2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题10.5古典概型、概率的基本性质【八大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题10.5古典概型、概率的基本性质【八大题型】特训(学生版+解析)，共46页。

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\l "_Tc3837" 【题型1 古典概型】 PAGEREF _Tc3837 \h 3
\l "_Tc12661" 【题型2 有放回与无放回问题的概率】 PAGEREF _Tc12661 \h 3
\l "_Tc29319" 【题型3 概率基本性质的应用】 PAGEREF _Tc29319 \h 4
\l "_Tc5007" 【题型4 几何概型】 PAGEREF _Tc5007 \h 4
\l "_Tc10927" 【题型5 古典概型与函数的交汇问题】 PAGEREF _Tc10927 \h 6
\l "_Tc16851" 【题型6 古典概型与向量的交汇问题】 PAGEREF _Tc16851 \h 6
\l "_Tc17737" 【题型7 古典概型与数列的交汇问题】 PAGEREF _Tc17737 \h 7
\l "_Tc1269" 【题型8 古典概型与统计综合】 PAGEREF _Tc1269 \h 8
1、古典概型、概率的基本性质
【知识点1 古典概型及其解题策略】
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.
4．古典概型与统计结合
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.
【知识点2 概率的基本性质】
1．概率的基本性质
2．复杂事件概率的求解策略
(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.
【方法技巧与总结】
1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.
【题型1 古典概型】
【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（ ）
A．25B．35C．110D．310
【变式1-1】（2024·内蒙古包头·三模）将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【变式1-2】（2024·西藏拉萨·二模）从3,4,5,6,7这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（ ）
A．23B．34C．25D．35
【变式1-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（ ）
A．110B．15C．310D．25
【题型2 有放回与无放回问题的概率】
【例2】（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（ ）
A．14B．12C．13D．16
【变式2-1】（23-24高三上·贵州·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（ ）
A．15B．13C．25D．23
【变式2-2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A．110B．15C．310D．25
【变式2-3】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（ ）
A．35B．25C．13D．15
【题型3 概率基本性质的应用】
【例3】（2024·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为215，“两个球都是白球”的概率为13，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A．415B．715C．815D．1115
【变式3-1】（24-25高二上·吉林·阶段练习）设A, B是一个随机试验中的两个事件，且PA=12, PB=35, PA+B=12，则PAB=（ ）
A．13B．15C．25D．110
【变式3-2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且PA=12，PB=712，PAB+AB=14，则PA+B=（ ）
A．712B．23C．1112D．34
【变式3-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知A，B，C，D四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A则1，4号灯就会亮，只要打开开关B则2，3号灯就会亮，只要打开开关C则3，4号灯就会亮，只要打开开关D则2，4号灯就会亮.开始时，A，B，C，D四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（ ）
A．16B．13C．12D．56
【题型4 几何概型】
【例4】（2024·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ）

A．18B．38C．516D．332
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正六边形OPQRST的顶点是正六边形ABCDEF的对角线的交点.在正六边形ABCDEF内部任取一点，则该点取自正六边形OPQRST内的概率为（ ）
A．36B．14C．13D．22
【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知､道德观念等.剪纸艺术遗产先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（ ）
A．2π6B．3πC．3π6D．22π
【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，圆O是正三角形ABC的内切圆，则在△ABC内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A．3π9−14B．3π6−14C．3π9−12D．1−3π9
【题型5 古典概型与函数的交汇问题】
【例5】（2024·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则“在函数fx=x2+ax+b的图象与x轴有交点的条件下，满足函数gx=ax−b−xa+bx为偶函数”的概率为（ ）
A．417B．219C．519D．319
【变式5-1】（23-24高二上·山东菏泽·开学考试）已知集合A=0,1,2,3，a∈A，b∈A，则函数fx=ax2+bx+1有零点的概率为（ ）
A．34B．12C．38D．516
【变式5-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx2−4nx+1在1,+∞上是增函数的概率是（ ）
A．16B．14C．34D．45
【变式5-3】（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）已知集合A=1,2,3,4,5,6,a∈A,b∈A，则“使函数fx=lnx2+ax+b的定义域为R”的概率为（ ）
A．1336B．1536C．1736D．1936
【题型6 古典概型与向量的交汇问题】
【例6】（2024·安徽黄山·一模）从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m=(a,b)与向量n=(2,−1)垂直的概率为（ ）
A．19B．29C．13D．23
【变式6-1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知m,n∈{−2,−1,1,2}，若向量a=(m,n),b=(1,1)，则向量a与向量b夹角为锐角的概率为（ ）
A．316B．14C．516D．38
【变式6-2】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3，4,6}中随机地取一个数b，则向量m=(b,a)与向量n=(1,−2)垂直的概率为（ ）
A．112B．13C．14D．16
【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄石·期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量a=2m−3,n−1，b=1,−1的夹角为θ，则θ为钝角的概率是（ ）
A．518B．13C．1336D．1136
【题型7 古典概型与数列的交汇问题】
【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）记数列an的前n项和为Sn，已知Sn=an2−4an+b，在数集−1,0,1中随机抽取一个数作为a，在数集−3,0,3中随机抽取一个数作为b，则满足Sn≥S2n∈N∗的概率为( )
A．13B．29C．14D．23
【变式7-1】（23-24高三上·河南许昌·阶段练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是an=an−1+an−2(n≥3,n∈N∗)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A．13B．6732021
C．12D．6742021
【变式7-2】（2024·北京·模拟预测）斐波那契数列Fn因数学家莱昂纳多⋅斐波那契(LenarddaFibnaci)以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n趋向于无穷大时，FnFn+1无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列Fn满足F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（ ）
A．12B．712C．23D．34
【变式7-3】（2024·江苏·一模）若数列an的通项公式为an=(−1)n−1，记在数列an的前n+2n∈N*项中任取两项都是正数的概率为Pn，则（ ）
A．P1=13
B．P2np8
三、填空题
12．（2024·重庆·模拟预测）袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ．
13．（2024·江苏·模拟预测）某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为 ．
14．（2024·四川自贡·二模）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为O，O1，O2，半径分别为R，r1，r2（其中R>r1>r2），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为14，则r1r2= .
四、解答题
15．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个与Ⅰ同心的圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ的概率分别为0.35，0.30及0.25．求不命中靶的概率．

16．（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.
(1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；
(2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.
17．（2024·陕西榆林·二模）甲､乙参加一次有奖竞猜活动，活动有两个方案.方案一：从装有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，若抽取的小球的编号均为偶数，则获奖.方案二：电脑可以从0∼2内随机生成一个随机的实数，参赛者点击一下即可获得电脑生成的随机数x，若2x2，n可取3，4，5，6；
当m=3时，有n>4，n可取5，6；
当m=4，m=5，m=6时，n>2m−2>6，此时无解.
综上所述，满足条件的m,n有11种可能.
又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，
所以θ为钝角的概率p=1136.
故选：D.
【题型7 古典概型与数列的交汇问题】
【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）记数列an的前n项和为Sn，已知Sn=an2−4an+b，在数集−1,0,1中随机抽取一个数作为a，在数集−3,0,3中随机抽取一个数作为b，则满足Sn≥S2n∈N∗的概率为( )
A．13B．29C．14D．23
【解题思路】将Sn配方，Sn≥S2恒成立等价于S2是Sn的最小值，根据常数函数和二次函数性质，结合古典概型概率计算方法即可求解.
【解答过程】由已知得Sn=an−22+b−4a，
如果a=0，则Sn=b，满足Sn≥S2，概率为13，
如果a≠0，则S2是Sn的最小值，根据二次函数性质可知，a＞0，故a=1，此时概率为13，
∴Sn≥S2的概率为13+13=23，
故选：D．
【变式7-1】（23-24高三上·河南许昌·阶段练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是an=an−1+an−2(n≥3,n∈N∗)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A．13B．6732021
C．12D．6742021
【解题思路】由斐波那契数列中偶数出现的周期性求前2021项中偶数的个数，再由古典概型概率求法求概率即可.
【解答过程】由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而20213=，
∴前2021项中有673个偶数，故从该数列的前2021项中随机地抽取一个数为偶数的概率为6732021.
故选：B.
【变式7-2】（2024·北京·模拟预测）斐波那契数列Fn因数学家莱昂纳多⋅斐波那契(LenarddaFibnaci)以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n趋向于无穷大时，FnFn+1无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列Fn满足F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（ ）
A．12B．712C．23D．34
【解题思路】由题中给出的递推公式，求出数列的前12项，然后找出其中是奇数的个数，由古典概型的概率公式求解即可．
【解答过程】解：由题意可知“兔子数列”满足F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn，
所以该数列前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
其中是奇数的有：1，1，3，5，13，21，55，89，
故从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为812=23．
故选：C.
【变式7-3】（2024·江苏·一模）若数列an的通项公式为an=(−1)n−1，记在数列an的前n+2n∈N*项中任取两项都是正数的概率为Pn，则（ ）
A．P1=13
B．P2n79+s=79+11=90，
而比赛成绩在90,100的频率为0.007×10=0.07，
因为1500×0.07=105，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人．
一、单选题
1．（2024·贵州·模拟预测）将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（ ）
A．23B．12C．13D．14
【解题思路】分析求出所有的基本事件，然后由古典概型的计算公式求解即可.
【解答过程】将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，
每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1，白红2），（白，红1红2），（红2，白红1），
则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1，白红2），（红2，白红1），
所以由古典概型的公式得概率为：23.
故选：A.
2．（2024·陕西西安·一模）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（ ）
A．25B．35C．57D．27
【解题思路】首先将5个1和2个0随机排成一行，求出总的排放方法，再利用插空法求出2个0相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算即可.
【解答过程】将5个1和2个0随机排成一行，总的排放方法有C72=7×62×1=21种，
要使2个0相邻，利用插空法，5个1有6个位置可以放两个0，
故排放方法有C61=6种，
所以所求概率为P=621=27，
故选：D.
3．（2024·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为PA，事件B的概率为PB；则1−PA∩B是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数D．至多有一个点数是奇数
【解题思路】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案.
【解答过程】由题意，事件A∩B为：两个点数都为奇数，
由概率1−PA∩B指的是事件A∩B的对立事件的概率，
则事件A∩B的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.
故选：D.
4．（2024·四川乐山·三模）在区间−5,10上任取一个整数m，则使函数fx=x2−2mx−2m存在两个不同零点的概率为（ ）
A．116B．316C．1316D．1516
【解题思路】利用Δ=(−2m)2−4×1×(−2m)>0，可求有两个零点的m的范围，进而可求概率.
【解答过程】因为函数fx=x2−2mx−2m存在两个不同零点，
所以fx=x2−2mx−2m=0有两个不同的根，
所以Δ=(−2m)2−4×1×(−2m)>0，解得m0，
在区间−5,10上任取一个整数m，共有16种取法，
能使使函数fx=x2−2mx−2m存在两个不同零点的取法有13种，
所以使函数fx=x2−2mx−2m存在两个不同零点的概率为1316.
故选：C.
5．（2024·四川内江·三模）口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ）
A．13B．25C．35D．115
【解题思路】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【解答过程】记两个标有数字1的小球分别为A、a，两个标有数字2的小球分别为B、b，
两个标有数字3的小球分别为C、c，
从中任取两个小球可能结果有Aa，AB，Ab，AC，Ac，aB，ab，aC，
ac，Bb，BC，Bc，bC，bc，Cc共15种情况，
其中满足两个小球上的数字之和大于4的有BC，Bc，bC，bc，Cc共5种情况，
所以两个小球上的数字之和大于4的概率P=515=13.
故选：A.
6．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的34倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ）
A．25B．310C．35D．12
【解题思路】通过分类讨论得出m=4，再由古典概率公式求解．
【解答过程】当m≥5时，11+m5=34(m−1)，得m=5911（舍），
当1p8
【解题思路】画出树状图，结合图形及古典概型逐项分析判断.
【解答过程】画出树状图，结合图形
结合树状图可知：r2=1,r3=2,r4=3,r5=5,r6=8,r7=13,r8=21,r9=34，
对于选项A：可知r6=8，故A正确；
对于选项B： 均有rn+1>rn，故B正确；
对于选项C：因为r9=34，不经过数字5的路线有9条，所以p5=934，故C正确；
对于选项D：因为p7=834,p8=1334，所以p7r1>r2），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为14，则r1r2= 3+22 .
【解题思路】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出答案.
【解答过程】解：阴影部分面积为：
S=π2R2−π2r12−π2r22=π2R2−r12−r22
由图可知：2r1+2r2=2R，所以r1+r2=R
则S=π2r1+r22−r12−r22=π2⋅2⋅r1⋅r2=πr1r2，
因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为14，
所以P=πr1r2π2R2=πr1r2π2r1+r22=2r1r2r12+r22+2r1r2=14，
8r1r2=r12+r22+2r1r2，即r12+r22−6r1r2=0，则r1r22−6r1r2+1=0
解得：r1r2= 3±22，因为r1>r2，
所以r1r2=3+22.
故答案为：3+22.
四、解答题
15．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个与Ⅰ同心的圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ的概率分别为0.35，0.30及0.25．求不命中靶的概率．

【解题思路】利用概率的加法公式和对立事件的概率公式即可求解.
【解答过程】设射手命中圆面I为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，不中靶为事件D，
则P(A)=0.35，P(B)=0.30，P(C)=0.25，且A、B、C两两互斥，
所以射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90．
因为中靶和不中靶是对立事件，
所以不命中靶的概率P(D)=1−P(A∪B∪C)=1−0.90=0.10.
16．（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.
(1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；
(2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.
【解题思路】（1）列举法列出前三个问题回答的甲乙所有得分情况，利用古典概型即可求解；
（2）分别求出甲同学连续回答了三次问题且获胜的三种情况的概率，再用概率的加法公式求解即可.
【解答过程】（1）设“甲回答问题且得分”为事件A，“甲回答问题但对方得分”为事件A，“乙回答问题且得分”为事件B，“乙回答问题但对方得分”为事件B.
记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件C.
前三个问题回答的情况有8种：AAA,AAA,AAB,AAB,ABB,ABB,ABA,ABA，
其中事件C只包含了1种情况，即ABB，
所以PC=PABB=18，
即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为18.
（2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件D.
由（1）可得，PD=PAAA+PAAAB+PAAABB=18+116+132=732.
即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为732.
17．（2024·陕西榆林·二模）甲､乙参加一次有奖竞猜活动，活动有两个方案.方案一：从装有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，若抽取的小球的编号均为偶数，则获奖.方案二：电脑可以从0∼2内随机生成一个随机的实数，参赛者点击一下即可获得电脑生成的随机数x，若2x