广西大学附属中学2024-2025学年下学期九年级开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广西大学附属中学2024-2025学年下学期九年级开学考试 数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了本试卷分第I卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器，考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
2. 年我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是米．将数字用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法形如，其中，为整数，据此解题．
详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法与除法、积的乘方，同类项的合并；根据相关运算法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A. ，计算错误；
B. ，计算正确；
C. ，计算错误；
D. ，计算错误；
故选：B．
4. 如图，转动质地均匀的正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于4的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
任意转动正六边形转盘一次，有6种等可能结果，当转盘停止转动时，指针指向小于4的数的有1、2、3这3种结果，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵任意转动正六边形转盘一次，有6种等可能结果，当转盘停止转动时，指针指向小于4的数的有1、2、3这3种结果，
∴指针指向大于4的数的概率是．
故选：D．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，再逐项判断即可．
【详解】解：解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∴解集在数轴上表示如图：
，
故选：C．
6. 如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：s甲2＝s乙2，s丙2＝s丁2，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】利用平均数和方差的意义进行判断．
【详解】解：由折线统计图知甲、丙的平均成绩高于乙、丁，
由甲成绩相对于平均成绩的波动幅度小于丙成绩相对于平均成绩的波动幅度，
∴这四人中甲的平均成绩好又发挥稳定，
故选A．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7. 如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，得到，即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8. 小明与家人乘车去翠湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（ ）
A. 小明全家去翠湖时的平均速度为
B 小明全家停车游玩了4.5小时
C. 小明全家返回时的平均速度为
D. 小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，小明全家去翠湖时花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度=路程÷时间可判断A、C；小明全家在出发1.5小时后到达阳屏湖，在出发6小时后离开翠湖，据此可判断B；小明全家出发后，距家90千米有离家和回家过程中两个时间，据此可判断D．
【详解】A． 小明全家去翠湖时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
B． 小明全家停车游玩了小时，原说法正确，不符合题意；
C． 小明全家返回时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
D． 小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为或小时，原说法错误，符合题意；
故选：D．
9. 如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的计算方法计算方法求得侧面积．
【详解】解：∵圆锥的母线长是 ，
∴底面周长是
∴圆锥体的侧面积是：
故选C．
10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、二次函数图象开口向上，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
11. 李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，
由题意得：
解得：
个碗叠成一列高度为，
即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有，
故选：C．
12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ）
A B. C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，则有ME∥BD，，进而可得、，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可进行求解．
【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，如图所示：
∵轴，
∴ME∥BD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为4，
∴，
∵，
∴，
由题可知△OMB、△OBD的高是相同的，则有，
∴，
∵ME∥BD，
∴，
∴，
∴，
由反比例函数k的几何意义可得：，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分．）
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
14. 已知3是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是______.
【答案】2
【解析】
【分析】设方程另一根为x，根据根与系数关系即可得出结论．
【详解】方程另一根为x，由根与系数的关系得：x+3=5，解得：x=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．掌握根与系数的关系是解答本题的关键．
15. 已知二次函数的图象上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解答的关键．先得到抛物线的开口方向和对称轴，进而根据二次函数的增减性可得答案．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵当时，随的增大而减小，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可．
【详解】解：过点作，则：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：；
（2）分式化简：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算、分式的化简，涉及到负整数指数幂、零指数幂、算术平方根，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
（1）先计算零指数幂、绝对值、算术平方根、负整数指数幂，再加减运算即可求解；
（2）先计算括号内的分式减法，再利用分式乘法运算法则，结合乘法公式化简求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18. 如图，在中，，D是的中点，，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形．
（2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出．
【小问1详解】
证明：∵， D是BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
由（1）可知四边形是矩形．
∴，，，
∵D是的中点，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
即，
∴．
19. 如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．

（1）若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径．
【答案】（1）见解析 （2）拱桥的半径为米
【解析】
【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，即可求解；
（2）根据垂径定理得出，，设拱桥的半径为，在中，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，
【小问2详解】
解：如图，

设为的中点，交于点，
∵，
∴，，
设拱桥的半径为，在中，，，
∵，
∴
解得：
∴拱桥的半径为米．
【点睛】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
20. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？
【答案】（1）88；87；40
（2）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析
（3）310人
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等：
（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m的值；
（2）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论；
（3）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案．
【小问1详解】
解：八年级C组的人数为人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，
∴八年级学生成绩的中位数；
∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，
∴七年级的众数；
由题意得，，
∴；
故答案为：88；87；40；
【小问2详解】
解：八年级学生数学文化知识较好，理由如下：
∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高，
∴八年级学生数学文化知识较好；
【小问3详解】
解：人，
∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人．
21. 如图，等边的边长为4，点在边上运动，过点作于点，过点作，交于点，连接，设，的面积为．
（1）求与的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
（2）当为何值时，的面积有最大值？并求出最大值；
【答案】（1）
（2）当时，的面积有最大值，最大值为
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、二次函数的性质，正确求得函数关系式是解答的关键．
（1）利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合已知得到，由勾股定理求得，则，证明是等边三角形得到，再利用三角形的面积公式求解函数关系式，根据求解自变量的取值范围即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵等边的边长为4，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，又，
∴，则，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的面积，
∵D在上，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：由于，
∵，，
∴当时，y取最大值，最大值为，
答：当时，的面积有最大值，最大值为．
22. 综合与实践
【问题提出】
在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
【初步感知】
（1）求证：A，，，四点共圆；
【深入探究】
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
【延伸探究】
（3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆；
（2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线；
（3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径
∴是的切线；
（3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，
∵，
∴，
∵点M是边的中点，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，，
∴，
由得，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴点P一定在的垂直平分线上，
∴点P在直线上，
∴当时，有最小值，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴圆心P与点M距离的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定，四边形的外接圆的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．
23. 如图，抛物线过点，顶点为．抛物线（其中为常数，且），顶点为．
（1）求出的值和点的坐标．
（2）当时，作直线，当与的交点到轴的距离恰为6时，求与轴交点的横坐标．
（3）设与交点A，B的横坐标分别为，，且，点在上，横坐标为．点在上，横坐标为，若点是到直线的距离最大的点，最大距离为，点到直线的距离恰好也为，请用含和的式子表示．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）如图，先求得直线的函数解析式，当可得，可得交点，交点，再进一步求解即可；
（3）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点，顶点为Q．
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
∴；
【小问2详解】
解：当时，，
∴顶点，而，
∴设为，
∴，
解得：，
∴为；
如图，由题意，时两直线重合不符合题意，
∴，
解得，
∴交点，交点，
当直线过点时，
由直线，设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为：，
当时，，
此时直线与轴交点的横坐标为；
同理当直线过点，
直线为：，
当时，，
此时直线与轴交点的横坐标为，
综上，直线与轴交点的横坐标为或；
【小问3详解】
解：如图，∵，，
∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接交于，连接，，，，
∴四边形是平行四边形，
当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，
此时与B重合，与A重合，
∵，，
∴的横坐标为，
∵，，
∴的横坐标为，
∴，
解得：；
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质、坐标与图形性质等知识，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．年级
平均数
中位数
众数
七年级
86
87
八年级
86
90