广东省江门市第二中学2024-2025学年九年级下学期开学考 数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市第二中学2024-2025学年九年级下学期开学考 数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．B．2024C．D．
2．小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ）
A．随机事件B．不可能事件C．必然事件D．确定性事件
3．将抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（ ）
A．或B．或C．D．
6．已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．y随x的增大而减小
C．若矩形面积为2，则
D．若图象上两个点的坐标分别是，则
7．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米．
A．B．C．D．
8．已知关于x的方程，则下面说法正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
9．如图，是⊙O的直径，，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知，，．点为射线上一个动点，连接．将沿折叠，点落在点处．过点作的垂线，分别交，于，两点．
①当点为的中点时，；
②当点为的三等分点时，或；
③当时，．
以下选项正确的为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本大题共5小题）
11．在中，，，则的值为 ．
12．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
13．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=上，第二象限的点B在反比例函数y=上，且OA⊥OB，tanA=，则k的值为 ．
14．如图，，，且，则与是位似图形，与的位似比为 ．
15．如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为
三、解答题（本大题共8小题）
16．计算：
17．如图，在矩形中，对角线．
(1)实践与操作：作对角线的垂直平分线，与分别交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（）的条件下，连结，若，求的周长．
18．如图，在Rt中，为的中点，连接，过点作，过点作与相交于点.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长.
19．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度．
20．在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
(1)求m、n的值；
(2)五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．
21．如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)为线段延长线上一点，且满足，求证：．
22．根据以下素材，探索完成任务．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C．
(1)求的值；
(2)P为反比例函数图象上任意一点（不与重合）
①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标；
②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：的相反数是2024；
故此题答案为B．
2．【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：两人同时出相同的手势，这个事件是随机事件.
故此题答案为A．
3．【答案】A
【分析】根据二次函数的平移特点求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度后得到新抛物线是，即，
故此题答案为A．
4．【答案】B
【分析】直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，故此选项错误；
B．，是最简二次根式，故此选项正确；
C．，不是最简二次根式，故此选项错误；
D．，不是最简二次根式，故此选项错误．
故此题答案为B．
5．【答案】C
【分析】将最大距离与最小距离作差，进而求解即可．
【详解】解：圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为，
圆的半径为，
故此题答案为C．
6．【答案】C
【分析】反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断．
【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二象限，则，所以A选项错误；
B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、矩形面积为2，则，而，所以，所以C选项正确；
D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误．
故此题答案为C．
7．【答案】D
【分析】根据正弦的定义进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故此题答案为D．
8．【答案】B
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据方程可得，据此可得答案．
【详解】解：，
，
有两个不相等的实数根，
故此题答案为B．
9．【答案】D
【分析】由邻补角得出，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：是⊙O的直径，，
，
，
故此题答案为D．
10．【答案】B
【分析】证明四边形是矩形得，证明得．根据勾股定理求出可判断①；分和两种情况求解可判断②；根据求出可判断③．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
由折叠得，
如，
∴，故①正确；
如图2，当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图3，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，故②错误；
如图4，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确，
故此题答案为B．
11．【答案】
【分析】如图，由题意易得，则有，然后根据余弦的定义可进行求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
12．【答案】6
【分析】将a代入，即可得出，再把整体代入，即可得出答案．
【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴
13．【答案】−
【详解】解：作BE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F，
∵点A在反比例函数上，
∵OA⊥OB，
又
∴∠AOF=∠OBE，
∴△OBE∽△AOF，
∵tanA=
∴k=−
14．【答案】/
【分析】根据相似三角形的性质求出，根据位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比解答即可．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴，
∴,，
∴与的位似比为
15．【答案】
【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果．
【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接，
当，，当，即，
解得：，
即；
而，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时即最小，
∴当时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值为．
16．【答案】
【分析】首先根据负整数指数幂运算法则、特殊角的三角形函数值、绝对值的性质进行运算，再进行乘法运算，然后相加即可．
【详解】解：原式
．
17．【答案】(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（）根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（）利用直角三角形的性质和勾股定理可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进而可推导出的周长，即可求解
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；
（2）解：连接，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
即的周长为．
18．【答案】(1)见解析；
(2)6.
【详解】(1)证明：，
四边形是平行四边形，
在Rt中，为边的中点，
，
四边形是菱形.
（2)解：，
，
，
设，
，
，
.
19．【答案】
【分析】“测角仪”方案：如图：过C作于F，根据矩形的性质得到，,再根据三角函数的定义求解即可；
“平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可．
【详解】解：选择“测角仪”方案：
如图：过C作于F，则，，
在中，，，
，
；
选择“平面镜”方案：
由题意得，，
．
又，
，
，即，
．
20．【答案】(1)的值为3，的值为2
(2)
(3)0.5
【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出、的值；
（2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润每支利润数量”分别列出代数式即可求出与的函数关系式，注意写出自变量的取值范围；
（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令，先根据题意列出关于的关系式，再写出关于的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果．
【详解】（1）解：根据表格可得：，
解得：，
∴的值为3，的值为2；
（2）当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
∴；
（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴随的增大而减小，
当时，的值最小，
由题意可得：，
∴，
即，
解得：，
∴的最大值是0.5．
21．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到；
（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）证明：连接交于点，如图所示：
在矩形中，，则，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
22．【答案】任务1： 的半径为；任务2：水面宽度为；任务3：最多可以放入这种规格的蒸笼3个；任务4：新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径
【分析】任务1：在 中，由勾股定理和垂径定理列方程求解即可；
任务2：先求出抛物线解析式为 ，再说明水位升高后水面距锅沿的竖直的高度为，即当时，x的2倍即为水面宽度；
任务3：由题意可知：当时，；根据题意可得，运用勾股定理可得、，进而求得，最后根据的范围即可解答；
任务4：当时，则，进而得到，设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R，根据勾股定理可得，，再根据列方程求得R，进而求得直径即可．
【详解】解：（1）如图：圆心为 ，连接 ，
设 ，则 ，
，
，
∵，过圆心，
∴，
在 中， 由勾股定理可得： ，
即 ，解得：，
∴ 的半径为．
（2）由题意知抛物线的顶点为，且过 ，
∴设抛物线解析式为： ，
，解得： ，
∴抛物线解析式为： ，
∵锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高 ，
∴加水后水面水的最大深度为，
∴水面距锅沿的竖直高度为，
当时，，解得：，
∴水面宽度为．
（3）解：对于抛物线，如图所示：
当时，，则 ，
对于，如图所示：
∵，
，
，
，
，
∵
∵圆柱体蒸笼底面直径，高度为，
∴为了让锅盖能够盖上，最多可以放入这种规格的蒸笼3个．
（4）解：对于抛物线，如图所示：
当时，，则 ，
∵底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，
∴
设锅盖纵断面圆弧所在圆的半径为R，
∴，，
∵，
∴，解得：（舍弃负值），
∴新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径．
23．【答案】(1)；
(2)①2,3或；②是，
【分析】（1）将点代入中，求出，再由待定系数法求解即可；
（2）①证明，再由勾股定理得，求出的值，确定点的坐标即可；
②设点的坐标为，且，求出直线的表达式为，同理求出直线的表达式，分别得出和，再求出的值即可．
【详解】（1）解：当时，，
，即，
将点代入反比例函数中，
得，解得．
（2）由（1）可知，反比例函数的表达式为，
且直线的表达式为，
当时，，即，
直线与轴交于点，
联立得，
即，
解得，，
点坐标为2,3，
由点的坐标可知，，
直线与轴交点为，
.
① 过点作轴的平行线与点作轴的平行线交于点，与直线交于点，
,，
，
，
，
，
，
即，,
，
若，则，
，
点的横坐标为或，
则点的坐标为2,3或．
②为定值，定值为8，
设点的坐标为，且，
设直线的表达式为，
则有，解得，
直线的表达式为，
当时，，当时，，
，
已知点的坐标为，，
设直线的表达式为，
则有，解得，
直线的表达式为，
当时，，当时，，
，
则，
，
.
活动项目
测量校园中树的高度
活动方案
“测角仪”方案
“平面镜”方案
方案示意图
实施过程
①选取与树底B位子同一水平地面的D处；
②测量D，B两点间的距离；
③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树项A的仰角；
④测量C到地面的高度．
①选取与树底B位于同一水平地面的E处；
②测量E，B两点间的距离；
③在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；
④测量E，D两点间的距离；
⑤测量C到地面的高度．
测量数据
①，②；
③
①，②，③．
备注
①图上所有点均在同一平面内；
②均与地面垂直；
③参考数据：
①图上所有点均在同一平面内；
②均与地面垂直；
③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得．
次数
数量（支）
总成本（元）
海鲜串
肉串
第一次
3000
4000
17000
第二次
4000
3000
18000
探究铁锅内放蒸笼的问题
素材1
民以食为天，我们常见的大铁锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆弧面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形（如图1）．蒸笼可以看成是若干个圆柱体叠加起来．
素材2
如图2，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖口直径视为相同），把锅盖纵断面所在的圆记作．
素材3
如图3，圆柱体蒸笼底面直径，高度为，若干个这种规格的蒸笼叠加起来不需要考虑叠加缝隙．
问题解决
任务1
求弧所在的的半径；
任务2
锅中原有水的最大深度为（如图4），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高了，求此时的水面宽度；
任务3
在这个大铁锅中最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？
任务4
为加工更大的食材，现需要将一个底面直径为，高度为的圆柱体蒸笼放入铁锅内，原本的锅盖无法正常使用，需要寻找一个新的圆弧形锅盖，使得新的蒸笼放入后，锅盖能恰好盖上（且锅口直径与锅盖口直径相同）请直接写出新锅盖纵断面圆弧所在圆的直径．