2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题3.1导数的概念及其意义、导数的运算【九大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题3.1导数的概念及其意义、导数的运算【九大题型】特训(学生版+解析)，共39页。

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\l "_Tc23231" 【题型1 导数的定义及其应用】 PAGEREF _Tc23231 \h 2
\l "_Tc413" 【题型2 （复合）函数的运算】 PAGEREF _Tc413 \h 3
\l "_Tc1458" 【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 PAGEREF _Tc1458 \h 3
\l "_Tc13649" 【题型4 求在曲线上一点的切线方程、过一点的切线方程】 PAGEREF _Tc13649 \h 4
\l "_Tc16651" 【题型5 与切线有关的参数问题】 PAGEREF _Tc16651 \h 4
\l "_Tc9099" 【题型6 切线的条数问题】 PAGEREF _Tc9099 \h 5
\l "_Tc10933" 【题型7 两条切线平行、垂直问题】 PAGEREF _Tc10933 \h 5
\l "_Tc2596" 【题型8 公切线问题】 PAGEREF _Tc2596 \h 6
\l "_Tc19008" 【题型9 与切线有关的最值问题】 PAGEREF _Tc19008 \h 6
1、导数的概念及其意义、导数的运算
【知识点1 导数的运算的方法技巧】
1.导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【知识点2 复合函数的导数】
1.复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函
数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y
对u的导数与u对x的导数的乘积.
3.求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
【知识点3 切线问题的解题策略】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3.与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4.公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般
是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（2024·重庆·模拟预测）limΔx→02+Δx3−23Δx=（ ）
A．72B．12C．8D．4
【变式1-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数fx在x0处的导数为f′x0，则limΔx→0fx0−fx0−mΔxΔx等于（ ）
A．mf′x0B．−mf′x0C．−1mf′x0D．1mf′x0
【变式1-2】（23-24高二下·江西赣州·期中）设fx存在导函数且满足limΔx→0f1−f1−2Δx2Δx=−1，则曲线y=fx上的点1,f1处的切线的斜率为（ ）
A．−1B．−2C．1D．2
【变式1-3】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=−1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则f1k−1与1k−1大小关系一定是（ ）
A．f1k−1≥1k−1B．f1k−1≤1k−1
C．f1k−1>1k−1D．f1k−1