2019-2020年高中数学核心知识点全透视 专题19.1 应用导数研究函数的性质（精讲精析篇）


专题19.1应用导数研究函数的性质（精讲精析篇）
提纲挈领

点点突破
热门考点01 判断或证明函数的单调性
1.在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
在上为增函数．
在上为减函数．
2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.
【典例1】（2015·陕西高考真题（文））设，则（ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】B
【解析】
函数的定义域为，关于原点对称，
，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．
【典例2】（2019·天津高三期中（理））已知函数，.
（Ⅰ）若 ，求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性。
【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得：，故，∴.
(Ⅱ)∵函数，其中a>1，
∴f(x)的定义域为(0,+∞)，，
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1.
①若a−1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增.
②若0 由f′(x)<0得，a−1 由f′(x)>0得，01.
故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增.
③若a−1>1，即a>2时，
由f′(x)<0得,10得，0a−1.
故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.
综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增；
当1 当a>2时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.
【总结提升】
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.
2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；
(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；
(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．
热门考点02 求函数的单调区间
【典例3】（2016·北京高考真题（理））设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】
（Ⅰ）因为，所以.
依题设，即
解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由及知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，.故的单调递增区间为.
【典例4】(2019·广东省中山一中等七校联考)已知函数.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间．
【答案】（1）y＝(ae2－1)(x－2)；（2）见解析.
【解析】(1)函数的导函数为，
可得曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为ae2－1，切点坐标为(2,0)，
即切线的方程为y－0＝(ae2－1)(x－2)，即y＝(ae2－1)(x－2)．
(2)f(x)的导函数为．
①当a＝0时，f′(x)＝－(x－1)，
若x＞1，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，
若x＜1，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．
②当a＜0时，若x＞1，则f′(x)＜0，f(x)单调递减；
若x＜1，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．
③当a＞0时，若，则f′(x)＝(x－1)·(ex－1－1)，f(x)在R上单调递增．
若，则f′(x)＞0即为，可得x＞1或x＜；
f′(x)＜0即为，
可得＜x＜1.
若，则f′(x)＞0即为，可得x＜1或；
f′(x)＜0即为，
可得1＜x＜.
综上可得，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
当时，f(x)的单调递增区间为R；
当时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，，单调递减区间为；
当时，f(x)的单调递增区间为，(－∞，1)，单调递减区间为.
【总结提升】
利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
热门考点03 利用函数的单调性解不等式
【典例5】（2017·江苏高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________。
【答案】
【解析】
因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
【典例6】（2019·四川高考模拟（文））设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设，
则，
∵，，
∴，
∴是上的增函数，
又，
∴的解集为，
即不等式的解集为.
故选A.
【总结提升】
比较大小或解不等式的思路方法
(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．
(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．
热门考点04 利用函数的单调性比较大小
【典例7】（2019·天津高考模拟（理））已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，，
，，
当时，；
当时，，
即在上递增，
的图象关于对称，
向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，
即为偶函数，，
，
，
即，
，
即.
故选D.
【总结提升】
在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
热门考点05 根据函数的单调性求参数
【典例8】（2013·全国高考真题（理））若函数在是增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由条件知在上恒成立，即在上恒成立．
∵函数在上为减函数，
∴,
∴．
故选D．
【典例9】（2019·湖北高三月考（理））已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵f′（x）＝2x，在内不是单调函数，
故2x在存在变号零点，即在存在有变号零点，
∴2 故选：A
【典例10】（2019·北京高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】-1; .
【解析】
若函数为奇函数,则，
对任意的恒成立.
若函数是上的增函数,则恒成立,.
即实数的取值范围是
【总结提升】
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
热门考点06 利用导数研究函数的图象
【典例11】（2018·全国高考真题（文））函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
【典例12】（2017·浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【规律方法】
函数图象的辨识主要从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
热门考点07 利用导数研究函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【典例13】（2017·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
【典例14】（2018年文北京卷）设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因为，所以.
，由题设知，即，解得.
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.
若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.
若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.
综上可知，a的取值范围是.方法二：.
（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：
x

1


+
0
−

↗
极大值
↘

∴在x=1处取得极大值，不合题意.
（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，
∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.
②当，即0 x

1




+
0
−
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

∴在x=1处取得极大值，不合题意.
③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：
x






+
0
−
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：
x






−
0
+
0
−

↘
极小值
↗
极大值
↘
∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.
【典例15】（2017·江苏高考真题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
证明：b²>3a;
若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围。
【答案】（1），定义域为.（2）见解析（3）.
【解析】
（1）由，得.
当时，有极小值.
因为的极值点是的零点.
所以，又，故.
因为有极值，故有实根，从而，即.
时，，故在R上是增函数，没有极值；
时，有两个相异的实根，.
列表如下
x






+
0
–
0
+


极大值

极小值


故的极值点是.
从而，
因此，定义域为.
（2）由（1）知，.
设，则.
当时，，从而在上单调递增.
因为，所以，故，即.
因此.
（3）由（1）知，的极值点是，且，.
从而


记，所有极值之和为，
因为的极值为，所以，.
因为，于是在上单调递减.
因为，于是，故.
因此a的取值范围为.
【总结提升】
1.两点说明：
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2.求函数f(x)极值的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．
3.由函数极值求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
热门考点08 利用导数研究函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【典例16】（2019·全国高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【答案】(1)见详解；(2) .
【解析】
(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
【典例17】（2017·北京高考真题（理））已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【解析】
（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【规律方法】
1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
第一步，求函数在(a，b)内的极值；
第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
热门考点09 函数极值与最值的综合问题
【典例18】（2019·泉州第十六中学高三期中（文））已知函数（）．
（1）求的单调区间和极值；
（2）求在上的最小值．
【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值；（2）见解析.
【解析】
（1）
由，得；
当时，；当时，；
∴的单调递增区间为，单调递减区间为
，无极大值．
（2）当，即时，在上递增，∴；
当，即时，在上递减，∴；
当，即时，在上递减，在上递增，
∴
【典例19】（2019·江苏高考真题）设函数，为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
【答案】（1）；
（2）的极小值为
（3）见解析.
【解析】
（1）因为，所以．
因为，所以，解得．
（2）因为，
所以，
从而．令，得或．
因为，都在集合中，且，
所以．
此时，．
令，得或．列表如下：




1


+
0
–
0
+


极大值

极小值


所以的极小值为．
（3）因为，所以，
．
因为，所以，
则有2个不同的零点，设为．
由，得．
列表如下：







+
0
–
0
+


极大值

极小值


所以的极大值．
解法一：




．因此．
解法二：
因为，所以．
当时，．
令，则．
令，得．列表如下：





+
0
–


极大值


所以当时，取得极大值，且是最大值，故．
所以当时，，因此．
【总结提升】
求解函数极值与最值综合问题的策略
(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
巩固提升
1．（2018·全国高考真题（理））函数的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
2．（2019·江西高三期中（理））已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由有,令,
因为存在极值故有正根,且不为重根,故.设两根分别为,则,故有两个不相等的正根.故极值之和为
,
代入韦达定理得,故,
又,故,且满足
故选：B
3．（2019·湖北高三月考（理））已知为定义在R上的可导函数，为其导函数，且，=2019，则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A．(0.+∞) B．(-∞，0)∪(0，+∞) C．(2019，+∞) D．(-∞，0)∪(2019，+∞)
【答案】A
【解析】
设，则
∵，
∴
∴是R上的增函数
又
∴的解集为(0,+∞)
即不等式的解集为(0,+∞)，故选A.
4.（2019·云南高三月考（理））已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
令，，
则，
∵，即，
∴，
∴在上单调递减，
故，
即，
即，
故选：D．
5.（2019·广东高三月考（理））已知函数若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C．[0，2） D．
【答案】D
【解析】
因为函数在R上单调递增,首先在上单调递增,故,则①；其次在上单调递增,而,令,故或,故,即②；最后,当时,③；综合①②③,实数a的取值范围为,
故选：D．
6.等差数列{an}中的、是函数的极值点，则__________.
【答案】
【解析】
，∵、是函数的极值点，
∴、是方程的两实数根，则，而{an}为等差数列，∴，即，从而．
故答案为:2
7．（2019·江苏高三期中）函数的极大值是______.
【答案】1
【解析】
．
可得：，
时，；
时，．
时，函数取得极大值，．
故答案为：1．
8.（2019·江苏高三期中）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由题意可知，函数的定义域为，且，
令，得，即，构造函数，
则直线与函数在上有两个交点.
，令，得，列表如下：










极大值


所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，如下图所示：

当时，直线与函数在上有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
9.（2019·江西临川一中高三期中（理））函数的最大值为________．
【答案】
【解析】
因为
求导得
，
因为，
所以当时，，当时，，
即当时，单调递增，
当时，单调递减，
故在处取得极大值即最大值，
所以.
故答案为：.
10．（2019·江苏高三期中（文））已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
因为，
所以在上单调递减.
因为，
所以为奇函数.
所以，
解得：或.
故答案为：.
11．（2019·山东高三期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
由题意得：，
因为在区间上单调递减，
所以在区间恒成立，
所以.
故答案为：.
12.（2019·吉林高三月考（文））设函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）当时，判断的单调性.
【答案】（Ⅰ）极小值为，无极大值；（Ⅱ）函数在上单调递增．
【解析】
（Ⅰ）由已知，的定义域为，
，
当时，令，得．
又，所以，
当时，；
当时，．
因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值；
（Ⅱ）由已知，的定义域为，
，
令，
则在上递减，在上递增，
因此，有最小值．
当时，，则，
此时，函数在上单调递增．
13.（2018·北京高考真题（理））设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【答案】(1) 1 (2)（，）
【解析】
（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
14.（2019·江西临川一中高三期中（理））已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）当时，，，
则，，
故曲线在处的切线方程为：，即.
（2），，
令，则，
当时，，所以函数在上单调递增，
又，故
①当时，，，在上单调递增，无极值；
②当时，，，
令，则，
当时，，函数在上单调递增，，
所以在上，恒成立，
所以，
所以函数在上存在唯一零点，
所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数存在极小值．
综上，若函数在区间上有极值，则．
故实数的取值范围为.
15．（2019·安徽高三期中（理）），令
（1）求的极值
（2）若在单调递增，求的范围.
【答案】(1) 当时,没有极大、极小值;当时,的极小值为.
(2)
【解析】
（1）
,



①当时,，在上单调递增,没有极大、极小值.
②当时,令,即,解得

所以的极小值为
综上所述:当时, 没有极大、极小值；当时,的极小值为.
（2）由（1）知：若在单调递增,则在恒成立.
①当时,，在上单调递增,
只需的最小值大于即可.


②当时，在处取得最小值,
只需有的极小值大于0.

设


，令=0，则
当 故函数先增后减， ，故不成立，
则时在单调递增不是恒成立.
综上所述: 在单调递增, 的取值范围为：.
16.（2016·山东高考真题（文））设f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.
（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由
可得，
则，
当时，
时，，函数单调递增；
当时，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减.
所以当时，单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.
①当时，，单调递减.
所以当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，
可得当当时，，时，，
所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，
所以当时，，单调递减，不合题意.
④当时，即，当时，，单调递增,
当时，，单调递减，
所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.
综上可知，实数a的取值范围为.