2024-2025学年山西省大同市高二上册10月月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省大同市高二上册10月月考数学质量检测试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 若，，三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在长方体中，为棱的中点.若，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4. 两平行直线：，：之间的距离为（ ）
A B. 3C. D.
5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D. 3
7. 如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（ ）
A B. C. D.
8. 在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ）
A. 若三个非零向量能构成空间一个基底，则它们一定不共面
B. 若，则，的夹角是锐角
C. 不相等的两个空间向量的模可能相等
D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底
10 已知直线，直线，则（ ）
A. 当时，与交点为
B. 直线恒过点
C. 若，则
D. 存在，使
11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ）
A. 若点在平面内，则B. 若，则
C. 当时，三棱锥的体积为D. 当时，长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为______．
13. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________．
14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在梯形中，，，已知，，．
（1）求点的坐标；
（2）求梯形的面积．
16. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）若点在棱，且平面，求的长度.
18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球的半径为，，，为球面上三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）将图1中四面体截出得到图2，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①证明：；
②延长与球交于点，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，为的中点，为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
2024-2025学年山西省大同市高二上学期10月月考数学质量检测试卷
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线经过，两点，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据两点坐标求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得出答案.
【详解】设直线的倾斜角为，则，又，所以．
故选：C．
2. 若，，三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用共线向量的性质，设且，进而列方程求解.
【详解】三点共线，且，
得，解得,
故选：A.
3. 在长方体中，为棱的中点.若，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据向量线性运算法则，结合题意即可求解.
【详解】因为长方体中，为棱的中点，
所以，
故选：A.
4. 两平行直线：，：之间的距离为（ ）
A. B. 3C. D.
【正确答案】A
【分析】利用两平行直线之间的距离公式求解即可．
【详解】由题意得：
直线，，
，，两直线为平行直线，
直线，
两平行直线之间距离为．
故选：A
5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
6. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ）
A. B. C. D. 3
【正确答案】C
【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可.
【详解】因为，，则，
点在平面内，点平面外，
平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故选：C.
7. 如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角即可
【详解】因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
所以DP，DC，DA两两互相垂直，
以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由，得，，，，，
所以，，
设异面直线AC与BQ所成的角为，
则，
又，
所以异面直线AC与BQ所成的角为．
故选：A．
8. 在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可.
【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点，
连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为是棱上一动点，设，且，
因为，且，
所以，于是令，
所以，，
又函数在上为增函数，
所以当时，，即线段长度的最小值为.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ）
A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面
B. 若，则，的夹角是锐角
C. 不相等的两个空间向量的模可能相等
D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底
【正确答案】AC
【分析】根据空间向量基本定理即可判断AD；对B，举例即可反驳；根据空间向量定义即可判断C.
【详解】选项A，由空间向量基本定理可知正确；
选项B，当且，时，，故B错误；
选项C，由空间向量定义可知正确；
选项D，由空间向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误.
故选：AC.
10. 已知直线，直线，则（ ）
A. 当时，与的交点为
B. 直线恒过点
C. 若，则
D. 存在，使
【正确答案】ABC
【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D.
【详解】对于A，当时，直线，直线，
联立，解得，
所以两直线的交点为，故A正确；
对于B，直线，即，
令，即，所以直线恒过点，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于D，假设存在，使，则，
解得或，
当，，，两直线重合，舍去，
当时，，即，
，即，两直线重合，舍去，
所以不存在，使，故D错误.
故选：ABC.
11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ）
A. 若点在平面内，则B. 若，则
C. 当时，三棱锥的体积为D. 当时，长度的最小值为
【正确答案】ABD
【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D.
【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有，
所以，
又，则，故A正确；
对于选项B，由题意易得，
，且，
又，即，
故，解得，故B正确；
对于选项C，由题易知四面体为正四面体，
设在平面内的射影为点，
则为的中心，易得，．
当时，到平面的距离为，
所以，故C错误；

对于选项D，由B知，
，
又，
由基本不等式可知，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以长度的最小值为，故D正确．
故选：ABD．
关键点睛：本题关键在于利用空间向量的的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为______．
【正确答案】
【分析】根据直线与直线垂直与斜率的关系得到直线的斜率，再结合其截距即可得到答案.
【详解】因为直线与直线垂直，所以直线的斜率，
又直线在轴上的截距为4，即直线过点，
由点斜式可得直线，化简得
故答案为.
13. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________．
【正确答案】2
【分析】通过已知点的坐标，求出底面的面积，高的数值，然后求出三棱锥的体积．
【详解】由题意得，所以
所以的面积为，
点都在平面上，点到平面的距离3，
所以三棱锥的体积为．
故
14. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______.
【正确答案】
【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.
【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.
如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值.
设，则
解得即，
关于轴的对称点为，
故周长的最小值为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在梯形中，，，已知，，．
（1）求点的坐标；
（2）求梯形的面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用直线的位置关系及斜率公式计算即可；
（2）法一、计算对角线长结合三角形面积公式求梯形面积即可；法二、利用两点距离公式先计算梯形上下底长，再求一底边所在直线，根据点到直线的距离公式计算梯形的高，利用梯形面积公式计算即可.
【小问1详解】
设，由，得，即，
由，得，即，
所以，，即点的坐标为．
【小问2详解】
方法一：，，
设，又，
所以梯形的面积
；
方法二：，
，
由，，得直线的方程为，
点到直线的距离．
所以梯形的面积．
16. 如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【正确答案】（1）
（2）．
【分析】（1）以O为原点，建立空间直角坐标系，设直线与所成的角为，计算，,通过计算即可；
（2）由（1）得，设直线与平面所成的角为，计算平面法向量，则通过计算即可.
【小问1详解】
以为原点，的方向分别作为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
设直线与所成的角为，
则，
即直线与所成角余弦值是．
【小问2详解】
由（1）知，，，
设平面的法向量为n=x,y,z，则
取，得，所以平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17. 如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）若点在棱，且平面，求的长度.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）3
【分析】（1）连接，，，先可得到四边形为平行四边形，进而得到，结合即可得到，进而求证；
（2）建立空间直角坐标系，设，结合空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：连接，，，
因为，，，分别为棱，，，中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，
所以，所以，，，四点共面.
【小问2详解】
以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由，，，，，分别为棱，，，的中点，
可得，，，，
则，，
设，即，则，
由平面，故，
即，解得，
所以.
18. 如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接交于点，借助全等三角形的判定定理可得，从而可得，即可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，设，再借助体积公式计算出的值，从而可计算出平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可得.
【小问1详解】
如图，连接交于点，
因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为平面，
所以平面，又平面，所以．
又因为，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设，则，即点，
则三棱锥的体积，解得，
所以，则，
设平面的法向量，
由，令，则，
即可得平面的一个法向量，
由轴平面，故为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值是．

19. 球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球的半径为，，，为球面上三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）将图1中四面体截出得到图2，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①证明：；
②延长与球交于点，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，为的中点，为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
【正确答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；
（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式可求正弦值的最小值.
【小问1详解】
若平面，平面，平面两两垂直，有，
所以球球面三角的面积为；
【小问2详解】
①由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
②由是球的直径，则，
且，平面，
所以平面，且平面，则，
且，平面，可得平面，
由直线直线，与平面所成的角分别为，，
所以，
不妨先令，则，
由，
以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，
则，
可得，
则，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
可得平面的一个法向量为，
设平面法向量为，
则，取，则，
可得平面法向量为，
要使取最小值，则取最大值，
因为，
，
令，则，
可得，
当且仅当取等号．
则取最大值，为最小值.