千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第1炼 命题形式变化及真假判定
展开第1炼 命题形式变化及真假判定
一、基础知识：
（一）命题结构变换
1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则
（1）否命题：“若，则”
（2）逆命题：“若，则”
（3）逆否命题：“若，则”
2、，
（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为
（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为
3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法
（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有
至多个→至少个 小于→大于等于
（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：
或→且 且→或
（3）全称命题与存在性命题的否定
全称命题：
存在性命题：
规律为：两变一不变
① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定
② 一不变：所属的原集合的不变化
（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。
1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联
2、，，如下列真值表所示：
|
| 或 |
真 | 真 | 真 |
真 | 假 | 真 |
假 | 真 | 真 |
假 | 假 | 假 |
|
| 且 |
真 | 真 | 真 |
真 | 假 | 假 |
假 | 真 | 假 |
假 | 假 | 假 |
简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假”
3、：与命题真假相反。
4、全称命题：
真：要证明每一个中的元素均可使命题成立
假：只需举出一个反例即可
5、存在性命题：
真：只需在举出一个使命题成立的元素即可
假：要证明中所有的元素均不能使命题成立
二、典型例题
例1：命题“若方程的两根均大于，则”的逆否命题是（ ）
A. “若，则方程的两根均大于”
B. “若方程的两根均不大于，则”
C. “若，则方程的两根均不大于”
D. “若，则方程的两根不全大于”
思路：所谓逆否命题是要将原命题的条件与结论否定后并进行调换，“”的对立面是“”，“均大于”的对立面是“不全大于0”（注意不是：都不大于0），再调换顺序即可，D选项正确
答案：D
例2：命题“存在”的否定是（ ）
A． 存在 B．不存在
C． 对任意 D．对任意
思路：存在性命题的否定：要将量词变为“任意”，语句对应变化，但所在集合不变。所以变化后的命题为：“对任意”
答案：D
例3：给出下列三个结论
（1）若命题为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题
（2）命题“若，则或”的否命题为“若，则或”
（3）命题“”的否定是“”，则以上结论正确的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
思路：（1）中要判断的真假，则需要判断各自的真值情况，为假命题，则为真命题，所以一假一真，为真命题，（1）错误
（2）“若……，则……”命题的否命题要将条件和结论均要否定，而（2）中对“或”的否定应该为“且”，所以（2）错误
（3）全称命题的否定，要改变量词和语句，且的范围不变。而（3）的改写符合要求，所以（3）正确
综上只有（3）是正确的
答案：C
例4 ：有下列四个命题
① “若，则互为相反数”的逆命题
② “全等三角形的面积相等”的否命题
③ “若，则有实根”的逆否命题
④ “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题
其中真命题为（ ）
A. ①② B.②③ C. ①③ D. ③④
思路：①中的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题。②中的否命题为“如果两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等”，为假命题（同底等高即可）。③中若要判断逆否命题的真假，则只需判断原命题即可。时，判别式，故方程有实根。所以原命题为真命题，进而其逆否命题也为真命题。④中的逆命题为“如果一个三角形三个内角相等，则它为不等边三角形”显然是假命题。综上，①③正确
答案：C
小炼有话说：在判断四类命题的真假时，如果在写命题或判断真假上不好处理，则可以考虑其对应的逆否命题，然后利用原命题与逆否命题同真同假的特点进行求解
例5：下列命题中正确的是（ ）
A. 命题“，使得”的否定是“，均有”
B. 命题“若，则”的否命题是“若，则”
C. 命题“存在四边相等的四边形不是正方形”，该命题是假命题
D. 命题“若，则”的逆否命题是真命题
思路：分别判断4个选项的情况，A选项命题的否定应为“，均有”，B选型否命题的形式是正确的，即条件结论均否定。C选项的命题是正确的，菱形即满足条件，D选项由原命题与逆否命题真假相同，从而可判断原命题的真假，原命题是假的，例如终边相同的角余弦值相同，所以逆否命题也为假命题。D错误
答案：B
例6：如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则（ ）
A. 命题“或”是假命题 B. 命题“或”是假命题
C. 命题“且”是真命题 D. 命题“且”是真命题
思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。题目中以为入手点，可得是真命题，而因为且是假命题，所以只能是假命题。进而是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C的判断是正确的
答案：C
例7：已知命题：若，则；命题：若，则，在命题①；②；③；④ 中，真命题是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
思路：可先判断出的真假，从而确定出复合命题的情况。命题符合不等式性质，正确，而命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为为假，为真，所以③正确，④不正确。综上可确定选项C正确
答案：C
例8：下列4个命题中，其中的真命题是（ ）
A. B. C. D.
思路：为存在性命题，所以只要找到符合条件的即可。可作出的图像，通过观察发现找不到符合条件的；同样作图可得，所以正确；通过作图可发现图像中有一部分，所以错误；在中，可得当时，，所以，正确。综上可得：正确
答案：D
小炼有话说：（1）在判断存在性命题与全称命题的真假，可通过找例子（正例或反例）来进行简单的判断，如果找不到合适的例子，则要尝试利用常规方法证明或判定
（2）本题考察了指对数比较大小，要选择正确的方法（中间桥梁，函数性质，数形结合）进行处理，例如本题中运用的数形结合，而通过选择中间量判断。
例9：已知命题，命题，若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D.
思路：因为为假命题，所以可得均为假命题。则为真命题。。解决这两个不等式能成立与恒成立问题即可。
解：为假命题
均为假命题
为真命题
对于
当时，
对于，设，由图像可知：若成立，则 ，解得：或
所以综上所述：
小炼有话说：因为我们平日做题都是以真命题为前提处理，所以在逻辑中遇到已知条件是假命题时，可以考虑先写出命题的否定，根据真值表得到命题的否定为真，从而就转化为熟悉的形式以便于求解
例10：设命题函数的定义域为；命题，不等式恒成立，如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围
思路：由“”为真命题可得至少有一个为真，由“”为假命题可得至少有一个为假。两种情况同时存在时，只能说明是一真一假。所以分为假真与真假进行讨论即可
解： 命题“”为真命题，且“”为假命题
一真一假
若假真，则函数的定义域不为
恒成立
或
若真假，则函数的定义域为
或
，不等式
解得
综上所述：
三、近年模拟题题目精选：
1、（2014河南高三模拟，9）已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
2、（2014，岳阳一中，3）下列有关命题的叙述:
① 若为真命题，则为真命题
② “”是“”的充分不必要条件
③ 命题，使得，则，使得
④ 命题：“若，则或”的逆否命题为：“若或，则”
其中错误命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、（2014成都七中三月模拟，4）已知命题，命题，则（ ）
A. 命题是假命题 B. 命题是真命题
C. 命题是假命题 D. 命题是真命题
4、（2014新津中学三月月考，6）已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5、（2014 新课标全国卷I）不等式组：的解集记为，有下面四个命题：
其中真命题是（ ）
A. B. C. D.
习题答案：
1、答案：C
解析：分别判断真假，令，可得 由零点存在性定理可知，使得，为真；通过作图可判断出当时，，故为假；结合选项可得：为真
2、答案：B
解析：判断每个命题：①若真假，则为真命题，为假命题，故①错误；② 不等式的解为或，由命题所对应的集合关系可判断出②正确；③ 存在性命题的否定，形式上更改符合“两变一不变”，故③正确；④ “或”的否定应为“且”，故④错误，所以选择B
3、答案：B
解析：对于：当时，，故正确；对于：因为，所以当时，，故错误，结合选项可知是真命题
4、答案：C
解析：命题的否定为：“，使得”，此为真命题，所以转为恒成立问题，利用二次函数图像可得： ，解得
5、答案：C
解析：由已知条件作出可行域，并根据选项分别作出相应直线，观察图像可知：阴影部分恒在的上方，所以成立；且阴影区域中有在中的点，所以成立，综上可得：正确
