20届中考精英人教版数学专题总复习：专题十 与几何图形有关的探究题

专题十　与几何图形有关的探究题



　　　　 　　　　　 　　　　　

图形变化问题
【例1】　(2016·沈阳)在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.
(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.
①求证：△ABD是等边三角形；
②求证：BF⊥AD，AF＝DF；
③请直接写出BE的长；
(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．

分析：(1)①由旋转性质知AB＝AD，∠BAD＝60°即可得证；②由BA＝BD，EA＝ED根据垂直平分线的性质即可得证；③分别求出BF，EF的长即可得答案；(2)由等量代换可证∠BAE＝∠BAC，根据三线合一可得CE⊥AB，从而可得CE＝2CH＝8，BE＝5，即可得答案．
解：(1)①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形
②由①得△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的垂直平分线上，∴BE是AD的垂直平分线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF
③由②知BF⊥AD，AF＝DF，∴AF＝DF＝3，∵AE＝AC＝5，∴EF＝4，∵在等边三角形ABD中，BF＝AB·sin∠BAF＝6×＝3，∴BE＝BF－EF＝3－4

(2)如图，∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180°，又∵∠DAG＋∠DAE＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝CE，∵AC＝BC，∴AH＝BH＝AB＝3，则CE＝2CH＝8，BE＝AE＝5，∴BE＋CE＝13


几何图形中的动点问题
【例2】(2016·达州)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.
(1)观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为__垂直__；②BC，CD，CF之间的数量关系为__BC＝CD＋CF__；
(2)数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2，CD＝BC，请求出GE的长．

分析：(2)根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；(3)过A作AH⊥BC于点H，过E作EM⊥BD于点M，EN⊥CF于点N，先求出AH，DH，证△ADH≌△DEM(AAS)得到EM＝DH，DM＝AH，由等量代换得到CN＝EM，EN＝CM，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝BC＝4，根据勾股定理即可得到结论．
解：(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC.证明：∵正方形ADEF，∴AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，可证△DAB≌△FAC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝135°－45°＝90°，∴CF⊥BC.∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC
(3)过A作AH⊥BC于点H，过E作EM⊥BD于点M，EN⊥CF于点N，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝AB＝4，AH＝BC＝2，∴CD＝BC＝1，CH＝BC＝2，∴DH＝3，由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE＝CM，EM＝CN，∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠ADH＝∠DEM，可证△ADH≌△DEM(AAS)，∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，∵∠ABC＝45°，∴∠BGC＝45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG＝BC＝4，∴GN＝1，∴EG＝＝



几何图形中的动线问题
【例3】　(2016·广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA，QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA，OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？
(2)请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

分析：(2)证△AOB≌△POQ，可得AO与OP的数量与位置关系；(3)根据等腰直角三角形的性质可得OE的长，根据三角形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案．
解：(1)四边形APQD为平行四边形
(2)OA＝OP，OA⊥OP.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ，可证△AOB≌△POQ(SAS)，∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP
(3)过点O作OE⊥BC于点E.①如图1，当P点在B点右侧时，则BQ＝x＋2，OE＝，∴y＝×·x，即y＝(x＋1)2－，又∵0≤x≤2，∴当x＝2时，y有最大值为2；②如图2，当P点在B点左侧时，则BQ＝2－x，OE＝，∴y＝×·x，即y＝－(x－1)2＋，又∵0≤x≤2，∴当x＝1时，y有最大值为.综上所述，平移过程中△OPB的面积的最大值为2
　


　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1．(导学号　59042307)(2016·福州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；
(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

解：(1)由折叠知△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×tan30°＝3×＝
(2)如图1，延长MN交AB延长线于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠知△ANM≌△ADM，∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ，设NQ＝x，则AQ＝MQ＝1＋x，∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，∴(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5，∵AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝S△NAQ＝×AN·NQ＝××3×4＝
(3)如图2，过点A作AH⊥BF于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA＝∠BFC，∵∠AHB＝∠BCF＝90°，∴△ABH∽△BFC，∴＝，∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴当点N，H重合(即AH＝AN)时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M，F重合，B，N，M三点共线，如图3，由折叠知AD＝AH，∵AD＝BC，∴AH＝BC，可证△ABH≌△BFC(AAS)，∴CF＝BH，由勾股定理得BH＝＝＝，∴CF＝，∴DF的最大值＝DC－CF＝4－
　　


2．(导学号　59042308)(2016·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB，OC的长分别是一元二次方程x2－11x＋30＝0的两个根(OB＞OC)．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O，B重合)，过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m，已知t＝4时，直线l恰好过点C，当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式；
(3)当m＝3.5时，请直接写出点P的坐标．

解：(1)∵方程x2－11x＋30＝0的解为x1＝5，x2＝6，∴OB＝6，OC＝5，∴B点坐标为(6，0)，作AM⊥x轴于点M，∵∠OAB＝90°且OA＝AB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴OM＝BM＝AM＝OB＝3，∴A点坐标为(3，3)
(2)作CN⊥x轴于点N，∵t＝4时，直线l恰好过点C，∴ON＝4，在Rt△OCN中，CN＝＝＝3，∴C点坐标为(4，－3)，可求直线OC的解析式为y＝－x，直线OA的解析式为y＝x，∵P(t，0)(0＜t＜3)，∴Q(t，t)，R(t，－t)，∴QR＝t－(－t)＝t，即m＝t(0＜t＜3)
(3)可求直线AB的解析式为y＝－x＋6，直线BC的解析式为y＝x－9，当0＜t＜3时，m＝t，若m＝3.5，则t＝3.5，解得t＝2，此时P点坐标为(2，0)；当3≤t＜4时，Q(t，－t＋6)，R(t，－t)，∴m＝－t＋6－(－t)＝－t＋6，若m＝3.5，则－t＋6＝3.5，解得t＝10(不合题意舍去)；当4≤t＜6时，Q(t，－t＋6)，R(t，t－9)，∴m＝－t＋6－(t－9)＝－t＋15，若m＝3.5，则－t＋15＝3.5，解得t＝，此时P点坐标为(，0)．综上所述，满足条件的P点坐标为(2，0)或(，0)




3．(导学号　59042309)(2016·扬州)已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC，DC的延长线交于点E，F，连接EF.设CE＝a，CF＝b.

(1)如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a，b的值；
(2)当△AEF是直角三角形时，求a，b的值；
(3)如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a，b满足的关系式，并说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ACF＝∠ACE，∵∠EAF被对角线AC平分，∴∠CAF＝∠CAE，可证△ACF≌△ACE(ASA)，∴AF＝CE，CF＝CE，∵CE＝a，CF＝b，∴a＝b，∵AF＝CE，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠EAF＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝67.5°，∵CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠CEF＝∠CFE＝45°，∴∠AEC＝∠AFC＝22.5°，∵∠CAF＝∠CAE＝22.5°，∴∠CAE＝∠CEA，∴CE＝AC＝4，即a＝b＝4
(2)当△AEF是直角三角形时，①若∠AEF＝90°，∵
∠EAF＝45°，∴∠AFE＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，AE＝EF，∵∠AEB＋∠BEF＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BEF＝∠BAE，可证△ABE≌△ECF(AAS)，∴AB＝EC，BE＝CF，即a＝AB＝4，b＝BE＝BC＋CE＝8；②若∠AFE＝90°，同①的方法知CF＝4，CE＝8，∴a＝8，b＝4

(3)ab＝32.理由：如图，∵AC是正方形ABCD的对角线，∠EAF＝45°，∴∠ACD＝45°，∠ACF＝135°，∠ACE＝135°，又∵∠ACD＝∠CAF＋∠AFC，∠EAF＝∠EAC＋∠FAC，∴∠AFC＝∠EAC，又∵∠ACF＝∠ACE＝135°，∴△ACF∽△ECA，∴＝，∴EC×CF＝AC2＝2AB2＝32，∴ab＝32



　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(导学号　59042310)(2016·随州)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3中，AM，BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c.
【特例探究】
(1)如图1，当tan∠PAB＝1，c＝4时，a＝__4__，b＝__4__；
如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a＝____，b＝____；
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
(3)如图4，▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF，BE，CE，且BE⊥CE于点E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．

解：(2)a2＋b2＝5c2.
证明：连接MN.∵AM，BN是中线，
∴MN∥AB，MN＝AB，∴△MPN∽△APB，
∴＝＝，
设MP＝x，NP＝y，则AP＝2x，BP＝2y，
∴a2＝BC2＝4BM2＝4(MP2＋BP2)＝4x2＋16y2，
b2＝AC2＝4AN2＝4(PN2＋AP2)＝4y2＋16x2，
c2＝AB2＝AP2＋BP2＝4x2＋4y2，
∴a2＋b2＝20x2＋20y2＝5(4x2＋4y2)＝5c2
(3)由AAS可证△AGE≌△FGB，∴BG＝FG，
取AB中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，同理可证△APH≌△BFH，
∴AP＝BF，PE＝CF＝2BF，
即PE∥CF，PE＝CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由(2)可知AB2＋AF2＝5BF2，
∵AB＝3，BF＝AD＝，
∴9＋AF2＝5×()2，∴AF＝4

2．(导学号　59042311)(2016·河南)(1)发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.
填空：当点A位于__CB的延长线上__时，线段AC的长取得最大值，且最大值为__a＋b__．(用含a，b的式子表示)
(2)应用：如图2，点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
(3)拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

解：(2)①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，可证△CAD≌△EAB(SAS)，∴CD＝BE
②∵线段BE长的最大值＝线段CD长的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4

(3)如图1，连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，

∴当点N在线段BA的延长线上时，线段BN取得最大值，最大值＝AB＋AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为2＋3.如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝AN＝，∴OE＝OA－AE＝2－，∴P(2－，)




3．(导学号　59042312)(2016·葫芦岛)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在AC上(且不与点A，C重合)，在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，DE＝CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF.
(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系__AF＝AE__；
(2)将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
(3)在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断(2)问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

解：(2)AF＝AE.理由：连接EF，DF交BC于点K.∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE＝∠ABC＝45°，∴∠EKF＝180°－∠DKE＝135°，∵∠ADE＝180°－∠EDC＝180°－45°＝135°，∴∠EKF＝∠ADE，∵∠DKC＝∠C，∴DK＝DC，∵DF＝AB＝AC，∴KF＝AD，可证△EKF≌△EDA(SAS)，∴EF＝EA，∠KEF＝∠AED，∴∠FEA＝∠BED＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE
(3)结论不变，AF＝AE.理由：连接EF，延长FD交AC于点K.∵∠EDF＝180°－∠KDC－∠EDC＝135°－∠KDC，∠ACE＝(90°－∠KDC)＋∠DCE＝135°－∠KDC，∴∠EDF＝∠ACE，∵DF＝AB，AB＝AC，∴DF＝AC，可证△EDF≌△ECA(SAS)，∴EF＝EA，∠FED＝∠AEC，∴∠FEA＝∠DEC＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE