新高考数学一轮复习基础+提升训练专题8.2 平行与垂直的证明（2份，原卷版+解析版）

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考点一 直线与平面平行的判定定理和性质定理
考点二 平面与平面平行的判定定理和性质定理
考点三 直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
考点四 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
【1087】．（2022·全国·高考真题·★★★）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【1088】．（2011·浙江·高考真题·★★★）
下列命题中错误的是（ ）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
【1089】．（2020·山东·高考真题·★★★）
已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【1090】．（2015·山东·高考真题·★★★）
已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）
A．假设，，那么
B．假设，，，那么
C．假设，，那么
D．假设，，，，那么
【1091】．（2021·浙江·高考真题·★★★★）
如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【1092】．（2019·全国·高考真题·★★★）
如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【1093】．（2011·四川·高考真题·★★）
， ，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．， B．，
C．， ，共面D．， ，共点 ， ，共面
【1094】．（2008·湖南·高考真题·★★）
已知直线m,n和平面满足,则
A．B．C．D．
【1095】．（2014·辽宁·高考真题·★★）
已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【1096】．（2007·天津·高考真题·★★★）
设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，则
C．若，则
D．若，，则
【1097】．（2022·全国·高考真题·★★★）
如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【1098】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
【1099】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【1100】．（2022·浙江·高考真题·★★★★）
如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【1101】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
【1102】．（2022·北京·高考真题·★★★）
如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【1103】．（2011·福建·高考真题·★★★）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．
(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
【1104】．（2017·山东·高考真题·★★★）
由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示．四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面．
（1）证明：平面；
（2）设是的中点，证明：平面平面．
【1105】．（2020·山东·高考真题·★★★）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示.
（1）若点，分别是，的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【1106】．（2013·辽宁·高考真题·★★★）
如图，
（I）求证
（II）设
【1107】．（2020·北京·高考真题·★★★★）如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【1108】．（2020·江苏·高考真题·★★★★）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．
（1）求证：EF∥平面AB1C1；
（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．
【1109】．（2020·全国·高考真题·★★★）
如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【1110】．（2020·全国·高考真题·★★★★）
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
【1111】．（2019·全国·高考真题·★★★）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
【1112】．（2019·全国·高考真题·★★★）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
【1113】．（2019·全国·高考真题·★★★）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
【1114】．（2022·河南·新安县第一高级中学模拟预测·★★★）
如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，底面ABCD，，，且．
(1)在线段AB上是否存在点M，使得平面BCF；
(2)求三棱锥的体积．
【1115】．（2023·安徽省宣城中学模拟预测·★★★★）
如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论：
①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；
②直线平面；
③在棱BC上存在一点E，使得平面平面；
④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【1116】．（2022·浙江·模拟预测·★★★★★）
如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点P在线段上，给出下列命题：
①存在点P，使得直线平面
②存在点P，使得直线平面
③直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
④三棱锥的外接球被平面所截取的截面面积是
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②④D．①③④
【1117】．（2022·江苏省滨海中学模拟预测·★★★★）（多选题）
正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点.则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等
【1118】．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测·★★★★）
如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.
(1)证明:；
(2)若，求二面角的余弦值.
【1119】．（2022·四川广安·模拟预测·★★★★）
如图，点是以为直径的圆上的动点（异于、），已知，，平面，四边形为平行四边形.
(1)求证：；
(2)当点运动到中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【1120】．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测·★★★）
已知是两条不同的直线，是平面，且，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【1121】．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测·★★★★）
已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【1122】．（2022·宁夏·银川一中模拟预测·★★）
如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【1123】．（2022·安徽省舒城中学三模·★★）
设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【1124】．（2022·全国·模拟预测·★★★）
已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【1125】．（2022·浙江·镇海中学模拟预测·★★★）
设m，n是不同的直线，为不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则．
B．若，则．
C．若，则．
D．若，则．
【1126】．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测·★★）
已知平面，，，直线，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【1127】．（2022·上海市实验学校模拟预测·★★）
、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（ ）．
A．如果，，则一定有．
B．如果，，则一定有．
C．如果，，则一定有．
D．如果，，则一定有．
【1128】．（2021·全国·高考真题·★★）（多选题）
如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A．B．
C．D．
【1129】．（2022·山东青岛·二模·★★★）（多选题）
已知正方体，动点P在线段BD上，则下述正确的是（ ）
A．B．
C．平面D．平面
【1130】．（2021·江苏徐州·模拟预测·★★★）
已知，是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【1131】．（2020·山东泰安·一模·★★★）
已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则与所成的角和与所成的角相等
【1132】．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模·★★★★）
已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【1133】．（2022·广东·模拟预测·★★★）
已知是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是（ ）
A．存在平面，使得且
B．存在平面，使得且
C．存在平面，使得
D．存在平面，使得
【1134】．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测·★★★★）
如图，底面是边长为2的菱形，平面，，与平面所成的角为.
(1)求证：平面平面；
(2)求几何体的体积
【1135】．（2022·四川广安·模拟预测·★★★★）
如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，面面ABCD，且，点M在棱AE上．
(1)若，求证：平面BDM．
(2)当平面MBC时，求点E到平面BDM的距离．
【1136】．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模·★★★★）
如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线．
(1)证明：平面．
(2)若，求点E到平面PBC的距离．
【1137】．（2022·四川成都·模拟预测·★★★★）
如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，在底面内的射影分别为，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
【1138】．（2022·四川成都·模拟预测·★★★★）
如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，在底面内的射影分别为，．
(1)求证：；
(2)求到平面的距离．
【1139】．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测·★★★★）
如图1，已知等边的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且满足，，如图2，将沿MN折起到的位置．
(1)求证：平面平面BCNM；
(2)若四棱锥的体积为，求平面和平面的夹角的余弦值．
【1140】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）
如图，在三棱柱中，，．
(1)证明：平面平面．
(2)设P是棱上一点，且，求三棱锥体积．
【1141】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★★）
如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，是棱上一点．
(1)若，求证：平面．
(2)若，求点到平面的距离．
【1142】．（2021·上海市建平中学模拟预测·★★★★）
如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【1143】．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测·★★★★）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
【1144】．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测·★★★★）
如图在梯形中，，，，为中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，连接，
(1)证明：平面平面；
(2)当时，求点到平面的距离.
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)
∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，
∴l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a⊂α,b⊂α))⇒l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α