2025年高考数学核心考点归纳第84讲、成对数据的统计分析特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学核心考点归纳第84讲、成对数据的统计分析特训(学生版+解析)，共85页。试卷主要包含了变量间的相关关系，线性回归，非线性回归，独立性检验等内容，欢迎下载使用。
知识点一、变量间的相关关系
1、变量之间的相关关系
当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫相关关系．由于相关关系的不确定性，在寻找变量之间相关关系的过程中，统计发挥着非常重要的作用．我们可以通过收集大量的数据，在对数据进行统计分析的基础上，发现其中的规律，对它们的关系作出判断．
注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2、散点图
将样本中的个数据点描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图．根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系．
（1）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图（1）所示；
（2）如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图（2）所示．
3、相关系数
若相应于变量的取值，变量的观测值为，则变量与的相关系数，通常用来衡量与之间的线性关系的强弱，的范围为．
（1）当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关．
（2）越接近，表示两个变量的线性相关性越强；越接近，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当时，所有数据点都在一条直线上．
（3）通常当时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．
知识点二、线性回归
1、线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系（相关关系）的方法．
对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为
其中，，，（，）称为样本点的中心．
2、残差分析
对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
（1）残差图
通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适．
（2）通过残差平方和分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适．
（3）相关指数
用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：．
越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好．
知识点三、非线性回归
解答非线性拟合问题，要先根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，通过换元将陌生的非线性回归方程化归转化为我们熟悉的线性回归方程．
求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，还原后即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误．
1、建立非线性回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；
（3）由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型等）；
（4）通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
（5）按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
（6）消去新元，得到非线性回归方程；
（7）得出结果后分析残差图是否有异常．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
知识点四、独立性检验
1、分类变量和列联表
（1）分类变量：
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
（2）列联表：
①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．
②2×2列联表．
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{，}和{，}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为
从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系．
2、等高条形图
（1）等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征．
（2）观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．
3、独立性检验
计算随机变量利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．
【解题方法总结】
常见的非线性回归模型
（1）指数函数型（且，）
两边取自然对数，，即，
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（2）对数函数型
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（3）幂函数型
两边取常用对数，，即，
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（4）二次函数型
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
（5）反比例函数型型
令，原方程变为，然后按线性回归模型求出，．
必考题型全归纳
题型一：变量间的相关关系
例1．（2024·河北·高三校联考期末）下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2024·天津蓟州·高三校考开学考试）对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是（ ）
A．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
C．变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
D．变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
例3．（2024·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）在如图所示的散点图中，若去掉点，则下列说法正确的是（ ）

A．样本相关系数变大
B．变量与变量的相关程度变弱
C．变量与变量呈正相关
D．变量与变量的相关程度变强
变式1．（2024·四川成都·高三统考阶段练习）已知建筑地基沉降预测对于保证施工安全，实现信息化监控有着重要意义．某工程师建立了四个函数模型来模拟建筑地基沉降随时间的变化趋势，并用相关指数、误差平方和、均方根值三个指标来衡量拟合效果．相关指数越接近1表明模型的拟合效果越好，误差平方和越小表明误差越小，均方根值越小越好．依此判断下面指标对应的模型拟合效果最好的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（2024·高三课时练习）甲、乙、丙、丁四位同学各自对，A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表:
则能体现A，B两变量有更强的线性相关性的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
变式3．（2024·河北石家庄·统考三模）观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（ ）
A．B．
C．D．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数，则线性相关程度最高的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
变式5．（2024·全国·高三专题练习）给出下列有关线性回归分析的四个命题：
①线性回归直线未必过样本数据点的中心；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③当相关系数时，两个变量正相关；
④如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于.
其中真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
判定两个变量相关性的方法
（1）画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
（2）样本相关系数：当r>0时，正相关；当r0时，正相关；当r