2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)第五章平面向量与复数综合测试卷特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)第五章平面向量与复数综合测试卷特训(学生版+解析)，共15页。试卷主要包含了本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·北京大兴·三模）设a，b是非零向量，“aa=bb”是“a=b”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（5分）（2024·西藏·模拟预测）已知复数z=2−i，则zz−z=（ ）
A．−12+iB．12−iC．12+iD．−12−i
3．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量a,b为单位向量，|c|=3且a+b+c=0，则a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
4．（5分）（2024·重庆·二模）若复数z=2−a+2a−1ia∈R为纯虚数，则复数z+a在复平面上的对应点的位置在（ ）
A．第一象限内B．第二象限内
C．第三象限内D．第四象限内
5．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，E为AC中点.F为线段AD上靠近点A的四等分点，设AB=a，AD=b，则EF=（ ）
A．−14a−12bB．−34a−12b
C．−12a−14bD．−12a−34b
6．（5分）（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r2csθ2+isinθ2r1,r2>0，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2.设z=−12−32i，则z2024的虚部为（ ）
A．−32B．32C．1D．0
7．（5分）（2024·北京大兴·三模）已知平面向量a=1,m，b=2,−2m，则下列结论一定错误的是（ ）
A．a//bB．a⊥bC．b=2aD．a−b=1,−3m
8．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）在矩形ABCD中，AB=5,AD=4，点E是线段AB上一点，且满足AE=4EB.在平面ABCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则DP⋅AC的最大值为（ ）
A．41+4B．41−6C．213+4D．213−6
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·山东·模拟预测）已知向量a=1,3，b=−2,0，则下列说法正确的是（ ）
A．a⋅b=2B．a与b的夹角为π3
C．a⊥a+2bD．a+b在b上的投影向量为12b
10．（6分）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数z=a+bia,b∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则a+b=0
B．若z是1+i1−3i的共轭复数，则a+b=−25
C．若z=1+i1−3i，则a+b=2
D．若z−i=1，则z取最大值时，a+b=2
11．（6分）（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ）
A．DE=AF−12AD
B．AC⋅BD=34
C．若P为EF的中点，则CP在EC上的投影向量为−3EC
D．FE+FP的最大值为7
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数z=11−i−i（i为虚数单位），则z的虚部为 .
13．（5分）（2024·湖南长沙·三模）平面向量 a,b,c 满足：a⊥c， a,b=π3，b,c=π6，且 a=c=3，b=2，则 a+b+c= .
14．（5分）（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形ABCD中，DE=12EC，BF=12FC，记AB=a，AD=b，用a和b表示AE= ；若AE=2，AF=6，则AC⋅DB值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·天津河北·模拟预测）已知向量a=3,4，b=1,x，c=1,2．
(1)若a⊥b，求b的值；
(2)若c∥a−2b，求向量a−2b与a的夹角的余弦值．
16．（15分）（23-24高一下·上海松江·期末）已知i为虚数单位，复数z=m2−3m−4+m2+mi．
(1)当实数m取何值时，z是纯虚数；
(2)当m=1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p与q的值．
17．（15分）（2023·黑龙江大庆·二模）已知a=sin2x+1,cs2x，b=−1,2，x∈0,π2．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)求fx=a⋅b的最大值及取得最大值时相应的x的值．
18．（17分）（2024·湖南邵阳·一模）在△ABC中，内角A满足3sin2A−cs2A=2.
(1)求角A的大小；
(2)若DC=2BD，求ADBD的最大值.
19．（17分）（2024·陕西·模拟预测）等边△ABC外接圆圆心为O，半径为2,⊙O上有点M,BM=xBA+yBC．
(1)若M为弧AC中点，求x+y；
(2)求AM⋅AB最大值．
第五章 平面向量与复数综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·北京大兴·三模）设a，b是非零向量，“aa=bb”是“a=b”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【解答过程】由aa=bb表示单位向量相等，则a,b同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a=b，
由a=b表示a,b同向且模相等，则aa=bb，
所以“aa=bb”是“a=b”的必要而不充分条件.
故选：B.
2．（5分）（2024·西藏·模拟预测）已知复数z=2−i，则zz−z=（ ）
A．−12+iB．12−iC．12+iD．−12−i
【解题思路】根据共轭复数和除法法则进行计算，得到答案.
【解答过程】因为z=2−i，所以z=2+i，
所以zz−z=2+i2−i−2+i=2+i−2i=2+i⋅i−2i⋅i=−1+2i2=−12+i．
故选：A．
3．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量a,b为单位向量，|c|=3且a+b+c=0，则a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
【解题思路】利用转化法求得a⋅b，再利用两个向量夹角的余弦公式即可得解.
【解答过程】因为向量a,b均为单位向量，即|a|=|b|=1，且a+b+c=0，|c|=3，
则a+b=−c，两边平方可得|a|2+|b|2+2a⋅b=|c|2，
即2a⋅b=1，所以a⋅b=|a|⋅|b|⋅cs〈a,b〉=cs〈a,b〉=12，
又0≤〈a,b〉≤π，所以a与b的夹角为π3．
故选：C．
4．（5分）（2024·重庆·二模）若复数z=2−a+2a−1ia∈R为纯虚数，则复数z+a在复平面上的对应点的位置在（ ）
A．第一象限内B．第二象限内
C．第三象限内D．第四象限内
【解题思路】根据纯虚数的定义解出a，利用复数的几何意义求解．
【解答过程】∵复数z=(2−a)+(2a−1)i(a∈R)为纯虚数，∴2−a=02a−1≠0,∴a=2，
复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为(2,3)，位置在第一象限．
故选：A．
5．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，E为AC中点.F为线段AD上靠近点A的四等分点，设AB=a，AD=b，则EF=（ ）
A．−14a−12bB．−34a−12b
C．−12a−14bD．−12a−34b
【解题思路】利用向量的线性运算可得答案.
【解答过程】如图所示，由题意可得AC=AB+AD=a+b，
而EF=EA+AF=12CA+14AD=−12a+b+14b=−12a−14b，
故选：C.
6．（5分）（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r2csθ2+isinθ2r1,r2>0，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2.设z=−12−32i，则z2024的虚部为（ ）
A．−32B．32C．1D．0
【解题思路】变形复数z，根据题中定义进行计算，即可判定.
【解答过程】z=−12−32i=cs4π3+isin4π3，
所以z2024=cs4π×20243+isin4π×20243
=cs2π3+isin2π3=−12+32i,
所以z2024的虚部为32.
故选:B.
7．（5分）（2024·北京大兴·三模）已知平面向量a=1,m，b=2,−2m，则下列结论一定错误的是（ ）
A．a//bB．a⊥bC．b=2aD．a−b=1,−3m
【解题思路】根据向量共线的坐标表示求出参数m的值，即可判断A；根据a⋅b=0及数量积的坐标表示求出m，即可判断B；表示出a，b，即可判断C；根据平面向量线性运算的坐标表示判断D.
【解答过程】对于A：若a//b，则1×−2m=2m，解得m=0，故A正确；
对于B：若a⊥b，则a⋅b=1×2−2m2=0，解得m=±1，故B正确；
对于C：因为a=1+m2，b=22+−2m2=4+4m2=21+m2，
显然b=2a，故C正确；
对于D：a−b=1,m−2,−2m=−1,3m，故D错误.
故选：D.
8．（5分）（2024·四川成都·模拟预测）在矩形ABCD中，AB=5,AD=4，点E是线段AB上一点，且满足AE=4EB.在平面ABCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则DP⋅AC的最大值为（ ）
A．41+4B．41−6C．213+4D．213−6
【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.
【解答过程】以E为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，
动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，故设Pcsθ,sinθ，
则A0,4,D4,4,C4,−1,
DP⋅AC=csθ−4,sinθ−4⋅4,−5=4csθ−4−5sinθ−4=41csθ+φ+4，其中锐角φ满足tanφ=54，
故DP⋅AC的最大值为41+4,
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·山东·模拟预测）已知向量a=1,3，b=−2,0，则下列说法正确的是（ ）
A．a⋅b=2B．a与b的夹角为π3
C．a⊥a+2bD．a+b在b上的投影向量为12b
【解题思路】利用向量的坐标运算即可，其中a+b在b上的投影向量公式为a+b⋅bb⋅bb.
【解答过程】对于A，由向量a=1,3，b=−2,0，则a⋅b=1×−2+3×0=−2，故A是错误的；
对于B，由向量的夹角公式得：，所以a与b的夹角为2π3，故B是错误的；
对于C，由a+2b=1,3+2−2,0=−3,3，所以a⃗⋅a⃗+2b⃗=1,3⋅−3,3=−3+3=0，即a⊥a+2b，故C是正确的；
对于D，由a+b=1,3+−2,0=−1,3，则a+b在b上的投影向量为：
a+b⋅bb⋅bb=−1,3⋅−2,02⋅−2,02=−1,0=12b，故D是正确的；
故选：CD.
10．（6分）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知复数z=a+bia,b∈R，下列说法正确的是（ ）
A．若z为纯虚数，则a+b=0
B．若z是1+i1−3i的共轭复数，则a+b=−25
C．若z=1+i1−3i，则a+b=2
D．若z−i=1，则z取最大值时，a+b=2
【解题思路】根据复数的类型求解参数的值判断A，利用复数的除法运算及共轭复数的概念求解参数判断B，利用复数的乘法运算求解参数判断C，根据复数模的运算结合三角换元求解最值即可判断D.
【解答过程】对于A：复数z=a+bi的实部为a，虚部为b，若z为纯虚数，则a=0b≠0，
故a+b=b≠0，错误；
对于B：因为1+i1−3i=1+i1+3i1−3i1+3i=−15+25i，所以z=−15−25i，则a+b=−35，错误；
对于C：z=1+i1−3i=4−2i，则a+b=2，正确；
对于D：因为z−i=1，所以a2+b−12=1，即a2+b−12=1，
令a=csθb=1+sinθ，则z=a2+b2=cs2θ+1+sinθ2=2+2sinθ，
因为θ∈R，所以−1≤sinθ≤1，所以当sinθ=1时，z取到最大值2，
此时a=csθ=0b=1+sinθ=2，所以a+b=2，正确.
故选：CD.
11．（6分）（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ）
A．DE=AF−12AD
B．AC⋅BD=34
C．若P为EF的中点，则CP在EC上的投影向量为−3EC
D．FE+FP的最大值为7
【解题思路】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据CE⊥EF结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解.
【解答过程】对于选项A：因为DE=OE−OD=AF−12AD，故A正确；
对于选项C：由题意可知：CE⊥EF，
若P为EF的中点，所以CP在EC上的投影向量为−EC，故C错误；
对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系，
则A−12,−32,B12,−32,C1,0,D12,32,E12,−32,F−1,0，
可得AC=32,32,BD=0,3，所以AC⋅BD=32，故B错误；
设Px,y，可知−1≤x≤12,0≤y≤32，
则FE=12,32,FP=x+1,y，可得FE+FP=x+32,y+32，
则FE+FP=x+322+y+322，
可知当x=12,y=32，即点P与点D重合时，FE+FP的最大值为7，故D正确；
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数z=11−i−i（i为虚数单位），则z的虚部为 12 .
【解题思路】根据复数的运算法则可得z=12−12i，进而z=12+12i，结合复数的有关概念即可求解.
【解答过程】z=11−i−i=1+i(1−i)(1+i)−i=12−12i，
所以z=12+12i，
则z的虚部为12.
故答案为：12.
13．（5分）（2024·湖南长沙·三模）平面向量 a,b,c 满足：a⊥c， a,b=π3，b,c=π6，且 a=c=3，b=2，则 a+b+c= 33+1 .
【解题思路】结合数量积的定义和性质求出a⋅c、a⋅b和b⋅c，利用a+b+c=a+b+c2即可求出答案.
【解答过程】因为a⊥c，所以a⋅c=0，
因为a=c=3，b=2，a,b=π3， b,c=π6，
所以a⋅b=abcsa,b=3×2×csπ3=3，
b⋅c=bccsb,c=2×3×csπ6=33，
因为a+b+c2=a+b+c2，
a+b+c2=a2+b2+c2+2a⋅b+a⋅c+b⋅c=28+63=33+12，
所以a+b+c=a+b+c2=33+12=33+1.
故答案为：33+1.
14．（5分）（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形ABCD中，DE=12EC，BF=12FC，记AB=a，AD=b，用a和b表示AE= 13a+b ；若AE=2，AF=6，则AC⋅DB值为 94 .
【解题思路】对于空1，由DE=12EC得DE=13DC=13AB，结合AE=AD+DE即可得解；对于空2，利用已知条件将向量AC和DB转换成向量AF和AE来表示即可得解.
【解答过程】因为DE=12EC，所以DE=13DC=13AB，
所以AE=AD+DE=AD+13AB=b+13a；
因为BF=12FC，所以BF=13BC=13AD，
所以AC=AB+AD=AF−BF+AE−DE =AF+AE−13AB+AD=AF+AE−13AC，
故43AC=AF+AE，即AC=34AF+34AE=34AF+AE，
又DB=AB−AD=AF−BF−AE−DE=AF−AE+DE−BF =AF−AE+13AB−AD=AF−AE+13DB，
故23DB=AF−AE，即DB=32AF−32AE=32AF−AE，
因为AE=2，AF=6，
所以AC·DB=34AF+AE·32AF−AE=98AF2−AE2=98×6−4=94.
故答案为：13a+b；94.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·天津河北·模拟预测）已知向量a=3,4，b=1,x，c=1,2．
(1)若a⊥b，求b的值；
(2)若c∥a−2b，求向量a−2b与a的夹角的余弦值．
【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求x，再代入模的公式，即可求解；
（2）首先根据两向量平行求x，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.
【解答过程】（1）由a⊥b，得3+4x=0，解得x=−34，
∴b=1,−34，则b=12+−342=54．
（2）由题意a−2b=1,4−2x，
又c∥a−2b，∴1×2−1×4−2x=0，解得x=1，
则a−2b=1,2，a−2b=12+22=5，a=32+42=5，
∴csa−2b,a=a−2b⋅aa−2ba=1×3+2×45×5=11525，
即向量a−2b与a的夹角的余弦值为11525．
16．（15分）（23-24高一下·上海松江·期末）已知i为虚数单位，复数z=m2−3m−4+m2+mi．
(1)当实数m取何值时，z是纯虚数；
(2)当m=1时，复数z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p与q的值．
【解题思路】（1）由z是纯虚数得到实部为0，虚部不为0，解方程组得到m的值；
（2）将z=−6+2i代入方程，实部和虚部均为0，解方程组得到p和q的值.
【解答过程】（1）由z是纯虚数得m2−3m−4=0m2+m≠0，解得m=4.
所以当m=4时，z是纯虚数.
（2）当m=1时，z=−6+2i，
因为z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，所以z2+pz+q=0，
即−6+2i2+p−6+2i+q=0，整理得32−6p+q+2p−24i=0，
所以32−6p+q=02p−24=0，解得p=12q=40.
17．（15分）（2023·黑龙江大庆·二模）已知a=sin2x+1,cs2x，b=−1,2，x∈0,π2．
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)求fx=a⋅b的最大值及取得最大值时相应的x的值．
【解题思路】（1）由平面向量的数量积为0可得2sin2x−π4=0，再由x的范围求得x值；
（2）fx=−2sin2x−π4，结合x的范围及正弦函数的最值求解．
【解答过程】（1）a=sin2x+1,cs2x，b=−1,2，
若a⊥b，则sin2x+1,cs2x⋅−1,2=−sin2x−1+2cs2x=−sin2x+cs2x=0，
∴sin2x−cs2x=0，即2sin2x−π4=0，
∵x∈0,π2，∴2x−π4∈−π4,3π4，可得2x−π4=0，即x=π8；
（2）fx=a⋅b=−sin2x+cs2x=−2sin2x−π4，
∵x∈0,π2，∴2x−π4∈−π4,3π4，可得当2x−π4=−π4，即x=0时，fx=a⋅b取最大值为1．
18．（17分）（2024·湖南邵阳·一模）在△ABC中，内角A满足3sin2A−cs2A=2.
(1)求角A的大小；
(2)若DC=2BD，求ADBD的最大值.
【解题思路】（1）根据辅助角公式求解；
（2）根据向量的加法法则将ADBD转化为∴ADBD=2AB+ACAC−AB=4c2+2bc+b2b2−bc+c2，然后结合换元法和基本不等式求解；
【解答过程】（1）由已知2sin2A−π6=2,
∴sin2A−π6=1
∵0