2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题5.4复数【七大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题5.4复数【七大题型】特训(学生版+解析)，共34页。

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\l "_Tc29131" 【题型1 复数的概念】 PAGEREF _Tc29131 \h 6
\l "_Tc18760" 【题型2 复数的四则运算】 PAGEREF _Tc18760 \h 6
\l "_Tc13785" 【题型3 复数的几何意义】 PAGEREF _Tc13785 \h 7
\l "_Tc18108" 【题型4 复数的相等】 PAGEREF _Tc18108 \h 7
\l "_Tc16700" 【题型5 复数的模】 PAGEREF _Tc16700 \h 7
\l "_Tc30576" 【题型6 复数的三角表示】 PAGEREF _Tc30576 \h 8
\l "_Tc7210" 【题型7 复数与方程】 PAGEREF _Tc7210 \h 9
1、复数
【知识点1 复数的概念】
1．复数的概念
(1)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(3)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
【知识点3 复数的运算】
1．复数的四则运算
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(3)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(4)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
2．复数加法、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差
-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【知识点4 复数有关问题的解题策略】
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则.
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【方法技巧与总结】
1．(1±i)2=±2i；；.
2．.
3．.
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.
【题型1 复数的概念】
【例1】（2024·湖北·模拟预测）已知z=i−1+2i，则z的虚部为（ ）
A．2B．−1 C．2i D．−i
【变式1-1】（2024·宁夏银川·一模）已知复数z=m2−1+m+i2⋅im∈R表示纯虚数，则m=（ ）
A．1B．−1C．1或−1D．2
【变式1-2】（2024·吉林白山·一模）复数z=i+2i2+3i3，则z的虚部为（ ）
A．2iB．−2iC．2D．−2
【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知复数z=m2−7m+6+m2−36i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．±6B．1或6C．−6D．1
【题型2 复数的四则运算】
【例2】（2024·西藏·模拟预测）已知复数z=2−i，则zz−z=（ ）
A．−12+iB．12−iC．12+iD．−12−i
【变式2-1】（2024·河南·三模）已知i为虚数单位，1+i31−i2=（ ）
A．1+iB．1−iC．−1+iD．−1−i
【变式2-2】（2024·陕西西安·三模）已知复数z=3+i，则z−iz−1的虚部为（ ）
A．−3B．−35C．3D．35
【变式2-3】（2024·北京·三模）若复数z=a−1+5a+1i为纯虚数，其中a∈R，i为虚数单位，则a+i51−ai=（ ）
A．iB．−iC．1D．−1
【题型3 复数的几何意义】
【例3】（2024·江西上饶·模拟预测）在复平面内，复数z=12+i对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【变式3-1】（2024·重庆·二模）若复数z=2−a+2a−1ia∈R为纯虚数，则复数z+a在复平面上的对应点的位置在（ ）
A．第一象限内B．第二象限内
C．第三象限内D．第四象限内
【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内A,B,C三点所对应的复数分别为1−i,2−i,3+i，若四边形ABCD为平行四边形，则点D对应的复数为（ ）
A．2B．2+iC．1D．1+i
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知z1=2−i，z2=a−2i（a∈R，i为虚数单位）．若z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，点O为原点，且OZ1⊥OZ2，则a=（ ）
A．1B．－1C．4D．－4
【题型4 复数的相等】
【例4】（2023·全国·三模）已知i3=a−bia,b∈R，则a+b的值为（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式4-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知x+yi1+i=2−i，x,y∈R，则x+y=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式4-2】（2023·内蒙古包头·一模）设a(1+i)+b=−i，其中a，b是实数，则（ ）
A．a=−1,b=−1B．a=−1,b=1C．a=1,b=1D．a=1,b=−1
【变式4-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知i为虚数单位，x,y为实数，若x+yi+2=3−4i+2yi，则x+y=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【题型5 复数的模】
【例5】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知复数z=i1−i，z表示z的共轭复数，则z=（ ）
A．24B．12C．22D．2
【变式5-1】（2024·河北·模拟预测）若复数z=3−4i，则z⋅i−z=（ ）
A．2B．5C．52D．72
【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知a∈R，若z=a+i2i−1为纯虚数，则|z|=（ ）
A．2B．2C．1D．12
【变式5-3】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知复数z1,z2,z1≠z2，若z1,z2同时满足|z|=1和|z−1|=|z−i|，则z1−z2为（ ）
A．1B．3C．2D．23
【题型6 复数的三角表示】
【例6】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(csx+i⋅sinx)n=cs(nx)+i⋅sin(nx)（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数csπ3+i⋅sinπ32在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式6-1】（2024·广东·模拟预测）棣莫弗公式(csx+isinx)n=csnx+isinnx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数ω=cs2π3+i⋅sin2π3，则ω4的值是（ ）
A．−ωB．1ωC．ωD．ω
【变式6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数z=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)在复平面内对应点为Z，设r=OZ,θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z=a+bi=rcsθ+isinθ，把rcsθ+isinθ叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[rcsθ+isinθ]n=rncsnθ+isinnθn∈N*，例如：−12+32i3=cs2π3+isin2π33=cs2π+isin2π=1，(1+i)4=2csπ4+isinπ44=4csπ+isinπ=−4，复数z满足：z3=1+i，则z可能取值为（ ）
A．2csπ12+isinπ12B．2cs3π4+isin3π4
C．62cs5π4+isin5π4D．62cs17π12+isin17π12
【变式6-3】（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数z=a+bi都可以表示成三角形式，即a+bi=rcsθ+isinθ．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r1csθ2+isinθ2，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2，已知复数z=12+32i，则z2023+z2+z=（ ）
A．12B．12+32iC．12−32iD．1
【题型7 复数与方程】
【例7】（2024·山西阳泉·三模）已知2+i是实系数方程x2+px−q=0的一个复数根，则p+q=（ ）
A．−9B．−1C．1D．9
【变式7-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程x2−2x+2=0的两个根分别为x1，x2，则x1+2x2=（ ）
A．1B．5C．7D．10
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知1+2i是方程x2+mx+5=0(m∈R)的一个根，则m=（ ）
A．－2B．2C．iD．－1
【变式7-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程x2+ix+1=0（其中i为虚数单位）的两根分别为z1，z2，则有（ ）
A．z12=z22>0B．z1+z2=z1z2C．1+z1=1+z2D．z1z2z1+z2=i
一、单选题
1．（2024·北京大兴·三模）已知m−i2为纯虚数，则实数m=（ ）
A．0B．1C．−1D．±1
2．（2024·新疆·三模）复数z满足z+2i=z，则z的虚部为（ ）
A．−iB．iC．−1D．1
3．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数z=10i1−3i，则z=（ ）
A．5B．10C．5D．10
4．（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足z+2z=3+i（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（2024·浙江·模拟预测）已知z=−1+3i2，则z2−1=（ ）
A．1B．3C．2D．32
6．（2024·四川内江·模拟预测）若复数z满足z2−2z+4=0，则z=（ ）
A．3B．2C．5D．2
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数z满足3−iz−i=3，则复数z的共轭复数z=（ ）
A．12−32iB．12+32iC．32−12iD．32+12i
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式eiθ=csθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，csθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则eiπ+1=（ ）
A．−1B．0C．1D．i
二、多选题
9．（2024·江苏无锡·模拟预测）设z1,z2为复数，则下列结论正确的是（ ）
A．z1z2=z1z2B．z1+z2=z1+z2
C．若z1=z2，则z12=z22D．“z1