某高中1500名高二年级学生的百米成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高二年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生成绩的平均数和方差分别为13.2秒和13.36，女生成绩的平均数和方差分别为15.2秒和17.56．
（1）求抽取的总样本的平均数；
（2）试估计高二年级全体学生的百米成绩的方差．
【正确答案】（1）14 （2）16
【分析】（1）先确定样本中男生、女生的人数，再求总样本的平均数.
（2）根据方差的概念，计算总样本的方差.
【小问1详解】
样本中男生的人数为：；女生的人数为.
所以总样本的平均数为.
【小问2详解】
记总样本的方差为，
则.
所以，估计高二年级全体学生的百米成绩的方差为16.
16. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的方程．
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）设，则，代入，求解即可；
（2）设直线的方程为：，在直线取点，利用点到直线的距离等于点到直线的距离，求解即可.
【小问1详解】
解：由题意可知点在直线上，
所以设，
所以中点，
又因为点在直线上，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】
解：因为，
设直线的方程为：，
又因为，
所以直线的方程为：，
又因为的角平分线所在的直线方程为，
在直线取点，
则点到直线的距离等于点到直线的距离，
即有，整理得，
解得：或，
当时，所求方程即为直线的方程，
所以，
所以直线的方程为： .
17. 直三棱柱中，，其中分别为棱的中点，已知，
（1）求证：；
（2）设平面与平面的交线为直线，求直线与直线所成角的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）取的中点，连接证得四边形为平行四边形，得到，利用，证得，得到，即可证得；
（2）根据题意，证得平面，得到，以A为原点，建立空间直角坐标系，求得，再取的中点，延长交于点，得到直线与直线所成角，即为直线与直线所成角，求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，
因为的中点，可得，且，
又因为，且，所以，且，
所以四边形平行四边形，所以，
在正方形中，可得，所以，
因为，所以，
中，可得，所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
解：在直三棱柱中，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以，
即直三棱柱的底面为等腰直角三角形，
以A为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，可得，则，
取的中点，连接，可得且，
因为且，所以，且，
延长交于点，可得为的中点，
连接，可得即为平面与平面的交线，
所以直线与直线所成角，即为直线与直线所成角，
又由，
设，可得，即，
可得，所以，可得，
设直线与直线所成角为，
可得，
即直线与直线所成角的余弦值为.
18. 已知圆：，过直线：上的动点作圆的切线，切点分别为，．
（1）当时，求出点的坐标；
（2）经过，，三点的圆是否过定点？若是，求出所有定点的坐标；
（3）求线段的中点的轨迹方程．
【正确答案】（1）或
（2）过定点或
（3）
【分析】（1）点在直线上，设，由对称性可知，可得，从而可得点坐标．
（2）的中点，因为是圆的切线，进而可知经过C，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MC为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到结果；
（3）结合（2）将两圆方程相减可得直线的方程，且得直线过定点，由几何性质得，即点N在以为直径的圆上，进而可得结果.
【小问1详解】
（1）
直线的方程为，点在直线上，设，
因为，由对称性可得：由对称性可知，
由题所以，所以，
解之得：故所求点的坐标为或．
【小问2详解】
设，则的中点，因为是圆的切线，
所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故圆E方程为：
化简得：，此式是关于的恒等式，
故解得或,
所以经过三点的圆必过定点或．
【小问3详解】
由
可得：，即，
由可得过定点.
因为N为圆的弦的中点，所以，即，
故点N在以为直径的圆上，
点N的轨迹方程为.
19. 四棱锥中，底面为等腰梯形，，侧面为正三角形；
（1）当时，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（2）当与平面所成角最大时，求三棱锥的外接球的体积．
【正确答案】（1）存在；1.
（2）
【分析】（1）先证平面平面，可得线面垂直，根据垂直，可建立空间直角坐标系，用空间向量，结合线面角的求法确定点的位置.
（2）根据与平面所成角最大，确定平面平面，利用（1）中的图形，设三棱锥的外接球的球心，利用空间两点的距离公式求球心和半径即可.
【小问1详解】
因为底面为等腰梯形，，
所以，，，所以.
所以，
又，平面，且，所以平面.
又平面，所以平面平面.
取中点，因为是等边三角形，所以，
平面平面，
所以平面.
再取中点，连接，则，所以.
所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，，..
设，可得
所以，取平面的法向量.
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，解得或（舍去）.
所以：线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
【小问2详解】
当平面平面时, 与平面所成角为.
当平面与平面不垂直时，过做平面，连接，
则为与平面所成角，因为，
，，，所以.
故当平面平面时，与平面所成角最大.
此时，设棱锥的外接球球心为，,
所以，解得
所以三棱锥的外接球的体积为.
方法点睛：在空间直角坐标系中，求一个几何体的外接球球心，可以利用空间两点的距离公式，根据球心到各顶点的距离相等列方程求解.