2024-2025学年山西省大同市高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省大同市高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线的倾斜角为，则（ ）
A．0 B． C． D．不存在
2.已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知直线：与直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ）
A． B． C．D．
5.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，, D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6.已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7.已知两点，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. 已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列说法中不正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
C. 过两点的直线的方程为
D. 直线在在y轴上的截距为
10.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．向量与的夹角的余弦值为
C．点关于轴的对称点坐标为
D．向量在上的投影向量为
11.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的表面积为
B. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C. 若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D. 的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知点在平面上，点是空间内任意一点，且（），则的值为 .
13.直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为 .
14.在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.
(1)求边上的中线的一般式方程；
(2)求经过点且与直线垂直的直线方程.
16.（本小题满分15分）
已知，，且.
(1)求；
(2)求与夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知直线
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
18.（本小题满分17分）
已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，点分别是的中点，平面．
(1)求证：；
(2)求点B到平面 QUOTE 的距离；
(3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面 QUOTE 所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分17分）
已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.
(1)若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；
(2)已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧. 是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求平面与夹角的余弦值；若不存在，说明理由.
2024-2025学年山西省大同市高二上学期10月月考数学学情检测试卷
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若直线的倾斜角为，则（ ）．
A．0B．C．D．不存在
【正确答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【分析】根据直线的方程即可求解.
【详解】因为，
为一常数，故直线的倾斜角为，
故选：C
2. 已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【正确答案】B
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值.
【详解】向量，且，
所以，解得，
故选：B.
3. 已知直线：与直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【正确答案】C
4.在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【详解】连接，因为，分别是的中点，
所以
，
故．
故选：A
5. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，, D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
由题设，构造如下图示的空间直角坐标系，则，
所以，则.
所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为.
故选：A
6.已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
，则点到直线的距离为：
.
7. 已知两点，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【正确答案】D
由直线，变形可得，直线恒过定点，
则，又直线的斜率为，
若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.故选：D.
8.已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. 已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【正确答案】B
（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则 ，
等号成立的条件是，所以的最小值为，
则两直线的夹角的最小值为；
二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
C. 过两点的直线的方程为
D. 直线在在y轴上的截距为
【正确答案】ACD
【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可.
【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错；
B：由题设，直线方程为，显然在直线上，对；
C：过且两点的所有直线的方程为，故B错误；
D：直线在y轴上的截距为，错.
10. 在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．向量与的夹角的余弦值为
C．点关于轴的对称点坐标为
D．向量在上的投影向量为
【正确答案】BD
【分析】根据空间两点距离公式可判断A；根据空间向量的夹角坐标公式可判断B；根据点的对称性可判断C；根据投影向量的概念可判断D.
【详解】记，，
对于A，，故A错误；
对于B，，，，
设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选：BD．
11.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的表面积为
B. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C. 若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D. 的取值范围为
【正确答案】ABD
【分析】连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断；
对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断；
对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断；
对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得.
【详解】连结OB.
在三棱锥中，，，.
所以,,且,.
所以，所以.
又因为，所以面ABC.
可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以,,,.
对于A：在三棱锥中，，，，
所以底面三角形为直角三角形，其面积为；
为边长为2的等边三角形，所以面积为；
和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；
所以三棱锥的表面积为.故A正确；
对于B：为棱的中点，所以,所以,.
所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；
对于C：点是棱上一动点，不妨设，（） .
所以.
设为面PAM的一个法向量，则，
不妨设y=1，则
.因为与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得：取，则
显然，面PAC一个法向量为.
设二面角的平面角为，所以，
所以.
故C错误；
对于D:
如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.
当M与B重合时，；
当M与C重合时，最大；
连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.
此时，，所以.
由余弦定理得：
.
所以取值范围为.
故D正确.
故选：ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知点在平面上，点是空间内任意一点，且（），则的值为 .
【正确答案】
13. 直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为 .
【正确答案】
【详解】 ∵直线的一个方向向量为，∴，
∴直线的方程为，即．
14. 在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为 .
【正确答案】
正方体中，可得平面，且平面，
所以，则，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为，
则，所以，即，
又由，设与平面所成的角，
所以，
因为，可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即时，与平面所成的角最大值，即，
可得，
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. （本小题满分13分）
已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.
(1)求边上的中线的一般式方程；
(2)求经过点且与直线垂直的直线方程.
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程；
（2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程.
【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即.
（2）由于直线的斜率是，.所以经过点且与直线垂直的直线方程为，即.
16. （本小题满分13分）
已知，，且.
(1)求；
(2)求与夹角的余弦值.
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示可求得，即可计算出即可求得模长为；
（2）根据向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】（1）根据题意由可得，
即，解得；
所以，
因此，即.
（2）易知，且；
所以，
即与夹角的余弦值为.
17. （本小题满分15分）
已知直线
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【正确答案】(1)；(2) 4，
（1）由直线不经过第四象限，又，
则，解得；
（2）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面为，由直线的方程可得与坐标轴的交点，，
则，解得：．
，
当且仅当，即时取等号．
的最小值为4，及此时直线的方程为：．
18．（本小题满分17分）
已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、的中点，平面．
(1)求证：；
(2)求点B到平面的距离；
(3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
【正确答案】(1)证明见详解
(2)
(3)存在点满足题意，
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，又底面是正方形，则，
且与是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，所以，
又分别是的中点，所以，
所以.
（2）因为分别是的中点，
所以，
所以平面即是平面，
由（1）知平面，则平面，平面，
，则，
设点到平面的距离为，由，
得，即，
解得，
所以点到平面的距离为.
（3）如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且，
，，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
，
，整理得，
解得或（舍），
，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
19．（本小题满分17分）
已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.
(1)若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；
(2)已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧.是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求平面与夹角的余弦值；若不存在，说明理由.
【正确答案】(1)答案见解析
(2)存在，.
【分析】（1）分两种情况得出的所有可能值以及相应的的个数；
（2）先根据已知得出，再计算求得余弦值.
【详解】（1）①情形一：分别取的中点，
由中位线性质可知，
此时平面为的一个1阶等距平面，
为正四面体高的一半，等于.
由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况；
②情形二：分别取的中点
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，
则为正方体棱长的一半，等于.
由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，
这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个.
（2）在线段上分别取一点，
使得，则平面即为平面.
如图，取中点，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
，设，
，
设平面法向量为
所以，即，
所以，
又平面的法向量为，
设平面与夹角为
所以，
所以平面与夹角余弦值为.