山东省淄博市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上.
2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一.单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 从标有 1，2，3，4，5 五张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之和是 6 的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】从五张卡片中无放回随机抽取两张则可能结果有 ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共 个；
其中满足两张卡片数字之和是 6 的有 、 共 个，
所以抽到的两张卡片数字之和是 6 的概率 .
故选：A
2. 已知直线 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，直线 的倾斜角为
B. 当 时，
C. 若 ，则
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D. 直线 的纵截距为 a
【答案】D
【解析】
【分析】由直线 的方程得斜率，从而求得倾斜角可判断 A；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断
B 和 C；求出 的纵截距后可判断 D．
【详解】对于 A，当 时，直线 ，斜率 ，则倾斜角为 ，故 A 错误；
对于 B， 等价于 ，解得 ，故 B 错误；
对于 C，若 ，则 且 ，故 ，故 C 错误；
对于 D， ，当 时 ，直线 的纵截距为 ，故 D 正确.
故选： D.
3. 设 ，则 （ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的关系列等式求解 x，y 的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计
算得出结果.
【详解】因为 ，∴ ，解得
∴ ，
∴
故选：C．
4. 若点 为直线 上任意一点，过点 总能作圆 的切线，则 的最小值为（
）
A. B. C. -2 D.
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【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与圆相离或相切可求 的最小值 .
【详解】因为过 总能作圆 的切线，故点 在圆外或圆上，
也即直线 与圆 相离或相切，
则 ，即 ，解得 ，
故 的最小值为 .
故选：B.
5. 我国古代数学名著《九章算术》中， 将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱
锥 为阳马， 平面 ，点 是 边上一点，且 ，若
，则 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算可求 ，从而可求它们的和.
【详解】因为 ，故 ，
而
，
而 不共面，故 ，故 ，
故选：C
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6. 如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点
到平面 的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以 D 为坐标原点， 分别为 x 轴，y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求
解.
【详解】如图，
以 D 为坐标原点， 分别为 x 轴，y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ．
从而 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，得 ，
令 ，则 ，
所以点 E 到平面 的距离为 ．
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故选：A.
7. 已知 、 分别是椭圆 的左右顶点， 是椭圆上异于 、 的任意一点，直线
与 斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点 ，可得出 ，利用斜率公式以及已知条件可得出 的取值范围，再
由 可求得该椭圆离心率的取值范围.
【详解】设点 ，则 ，且 ，可得 ，
易知 、 ，
所以 ，
所以 ，可得 ，
故 .
故选：D.
8. 正方体 的棱长为 3，点 在棱 上，且 ，点 是正方体下底面
内.(含边界)的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点 的距离的平方差为 9，则
的最大值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】作 ， ， 即为 到直线 的距离，从而可得 ，即点 的轨迹
是以 为准线，点 为焦点的抛物线，然后建立平面直角坐标系求解.
【详解】
如图，作 于 ，因 平面 ， ，则 平面 ，
过点 作 于 ，因为 ，故 ，
而 平面 ，故 平面 ，
所以 长即为 到直线 的距离.
因为 ， ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 为准线，点 为焦点的抛物线，
如图建立直角坐标系，则 ，则点 的轨迹方程是 ，
设 ，所以 ，
所以当 ， 取得最大值 .
故选：B
【点睛】思路点睛：空间中点的轨迹，往往利用空间中的点线面的关系转化为平面中动点的轨迹的问题，
后者往往需要利用曲线的定义来处理.
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二. 多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有
选错的得 0 分.
9. 已知随机事件 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若事件 与事件 相互独立，则
B. 是事件 与事件 互为对立事件的充要条件
C. 若事件 与事件 互斥， ，则
D. 若事件 与事件 相互独立， 则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据相互独立事件的定义判断 A，举反例判断 B，根据互斥事件的定义可得 ，再由对立事
件的概率公式判断 C，根据和事件的概率公式判断 D.
【详解】对于 A：若事件 与事件 相互独立，则 ，故 A 正确；
对于 B：由 推不出事件 与事件 互为对立事件，
如抛掷一枚骰子，记 ， ，则 ，
所以 ，显然事件 与事件 不对立，故 B 错误；
对于 C：若事件 与事件 互斥， ，
则 ， ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D：若事件 与事件 相互独立，
则 ，故 D 正确.
故选：ACD
10. 已知点 ，点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 ，则下列说
法正确的是（ ）
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A. 的方程为
B. 在 上存在点 ，使得
C. 在 上不存在点 ，使得
D. 上的点到直线 的最小距离
【答案】ABC
【解析】
【分析】设 ，根据 求出曲线 的方程可判断 A；利用两圆的位置关系判断 B；根据方程的
判别式符号判断 C；根据点到直线的距离公式，结合圆的几何性质可判断 D.
【详解】已知 ，点 满足 ，
设 ，则 ，整理得 ，即 ，故 A 正确；
的圆心为 半径为 4，因为 ，所以 D 在以原点为圆心以 3 为半径的圆 O 上，
因为 ，所以圆 O 与圆 C 相交，所以在曲线 C 上存在点 D，使得 ，故 B 正
确；
设 ，由 得 ，
即 ①，假设 上存在点 符合题意， 则 ②，
①-②可得 ，代入①可得 ，方程无解，假设不成立，即在 C 上不
存在点 M，使得 ，故 C 正确；
C 的圆心 到直线 的距离 ，所以 C 上的点到直线
的最小距离为 ，故 D 错误.
故选：ABC
【点睛】方法点睛，求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的
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等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③逆代法，将 代入
.
11. 已知曲线 ，则下列说法正确 是（ ）
A. 当 时，曲线 关于 对称
B. 当 时， 的最大值为 2
C. 当 时，若点 是曲线 上任意一点，则
D. 当 时，曲线 上的点 到原点距离的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】点 关于 对称的点为 ，代入方程即可判断 A，令 ，
，利用辅助角公式及正弦函数的性质判断 B，由 即可求出 的取值范围，
即可判断 C，利用基本不等式求出 的最小值，即可判断 D.
【详解】对于 A：当 时曲线 ，
设点 在曲线上，则点 关于 对称的点为 ，
所以 即 ，
故点 不在曲线 上，所以曲线 不关于 对称，故 A 错误；
对于 B：当 时曲线 ，即 ，
令 ， ，
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则 ，
所以当 ，即 时取最大值，
所以 的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C：当 时曲线 ，则 ，
所以 ，解得 或 ，所以 ，故 C 正确；
对于 D：当 时曲线 ，
则 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 ，
所以曲线 上 点 到原点距离的最小值为 ，故 D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题 B 选项关键是三角换元，D 选项关键是利用基本不等式求出 的最小值.
三. 填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分. 共 15 分.
12. 在正方体 中，点 分别在棱 上，且 ，
，则异面直线 与 所成角的正弦值为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】以 D 为原点， 为 x 轴， 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
异面直线 与 所成角的余弦值.
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【详解】设正方体 中棱长为 3，
以 D 为原点， 为 x 轴， 为 y 轴， 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 .
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
13. 已知直线 与曲线 恰有一个公共点，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用直线与半圆有且只有一个交点数形结合后可求实数 的取值范围.
【详解】曲线 即为半圆： ，
而直线 过定点 ，如图：
当直线 过 时， ，过 时
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当直线 与半圆相切时， ，故 或 （舍）
故当直线线与半圆有且只有一个交点时， 或 ，
故实数 的取值范围为 ，
故答案为：
14. 已知点 、 为椭圆 的左、右焦点，点 为该椭圆上一点， 且满足
，若 的外接圆面积是其内切圆面积的 倍，则该椭圆的离心率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】在 中利用余弦定理求得 ，从而可得 的面积，由等面积法可得内切
圆半径，和正弦定理可得外接圆半径，结合已知可解.
【详解】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解.
如图，由椭圆的定义可知 ，且 ，又 ，
利用余弦定理可知：
，
化简可得 ，
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所以 的面积为 ，
设 的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
易知 的周长为 ，
利用等面积法可知 ，解得 ，
又 的外接圆面积是其内切圆面积的 倍，即 ，所以 ，
即可得 ，
所以 ，离心率 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见
有两种方法：
求出 ， ，代入公式 ；
只需要根据一个条件得到关于 ， ， 的齐次式，结合 转化为 ， 的齐次式，然后等式(不
等式)两边分别除以 或 转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 ( 的取值范围)．
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.
15. 在某次 1500 米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为 ， 甲， 乙， 丙三
人是否通过测试互不影响， 求:
（1）只有 2 人通过体能测试的概率；
（2）至少有 1 人通过体能测试的概率.
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）设事件 “甲通过测试”，事件 “乙通过测试”，事件 “丙通过测试”，利用相互独立事
件及互斥事件的概率公式计算可得；
（2）利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得.
【小问 1 详解】
设事件 “甲通过测试”，事件 “乙通过测试”，事件 “丙通过测试”，
由题意有 ．
设事件 “甲､乙､丙 3 人中恰有 2 人通过测试”，则 ，
所以
；
【小问 2 详解】
设事件 “甲､乙､丙 3 人中至少有 1 人通过测试”，则 的对立事件
.
16. 已知动点 到直线 的距离与到点 距离相等，设动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 的直线 交 于 两点，且 ( 为坐标原点)的面积为 32， 求 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】(1) 由抛物线的定义即可求出抛物线方程；
(2) 设直线 的方程为 ，联立抛物线方程消去 ，然后利用韦达定理结合面积即可求解.
【小问 1 详解】
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由已知有：动点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以曲线 的方程为 .
【小问 2 详解】
设 ，显然直线 的斜率不为 0，可设直线 ，
联立 ，
则 ， ，
所以 ，
原点 到直线 的距离为： ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为： 或 .
17. 已知圆 与圆 ， 直线
（1）判断 与圆 的位置关系并证明；
（2）过动点 分别作两圆的切线 ( 分别为切点)，若 ，求
的最小值.
【答案】（1） 与圆 相交.
（2）
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【解析】
【分析】（1）求出动直线所过的定点后可判断直线与圆的位置关系；
（2）先求出 的 轨迹方程后利用点到直线的距离公式可求最小值.
【小问 1 详解】
直线 的方程可化为： ，令 ，
故 ，故直线 过定点 ，而 ，
故该定点在圆 的内部，故 与圆 相交.
【小问 2 详解】
两圆的半径均为 1，
因为 ，故 即 ，
故 ，故 ，
故 的轨迹为直线 .
因为 表示 ，而 ，故 .
故 的最小值为 .
18. 如图，四棱锥 ，平面 平面 ， ， ， ，
， ， ， .
（1）证明:
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若点 是平面 内的动点，且 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由平面 平面 ， ，根据面面垂直性质定理证明 平面 ，由
此证明 ，结合 ，由线面垂直判定定理证明 平面 ，由此证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求直线 的方向向量与平面 的法向量，结合向量夹角公式求结论；
（3）由（1）求平面 的法向量，结合（2）求平面 的法向量，利用向量夹角公式求结论.
【小问 1 详解】
因 平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
【小问 2 详解】
由（1） 平面 ，
如下图，以 为原点， 为 轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为 ， ， ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则 ， ，
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所以 为平面 的一个法向量，
所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值 ；
【小问 3 详解】
由（1） 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，
由（2） 为平面 的一个法向量，
因为 平面 ，所以 ，设 ， ，
设平面 的法向量为 ，又 ， ，
则 ，即 ，取 ，则 ， ，
所以 为平面 的一个法向量，
所以
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
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19. 已知双曲线 的标准方程为 的左右顶点分别为 ，右焦点
，离心率 .
（1）求双曲线 的方程及其渐近线方程；
（2）过点 的直线 交双曲线 于 两点(点 在第一象限)，记直线 斜率为 ，
直线 斜率为，求 的值;
（3）过圆 上的点 作圆 的切线 ，交双曲线 于 ， 两点，点
为弦 的中点，证明:
【答案】（1）双曲线方程为 ，渐近线方程为 .
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出基本量后可得双曲线方程和渐近线方程；
（2）设 ， 联立直线方程和双曲线方程消元后结合韦达定理可得
，据此可求 的值；
（3）设 ， ，根据切线可得 ，联立直线方程和双曲线
方程，结合弦长公式可证 .
【小问 1 详解】
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由焦点坐标可得 ，而 ，故 ，所以 ，
故双曲线方程为 ，渐近线方程为 .
【小问 2 详解】
由题设 斜率不为零，设 ，
由 可得 ，
故 且 ，
而 ， ，
而 .
【小问 3 详解】
由（1）可得圆 ，
若直线 的斜率存在，设 ， ，
因为 为圆 的切线，故 即 ，
由 可得 ，
故
，
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故 ，
而 ，故 ，
故 ，故 ，
当直线 的斜率不存在时， 或 ，
若 ，则 ，而 ， ，
因 ，故 ，
同理可得若 ，也有 ，
故 总成立.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线的定值问题，往往需要设出直线方程，然后联立直线方程和圆锥曲线方程，
消元后结合韦达定理化简目标代数式，从而得到定值.
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