浙江省慈溪市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分.
考试时间 120 分钟，不得使用计算器，请考生将所有题目的答案均写在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知直线 l 过点和，则 l 的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 已知函数，则（）
A. B. C. D.
3. 已知等比数列的前 n 项和为，若，，则（）
A. 51 B. C. D.
4. 已知，，，，则在上的投影向量为（）
A B.
C. D.
5. 已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，
则（）
A. B. C. D.
6. 已知在棱长为 1 的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值
为（）
A. B. C. D.
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7. 已知双曲线的左焦点为，一条渐近线方程为，过作这条
渐近线的垂线，垂足为 A，交另一条渐近线于点 B，则（）
A. B. C. D.
8. 已知斐波那契数列满足， .卢卡斯数列满足，
且，则（）
A B.
C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9 已知曲线，则（）
A. 当时，C 是半径为的圆
B. 当时，C 是焦点在 x 轴上的椭圆
C. 当时，C 是焦点在 x 轴上的双曲线
D. 当时，C 是两条直线
10. 已知数列的前 n 项和为，若，且对任意 m，，都有，则（）
A. B.
C. D. 数列是递增数列
11. 如图，已知正方体的棱长为 4，P，Q 分别是线段，上的动点，M 是线段
的中点，且满足，过作平面，使得，则（）
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A. 当时，平面
B. 当 P 为线段中点时，直线到平面距离为
C. 直线与平面所成角的最大角的正弦值为
D. 的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知点和直线，则点 P 到 l 的距离为______.
13. 已知数列满足，若，，则的前 n 项积的最大值为______.
14. 椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为
.”设椭圆的左、右焦点为，，P 为椭圆上一点，过 P 的切
线 l 分别与坐标轴交于 M、N 两点，若时，（O 为坐标原点）的面积取到最小值，
则 C 的离心率为______.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15 已知函数 .
（1）若，求；
（2）若在处的切线与直线垂直，求 a.
16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，
， .
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（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17. 已知直线，圆，点在上，点在上.
（1）若一条光线沿着直线从右上往左下射出，经轴反射后，与相切，求；
（2）若，，求点的坐标，使有最小值，并求出这最小值.
18. 已知抛物线的焦点为 F，点在 C 上，且 .
（1）求 C 的方程；
（2）若 M，N 是 C 上的两个不同动点（M 在 x 轴上方，N 在 x 轴下方），满足 .
（ⅰ）求证：直线过定点 P；
（ⅱ）设直线的斜率为 k，过点 P，且斜率为的直线交 C 于 R，S 两点，求四边形面积的最
小值.
19. 若数列满足：（，且），则称数列为“差增数列”；若对于差
增数列，存在整数 k，同时满足以下两个条件：①对任意，都有成立；②存在，
使得成立，则称数列为差增数列的“下限数列”.
（1）已知数列是差增数列，若，试写出项数为 5 的差增数列；
（2）已知等差数列是公差为 d 的正项数列，其前 n 项和为，等比数列是公比为的
非常数数列，且；
（ⅰ）试判断数列是否为“差增数列”，并说明理由；
（ⅱ）若，且，，成等比数列，则是否存在以数列为“下限数列”的差增数列
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？若存在，求 q 的值；若不存在，请说明理由.
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