2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题1.2常用逻辑用语【六大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题1.2常用逻辑用语【六大题型】特训(学生版+解析)，共28页。

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\l "_Tc28768" 【题型1 充分条件与必要条件的判断】 PAGEREF _Tc28768 \h 3
\l "_Tc11041" 【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】 PAGEREF _Tc11041 \h 3
\l "_Tc13045" 【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】 PAGEREF _Tc13045 \h 4
\l "_Tc29986" 【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】 PAGEREF _Tc29986 \h 4
\l "_Tc23504" 【题型5 根据命题的真假求参数】 PAGEREF _Tc23504 \h 5
\l "_Tc12693" 【题型6 常用逻辑用语与集合综合】 PAGEREF _Tc12693 \h 5
1、常用逻辑用语
【知识点1 常用逻辑用语】
1．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
4.存在量词与存在量词命题
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设.
(1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
(2)若，则是的必要条件，是的充分条件；
(3)若，则与互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
【题型1 充分条件与必要条件的判断】
【例1】（2024·天津·二模）已知a,b∈R，则“a=b=0”是“a+b=0”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）命题“x+y≤6”是“x≤2，或y≤4”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2023·上海普陀·二模）设a,b为实数，则“a>b>0”的一个充分非必要条件是（ ）
A．a−1>b−1B．a2>b2
C．1b>1aD．a−b>b−a
【变式1-3】（2023·江苏南京·模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】
【例2】（23-24高三上·四川·期中）已知p:x−a>0,q:x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a∣a1}D．a∣a≥1
【变式2-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合A=xx2−4=0，B=xax−2=0，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．−1,0,1B．−1,1C．1D．−1
【变式2-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．a>2或a2，条件q:x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1B．a≥1C．a≥−1D．a≤−3
【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．∃x∈R，x≤0
B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C．∃x∈{x|x是无理数}，x+5是无理数
D．存在x∈R，使得x2+10B．∀x∈N∗，x−12>0
C．∃x∈R，lgx0；②∀x∈N,x4≥1；③∃x∈Z,x31，函数fx=xa在a,+∞上不单调递增
C．∃a≤1，函数fx=xa在a,+∞上单调递减
D．∃a≤1，函数fx=xa在a,+∞上不单调递增
【变式4-2】（2024高三·全国·专题练习）已知命题p：∀x>0，ex+2x≤4，则¬p为（ ）
A．∃x≤0，ex+2x>4B．∃x>0，ex+2x>4
C．∃x>0，ex+2x≤4D．∀x>0，ex+2x>4
【变式4-3】（2024·山西·模拟预测）命题“∀x∈0,π2，ex+2sinx>2x”的否定是（ ）
A．“∀x∈0,π2，ex+2sinx≥2x”B．“∀x∈0,π2，ex+2sinx≤2x”
C．“∃x∈0,π2，ex+2sinx≤2x”D．“∃x∈0,π2，ex+2sinx4B．a≥4C．a13−13x3，则¬p为（ ）
A．∀x>1，lnx≤13−13x3B．∃x≤1，lnx1，lnx≤13−13x3
3．（2024·四川绵阳·二模）已知x>0,y>0，则“x+y≥1”是“x2+y2≥1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·山东·二模）已知a∈R，若集合M=1,a,N=0,1,2，则“a=0”是“M⊆N”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2023·河北·模拟预测）命题p：∀x>1，x+2x−3>0，命题q：∃x∈R，2x2−4x+3=0，则（ ）
A．p真q真B．p假q假C．p假q真D．p真q假
6．（2023·重庆·模拟预测）命题“∀−2≤x≤3,x2−2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．a≥1B．a≥92C．a≥5D．a≤4
7．（2023·四川绵阳·一模）若命题“∀x∈R，m≥sinx+csx”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥2B．m≥2C．m≤−2D．m≤−2
8．（2024·全国·模拟预测）已知向量a→=4,m，b→=m−2,2，则“m=4”是“a→与b→共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．（23-24高一下·云南红河·开学考试）下列说法正确的是（ ）.
A．命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x+1b”是“a2>b2”的充分条件
D．“x>4”是“x>2”的充分不必要条件
10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合A=xx≤3，集合B=xx≤m+1，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有（ ）
A．m>0B．m>1C．m>3D．m>4
11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知两个命题：（1）若x>0，则2x+1>5；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（ ）
A．命题（2）是全称量词命题
B．命题（1）的否定为：存在x>0,2x+1≤5
C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等
D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题
三、填空题
12．（2023·贵州遵义·模拟预测）命题p:∃x0∈R,x02−mx0+m+32”是“x2−a>2”的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
14．（2023·四川南充·模拟预测）若命题“∃x∈R，使得x2+2x−m=0成立”为真命题，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高一上·山西长治·期末）已知命题p:∀x∈R,x2−x−2>0．
(1)写出命题p的否定；
(2)判断命题p的真假，并说明理由．
16．（2023·重庆酉阳·一模）命题p：任意x∈R，x2−2mx−3m>0成立；命题q：存在x∈R，x2+4mx+16，这与已知x+y≤6矛盾.
故假设错误，即x≤2，或y≤4成立.
②“x≤2，或y≤4 ⇒ x+y≤6”.
因为当x=2,y=100时，满足条件x≤2，或y≤4，
此时x+y=102，不满足x+y≤6.
故“x≤2，或y≤4”⇒“x+y≤6”.
故选：A.
【变式1-2】（2023·上海普陀·二模）设a,b为实数，则“a>b>0”的一个充分非必要条件是（ ）
A．a−1>b−1B．a2>b2
C．1b>1aD．a−b>b−a
【解题思路】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与a>b>0推出关系即可.
【解答过程】由a−1>b−1，则a−1>b−1b−1≥0，可得a>b≥1，可推出a>b>0，反向推不出，满足；
由a2>b2，则|a|>|b|，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；
由1b>1a，则a>b>0或b>0>a或0>a>b，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；
由a−b>b−a，则a>b，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；
故选：A.
【变式1-3】（2023·江苏南京·模拟预测）设A，B，C，D是四个命题，若A是B的必要不充分条件，A是C的充分不必要条件，D是B的充分必要条件，则D是C的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用充分条件必要条件之间的关系进行推理判断即可.
【解答过程】因为A是B的必要不充分条件，所以B⇒A，A推不出B，
因为A是C的充分不必要条件，所以A⇒C，C推不出A，
因为D是B的充要条件，所以D⇒B，B⇒D，
所以由D⇒B，B⇒A，A⇒C可得D⇒C，
由C推不出A，A推不出B，B⇒D可得C推不出D.
故D是C的充分不必要条件.
故选：B.
【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】
【例2】（23-24高三上·四川·期中）已知p:x−a>0,q:x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a∣a1}D．a∣a≥1
【解题思路】先化简条件，利用充分不必要条件列出不等关系，求解即可.
【解答过程】p:x>a，因为p是q的充分不必要条件，所以a>1.
故选：C.
【变式2-1】（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合A=xx2−4=0，B=xax−2=0，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．−1,0,1B．−1,1C．1D．−1
【解题思路】由题意，对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的a的值即可．
【解答过程】由题，A=−2,2，BA，
当B=∅时，有a=0，符合题意；
当B≠∅时，有a≠0，此时B=2a，所以2a=2或2a=−2，所以a=±1.
综上，实数a的所有可能的取值组成的集合为−1,0,1.
故选：A.
【变式2-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．a>2或a0，
解得a>2或a2或a2，条件q:x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1B．a≥1C．a≥−1D．a≤−3
【解题思路】解不等式得到p: x1，根据题意得到q是p的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案.
【解答过程】由条件p:x+1>2，解得x1；
因为¬p是¬q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，
故A=xx>a是B=xx1的真子集，
则a的取值范围是a≥1，
故选：B．
【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．∃x∈R，x≤0
B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C．∃x∈{x|x是无理数}，x+5是无理数
D．存在x∈R，使得x2+10
C．∃x∈R，lgx0；②∀x∈N,x4≥1；③∃x∈Z,x30恒成立，所以命题∀x∈R,x2+1>0为真命题；
②中，当x=0时，此时00，ex+2x≤4，则¬p为（ ）
A．∃x≤0，ex+2x>4B．∃x>0，ex+2x>4
C．∃x>0，ex+2x≤4D．∀x>0，ex+2x>4
【解题思路】首先分析题意，利用命题的否定知识解答即可.
【解答过程】易知全称量词命题的否定是特称量词命题，而命题p：∀x>0，ex+2x≤4是全称量词命题，
所以¬p为“∃x>0，ex+2x>4” ，
故选:B.
【变式4-3】（2024·山西·模拟预测）命题“∀x∈0,π2，ex+2sinx>2x”的否定是（ ）
A．“∀x∈0,π2，ex+2sinx≥2x”B．“∀x∈0,π2，ex+2sinx≤2x”
C．“∃x∈0,π2，ex+2sinx≤2x”D．“∃x∈0,π2，ex+2sinx2x”的否定为：
存在量词命题“∃x∈0,π2，ex+2sinx≤2x”.
故选：C.
【题型5 根据命题的真假求参数】
【例5】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”是真命题的充要条件是（ ）
A．a>4B．a≥4C．a−x2+2x+2，
−x2+2x+2=−(x−1)2+3，x∈0,1，
则当x=0时，−x2+2x+2取最小值2，所以a>2，
命题q:∀x∈R,x2−2x−a≠0，则Δ=(−2)2+4a0,y>0，取x=y=23，此时x+y=43≥1，而x2+y2=89x2+y2≥1，
所以“x+y≥1”是“x2+y2≥1”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2024·山东·二模）已知a∈R，若集合M=1,a,N=0,1,2，则“a=0”是“M⊆N”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由M⊆N，可得a=0或a=2，再由充分不必要条件的定义即可得答案.
【解答过程】因为M⊆N，
则a=0或a=2，
所以a=0⇒M⊆N，
由M⊆N推不出a=0.
故选:A．
5．（2023·河北·模拟预测）命题p：∀x>1，x+2x−3>0，命题q：∃x∈R，2x2−4x+3=0，则（ ）
A．p真q真B．p假q假C．p假q真D．p真q假
【解题思路】对于命题p：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题q：根据存在命题结合二次函数的Δ判别式分析判断.
【解答过程】对于命题p：令t=x>1，则y=t+2t2−3=2t2+t−3开口向上，对称轴为t=−14，
且y|x=1=0，则y=2t2+t−3>0，
所以∀x>1，x+2x−3>0，即命题p为真命题；
对于命题q：因为Δ=−42−4×2×3=−8b2”的充分条件
D．“x>4”是“x>2”的充分不必要条件
【解题思路】
利用量词命题的否定与真假性判断AB，利用充分与必要条件的定义判断CD，从而得解.
【解答过程】对于A，根据存在量词命题的否定形式可知A正确；
对于B，在x2−x+1=0中，Δ=1−4b，但a2=14是xx>2的真子集，所以“x>4”是“x>2”的充分必要不条件，故D正确.
故选：ABD.
10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合A=xx≤3，集合B=xx≤m+1，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有（ ）
A．m>0B．m>1C．m>3D．m>4
【解题思路】由A∩B=A成立的充要条件求出对应的参数m的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【解答过程】A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，
对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4.
故选：CD.
11．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知两个命题：（1）若x>0，则2x+1>5；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（ ）
A．命题（2）是全称量词命题
B．命题（1）的否定为：存在x>0,2x+1≤5
C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等
D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题
【解题思路】对于A，由全称量词命题的定义即可判断；对于BC，由命题否定的定义即可判断；由命题及其否定的真假性的关系即可得解.
【解答过程】对于A，若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，故A正确；
对于B，命题（1）的否定为：存在x>0,2x+1≤5，故B正确；
对于C，命题（2）的否定是：存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误；
对于D，由于命题（2）：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误.
故选：AB.
三、填空题
12．（2023·贵州遵义·模拟预测）命题p:∃x0∈R,x02−mx0+m+32”的充分不必要条件，则a的取值范围是 −∞,2 ．
【解题思路】根据题意转化为当x>2时，x2−a>2恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【解答过程】由x>2是x2−a>2的充分不必要条件，可转化为当x>2时，x2−a>2恒成立，
即当x>2时，a2不等价于x>2，所以a的取值范围是−∞,2．
故答案为：−∞,2.
14．（2023·四川南充·模拟预测）若命题“∃x∈R，使得x2+2x−m=0成立”为真命题，则实数m的取值范围是 −1,+∞ ．
【解题思路】根据题意得到Δ=4+4m≥0，再解不等式即可.
【解答过程】因为命题“∃x∈R，使得x2+2x−m=0成立”为真命题，
所以Δ=4+4m≥0，解得m≥−1.
故答案为：−1,+∞.
四、解答题
15．（23-24高一上·山西长治·期末）已知命题p:∀x∈R,x2−x−2>0．
(1)写出命题p的否定；
(2)判断命题p的真假，并说明理由．
【解题思路】（1）根据全称量词命题的否定的知识写出命题p的否定.
（2）根据二次函数的知识进行判断.
【解答过程】（1）由命题p:∀x∈R,x2−x−2>0，
可得命题p的否定为∃x∈R,x2−x−2≤0；
（2）命题p为假命题，理由如下：
因为y=x2−x−2=x+1x−2，当−1≤x≤2时，x2−x−2≤0，
故命题p为假命题．
16．（2023·重庆酉阳·一模）命题p：任意x∈R，x2−2mx−3m>0成立；命题q：存在x∈R，x2+4mx+10，得m12，
所以q假：−12≤m≤12；
（2）p真：Δ=4m2+12m